平面3R 串聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)軌跡跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制

趙濤 劉勇 趙虎 蘇博 朱洋 李庚禹

（1 北方民族大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，銀川,750021；2 銀川能源學(xué)院,銀川,750100；3 北方民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，銀川,750021）

0 引言

機(jī)器人是一種能通過其外表或動(dòng)作表達(dá)自身意圖、模擬人的特點(diǎn)的機(jī)械或虛擬的人工機(jī)構(gòu)，本質(zhì)上可看作是一個(gè)機(jī)電系統(tǒng)。工業(yè)機(jī)器人主要由基座、關(guān)節(jié)、連桿和末端執(zhí)行器等組成，根據(jù)自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可分為串聯(lián)機(jī)器人、并聯(lián)機(jī)器人和混聯(lián)機(jī)器人。其中，串聯(lián)機(jī)器人是通過關(guān)節(jié)將一系列連桿串聯(lián)成開環(huán)的運(yùn)動(dòng)鏈，通過利用驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)從而帶動(dòng)連桿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使末端執(zhí)行器到達(dá)合適的位姿。相對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人，串聯(lián)機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、工作空間大等優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域[1-2]，如各類機(jī)床、裝配車間。

《“十四五”機(jī)器人產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出了“機(jī)器人+”應(yīng)用行動(dòng)，主要從3 個(gè)方面開展：一，深耕行業(yè)應(yīng)用，在具有較大規(guī)模應(yīng)用的領(lǐng)域（如汽車、電子、機(jī)械、輕工等）著力開發(fā)和推廣機(jī)器人新產(chǎn)品，開拓高端應(yīng)用市場(chǎng)，深入推動(dòng)智能制造和智慧生活；二，拓展新興應(yīng)用，在初步應(yīng)用和潛在需求領(lǐng)域（如礦山、石油、化工等），結(jié)合具體的應(yīng)用場(chǎng)景，開發(fā)機(jī)器人產(chǎn)品和解決方案，開展試點(diǎn)示范，拓展機(jī)器人的應(yīng)用空間；三，做強(qiáng)特色應(yīng)用，在特定細(xì)分場(chǎng)景、環(huán)節(jié)和領(lǐng)域，形成專業(yè)化和定制化的解決方案并復(fù)制推廣，打造特色服務(wù)品牌，形成具有競(jìng)爭(zhēng)力的新優(yōu)勢(shì)[3]。這對(duì)機(jī)器人的發(fā)展與推廣提供了空間。

針對(duì)平面三連桿（3R）串聯(lián)機(jī)器人，黃自鑫等人[4]針對(duì)中間關(guān)節(jié)為欠驅(qū)動(dòng)的非完整二階平面三連桿機(jī)械臂，提出一種基于軌跡規(guī)劃的末端點(diǎn)位置控制策略，但是該機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型忽略了重力項(xiàng)。于航[5]采用歐拉-拉格朗日方程建立二階平面上的三連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并利用PID 算法對(duì)三連桿機(jī)構(gòu)的末端軌跡進(jìn)行跟蹤控制，但是該三連桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型也是未考慮重力項(xiàng)。朱秋國(guó)等人[6]提出一種三連桿動(dòng)力學(xué)模型作為仿人機(jī)器人的簡(jiǎn)化模型，相比于傳統(tǒng)的飛輪倒立擺模型或線性倒立擺模型，該模型具有更高的精確性，同時(shí)他們還設(shè)計(jì)了仿人機(jī)器人的站立抗擾動(dòng)平衡控制器。楊妍[7]將三連桿機(jī)器人的系統(tǒng)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，采用拉格朗日功能平衡法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)，得到在理想的數(shù)學(xué)模型下與機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)問題相關(guān)的一系列變量參數(shù)，更好地分析解決了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制問題。

本文研究的機(jī)器人是一種平面三連桿機(jī)械臂，其具有3 個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度。本文首先采用拉格朗日方程建立該機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，再根據(jù)迭代學(xué)習(xí)控制原理，設(shè)計(jì)該機(jī)器人軌跡跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制的控制器，最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證該機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的正確性和軌跡跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制的有效性。

1 動(dòng)力學(xué)建模

2 控制器設(shè)計(jì)

迭代學(xué)習(xí)控制是通過迭代修正達(dá)到某種控制目標(biāo)的改善，其算法較為簡(jiǎn)單，能在給定的時(shí)間范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)未知對(duì)象實(shí)際運(yùn)行軌跡以高精度跟蹤給定期望軌跡，且不依賴系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，已廣泛應(yīng)用在機(jī)器人控制領(lǐng)域。

對(duì)于一種三關(guān)節(jié)的串聯(lián)機(jī)器人，其動(dòng)態(tài)性能可由以下二階非線性微分方程描述：

3 數(shù)值仿真

本文采用閉環(huán)PD 型反饋迭代學(xué)習(xí)控制律進(jìn)行數(shù)值仿真，機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

表1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

機(jī)器人五次迭代學(xué)習(xí)的跟蹤過程如圖2 所示，圖中紅色、藍(lán)色和黑色的粗虛線分別代表關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 和關(guān)節(jié)3 期望的角位移曲線，紅色、藍(lán)色和黑色的細(xì)實(shí)線分別代表關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 和關(guān)節(jié)3 每次迭代的角位移曲線。由圖2 可知，經(jīng)過五次迭代學(xué)習(xí)，3 個(gè)關(guān)節(jié)每次迭代的角位移曲線越來越接近期望的角位移曲線。

機(jī)器人第五次迭代學(xué)習(xí)的位置跟蹤如圖3 所示，圖中紅色、藍(lán)色和黑色的粗虛線分別代表關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 和關(guān)節(jié)3 期望的角位移曲線，紅色、藍(lán)色和黑色的細(xì)實(shí)線分別代表關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 和關(guān)節(jié)3 第五次迭代的角位移曲線。由圖3 可知，經(jīng)過第五次迭代學(xué)習(xí)，3 個(gè)關(guān)節(jié)迭代的角位移曲線與期望的角位移曲線完全吻合，驗(yàn)證了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的正確性和迭代學(xué)習(xí)控制方法的有效性。

機(jī)器人5 次迭代中誤差范數(shù)的收斂過程如圖4 所示，圖中紅色、藍(lán)色和黑色的細(xì)實(shí)線分別代表關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3 的誤差曲線。由圖4 可知，關(guān)節(jié)1 角位移的初始誤差為0.367rad，關(guān)節(jié)2 角位移的初始誤差為0.094rad，關(guān)節(jié)3 角位移的初始誤差為0.003rad，經(jīng)過第二次迭代之后，3 個(gè)關(guān)節(jié)的角位移誤差基本趨于0。

4 結(jié)論

本文研究了一種平面3R 串聯(lián)機(jī)器人，根據(jù)拉格朗日方程建立了該機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型，采用機(jī)器人軌跡跟蹤迭代學(xué)習(xí)控制方法，設(shè)計(jì)了迭代學(xué)習(xí)控制算法的控制器，利用閉環(huán)PD 型迭代學(xué)習(xí)控制律進(jìn)行數(shù)值仿真，經(jīng)過五次迭代學(xué)習(xí)，機(jī)器人3 個(gè)關(guān)節(jié)每次迭代的角位移曲線越來越接近期望的角位移曲線，其中第五次迭代學(xué)習(xí)3個(gè)關(guān)節(jié)迭代的角位移曲線與期望的角位移曲線完全吻合。數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的正確性和迭代學(xué)習(xí)控制方法的有效性。