2UPR／UPS／UP 并聯(lián)機(jī)器人的工作空間及承載能力優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳偉杰，陳文波

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

與串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)器人具有承載能力大、累計(jì)誤差小、剛度高、結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)［1］。國(guó)外NeosRobotic 公司基于3UPS／UP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的Tricept［2］機(jī)器人，加工過(guò)程中其并聯(lián)部分的UP 支鏈承受主要載荷，存在受載不均勻的缺點(diǎn)。國(guó)內(nèi)天津大學(xué)研制的TriVariant［3］機(jī)器人并聯(lián)部分為2UPS／UP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與Tricept 機(jī)器人相似，但旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)更少，可以實(shí)現(xiàn)更高的剛度，而受載不均勻的問(wèn)題卻未得到解決。與Tricept 機(jī)器人相比，本文提出的2UPR／UPS／UP 并聯(lián)機(jī)器人在加工過(guò)程中始終有2 條支鏈同時(shí)抵抗負(fù)載、并且旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)更少，因此該并聯(lián)機(jī)構(gòu)承載能力更強(qiáng)、剛度更高。

并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是機(jī)器人優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，在求解方法上可分為數(shù)值法和解析法兩種。其中，數(shù)值法是利用牛頓-拉弗森法［4-8］迭代得到非線性方程組的解，具有通用性高的優(yōu)點(diǎn)，但精度取決于初始值，并且一般得不到全部解。解析法是使用代數(shù)公式法［9-10］消去機(jī)構(gòu)約束方程組的中間參數(shù)獲得高階多項(xiàng)式，并進(jìn)行求解，其特點(diǎn)是能夠得到機(jī)構(gòu)的全部解并且精度高、求解速度快。本文利用封閉矢量法建立了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析模型，為工作空間的搜索奠定基礎(chǔ)。

承載能力強(qiáng)是并聯(lián)機(jī)器人最突出的優(yōu)點(diǎn)，但缺點(diǎn)卻是工作空間較小，而工程實(shí)際則要求并聯(lián)機(jī)器人在滿足任務(wù)工作空間的基礎(chǔ)上要有較強(qiáng)的承載能力［11］。為有效評(píng)價(jià)機(jī)器人的整體承載能力，GOSSELIN 等人［12］提出了全域性能評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)對(duì)三自由度并聯(lián)球面機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［13-14］將廣義力橢球的長(zhǎng)徑和短徑看作該位姿處能承受廣義力的極大值和極小值，并將該極值在工作空間內(nèi)求均值作為全域性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。上述方法均未考慮工作空間邊界是否發(fā)生奇異導(dǎo)致結(jié)果失真，因此在求解時(shí)應(yīng)去除奇異的邊界值。文獻(xiàn)［15］以Stewart并聯(lián)機(jī)器人為例，將工作空間內(nèi)規(guī)定的軌跡上機(jī)器人所能承受的最大承載能力作為機(jī)器人的最大承載能力，該方法對(duì)機(jī)器人承載能力的評(píng)價(jià)并不全面。本文提出的承載能力評(píng)價(jià)指標(biāo)定義在任務(wù)工作空間內(nèi)，克服了上述問(wèn)題及不足，具有實(shí)際工程意義。

本文以2UPR／UPS／UP 三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，運(yùn)用封閉矢量法得到逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析模型和雅可比矩陣，利用極限搜索法得到其工作空間；基于任務(wù)工作空間定義該機(jī)器人的承載能力評(píng)價(jià)指標(biāo)。研究固化角對(duì)工作空間和承載能力的約束關(guān)系，用來(lái)獲得該機(jī)構(gòu)在相同任務(wù)工作空間下的強(qiáng)承載能力，為后期的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)以及動(dòng)力學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 構(gòu)型描述

本文提出一種2UPR／UPS／UP 冗余并聯(lián)機(jī)器人，如圖1 所示。由圖1 可知，該并聯(lián)機(jī)器人由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)和4 條支鏈組成。其中，動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)呈等邊三角形，4 條支鏈中的第1 條和第3 條為UPR 支鏈，上端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副與動(dòng)平臺(tái)連接，下端通過(guò)虎克鉸與定平臺(tái)連接；第2 條支鏈為UPS 支鏈，上端通過(guò)球副與動(dòng)平臺(tái)連接，下端通過(guò)虎克鉸與定平臺(tái)連接；第4 條支鏈為UP 恰約束被動(dòng)支鏈，上端與動(dòng)平臺(tái)固結(jié)，固化角為δ，下端通過(guò)虎克鉸與定平臺(tái)連接。

圖1 并聯(lián)機(jī)器人坐標(biāo)系簡(jiǎn)圖Fig.1 Coordinate system diagram of parallel robots

在動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)分別建立基坐標(biāo)系｛A｝-xAyAzA和動(dòng)坐標(biāo)系｛B｝-xByBzB，定平臺(tái)坐標(biāo)系的xA軸平行于A1A3，zA軸垂直于定平臺(tái)所確定的平面，動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系的xB軸平行于B1B3，zB軸垂直于動(dòng)平臺(tái)所確定的平面，坐標(biāo)系｛C｝-xCyCzC的姿態(tài)與坐標(biāo)系｛B｝ 相同，其原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)中心。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解建模

坐標(biāo)系｛B｝ 通過(guò)坐標(biāo)系｛A｝ 先平移、后旋轉(zhuǎn)2次得到，因此定義為沿基坐標(biāo)系｛A｝的ZA軸移動(dòng)λ，繞基坐標(biāo)系｛A｝的YA軸旋轉(zhuǎn)γ，繞基坐標(biāo)系｛A｝的XA軸旋轉(zhuǎn)φ。此處需用到的數(shù)學(xué)公式可寫為：

由于坐標(biāo)系｛C｝ 和坐標(biāo)系｛B｝ 之間僅存在平移關(guān)系可得：

基于閉環(huán)矢量法建立如下關(guān)系：

其中，AC表示C點(diǎn)的位置矢量；li和li分別表示第i根支鏈的桿長(zhǎng)和其單位向量；ai是Ai點(diǎn)在基坐標(biāo)系｛A｝ 中的位置矢量；bi是Bi點(diǎn)在基坐標(biāo)系｛A｝ 中的位置矢量。

對(duì)式（4）等式兩端分別取模，求得第i根支鏈的桿長(zhǎng)和其單位向量為：

1.3 速度分析

對(duì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析表達(dá)式（5）的兩邊同時(shí)求全微分，即：

這里的M，N經(jīng)過(guò)整理后可得：

其中，J為2UPR／UPS 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣，J＝N-1M。此處J的第一行為線速度雅克比矩陣，后兩行為角速度雅可比矩陣。

2 工作空間分析

2.1 工作空間求解

2UPR／UPS／UP 是2R1T 少自由度并聯(lián)機(jī)器人，受到桿件干涉以及運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角的限制，該并聯(lián)機(jī)器人不存在靈巧工作空間，因此以動(dòng)平臺(tái)中心為參考點(diǎn)搜索機(jī)器人的可達(dá)工作空間。

根據(jù)機(jī)器人實(shí)際應(yīng)用需求，規(guī)定各運(yùn)動(dòng)支鏈的伸縮長(zhǎng)度范圍為：

通過(guò)向量的內(nèi)積定義各鉸鏈的轉(zhuǎn)角，定平臺(tái)上虎克鉸U繞xA的轉(zhuǎn)角表示為：

虎克鉸U繞yA的轉(zhuǎn)角表示為：

以動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)C為參考點(diǎn)，采用極限搜索法對(duì)2UPR／UPS／UP 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行搜索。其原理為：根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人的尺寸參數(shù)，確定一個(gè)能夠包括機(jī)器人可能工作空間的范圍；設(shè)定搜索初值，在Z軸的某一截面上搜索滿足約束條件的X，Y值；設(shè)置步長(zhǎng)來(lái)改變坐標(biāo)軸的Z值，使其逐漸增大、直到搜索了Z軸最大值和最小值之間所有的截面后，滿足限制條件的點(diǎn)集即為該機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間。

根據(jù)表1 中機(jī)器人的初始參數(shù)逐層進(jìn)行搜索后，得到工作空間如圖2 所示。

表1 幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters

圖2 并聯(lián)機(jī)器人工作空間圖Fig.2 Workspace diagram of parallel robots

2.2 固化角對(duì)工作空間影響的分析

由圖1 可以看到，固化角度δ為UP 支鏈與動(dòng)平臺(tái)的夾角，其大小會(huì)影響機(jī)構(gòu)的初始位置和工作空間。為滿足任務(wù)工作空間的設(shè)計(jì)需求，針對(duì)固化角度對(duì)工作空間的影響趨勢(shì)進(jìn)行研究。保證動(dòng)、定平臺(tái)的尺寸參數(shù)不變，分析固化角度對(duì)工作空間大小和形狀的影響。

固化角度δ的初始值為90°，固化角度以增量5°變化至115°得到工作空間如圖3 所示。根據(jù)實(shí)際加工要求，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)任務(wù)工作空間為不小于φ900?200 的圓柱體，擺放形式為圓柱底面與動(dòng)平臺(tái)所在平面平行。工作空間大小與固化角大小的變化規(guī)律如圖4 所示。

由圖4 可知，任務(wù)工作空間與固化角的關(guān)系為開口向下的拋物線，固化角為100°任務(wù)工作空間的體積最大，并且滿足工程設(shè)計(jì)需求。

圖4 工作空間與固化角的關(guān)系Fig.4 Relationship between workspace and curing angle

3 承載能力求解與分析

3.1 承載能力

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的承載能力決定輸出構(gòu)件所能承受的最大外載荷［16］，設(shè)機(jī)器人輸出的廣義力矢量為F，則：0

其中，G為機(jī)器人的力雅可比矩陣，f表示輸入廣義力矢量。

根據(jù)機(jī)構(gòu)力雅可比和速度雅可比的關(guān)系可知：

由式（12）可知，f取極值時(shí)對(duì)映的F反映了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的承載能力，為具有通用性，機(jī)器人的承載能力評(píng)價(jià)指標(biāo)定義為：在約束條件‖f‖＝1時(shí)，執(zhí)行器末端輸出廣義力矢量F模的極值，根據(jù)拉格朗日乘子法，構(gòu)造拉格朗日方程：

對(duì)方程（14）求偏導(dǎo)，得到極值點(diǎn)為：

根據(jù)觀察可知，λ即為矩陣GTG的特征值，廣義力矢量F的模表示為：

因此承載能力極值為可由力雅可比矩陣的最大、最小奇異值表示，即：

其中，ILCP（Fmax）和ILCP（Fmin）分別為某位姿下并聯(lián)機(jī)器人的極大和極小承載能力，其值越大，機(jī)構(gòu)的承載能力越好。

定義運(yùn)動(dòng)學(xué)傳遞性能評(píng)價(jià)指標(biāo)η為雅可比矩陣的最大奇異值與最小奇異值的比值：

當(dāng)η＝1時(shí)，機(jī)器人處于各向同性，其傳遞性能最佳。由于并聯(lián)機(jī)器人工作空間內(nèi)不同點(diǎn)的承載能力不同，同時(shí)工作空間的邊界點(diǎn)易發(fā)生奇異，影響評(píng)價(jià)指標(biāo)的可靠性，因此將機(jī)器人基于任務(wù)工作空間的承載能力平均值定義為局域承載能力指標(biāo)IGCP（Fmax），IGCP（Fmin）。研究推得的數(shù)學(xué)公式可寫作如下形式：

其中，w表示某一位姿，W表示任務(wù)工作空間。

3.2 固化角對(duì)承載能力影響的分析

固化角的改變會(huì)引起機(jī)構(gòu)雅克比矩陣發(fā)生變化，從而對(duì)承載能力產(chǎn)生影響。為得到具有較好承載能力的初始位置，將固化角度從90°以增量5°的大小變化至115°，同時(shí)記錄局域承載能力極小值和η，并繪制成曲線分別如圖5、圖6 所示。

圖5 局域承載能力極小值與固化角的關(guān)系Fig.5 Relationship between local bearing capacity minimum and curing angle

從圖5 可以看出，局域承載能力指標(biāo)和固化角度是近似正相關(guān)；從圖6 可以看出，隨著固化角δ增大，η先增大后減小。

圖6 運(yùn)動(dòng)學(xué)傳遞性能與固化角的關(guān)系Fig.6 Relationship between kinematic transfer performance and curing angle

4 承載能力和工作空間的性能優(yōu)化

優(yōu)化固化角的大小可使機(jī)構(gòu)滿足任務(wù)工作空間以及具備強(qiáng)承載能力，因此同時(shí)分析固化角對(duì)工作空間和承載能力變化曲線，如圖7 所示。

圖7 承載能力和工作空間與固化角的關(guān)系Fig.7 Relationship between global bearing capacity，workspace and curing angle

由圖7 可知，2 條變化曲線的交點(diǎn)為保證機(jī)構(gòu)具備強(qiáng)承載能力和大工作空間的最優(yōu)解，所對(duì)應(yīng)固化角度為δ＝111°。以此固化角設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的初始位置，η值更小，能夠更好地抵抗各方向的負(fù)載。

以固化角δ＝111°和δ＝90°分別設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)初始位置，工作空間和承載能力的對(duì)比見表2。由表2可知，優(yōu)化后工作空間體積提高1.4%，承載能力提高6.4%，對(duì)重載機(jī)器人優(yōu)化發(fā)揮著重要作用。

表2 優(yōu)化前后性能對(duì)比Tab.2 Performance comparison before and after optimization

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以2UPR／UPS／UP 三自由度并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，建立了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解析模型，通過(guò)空間極限搜索法得到并聯(lián)機(jī)器人的工作空間；并定義了基于任務(wù)工作空間的承載能力評(píng)價(jià)指標(biāo)，基于固化角與工作空間和承載能力的變化趨勢(shì)，對(duì)固化角進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；優(yōu)化結(jié)果表明在固化角為111°時(shí)并聯(lián)機(jī)器人具備大工作空間和強(qiáng)承載能力；此固化角下的機(jī)器人性能與固化角為90°時(shí)相比，工作空間體積提高1.4%，承載能力提高6.4%。本文提出的對(duì)機(jī)器人工作空間和承載能力的優(yōu)化思路可為其它并聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供參考。