基于Logistic 曲線的草莓生長(zhǎng)模型研究

倪子凡，張?jiān)迫A

（浙江理工大學(xué) 信息學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

在中國(guó)，草莓作為一種重要的經(jīng)濟(jì)作物，其年產(chǎn)量約200 萬(wàn)噸，產(chǎn)值約300 億元［1］。隨著草莓種植在國(guó)內(nèi)的普及，使用科學(xué)的方法對(duì)草莓的種植策略進(jìn)行指導(dǎo)也漸漸成為了一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。

生長(zhǎng)模型、即研究生物生長(zhǎng)情況的模型，一般是根據(jù)生物實(shí)際累積生長(zhǎng)曲線進(jìn)行擬合的理論生長(zhǎng)曲線，可由累積重量和時(shí)間的函數(shù)表示。生物的生長(zhǎng)一般情況下符合先快速增長(zhǎng)，后平緩接近于某一臨界值的規(guī)律，實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐與應(yīng)用中常用S型曲線表示，一般具有非線性的特點(diǎn)，故可以使用非線性的數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬生物的生長(zhǎng)規(guī)律［2］。研究作物累積重量隨時(shí)間變化的規(guī)律，建立可靠的統(tǒng)計(jì)模型，可以更加全面地了解作物的生長(zhǎng)情況以及不同生長(zhǎng)階段的生長(zhǎng)潛力，有助于對(duì)作物的生長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，分析種植效果，從而針對(duì)不同的情況制定不同的種植策略，以期達(dá)到最理想的種植效果。

本文使用Logistic 曲線模型對(duì)草莓的生長(zhǎng)過(guò)程進(jìn)行研究，并提出了一種改進(jìn)的生長(zhǎng)模型，該改進(jìn)模型相較于Logistic 曲線模型更好地?cái)M合和重現(xiàn)了草莓在生長(zhǎng)周期中累積重量的變化。

1 相關(guān)知識(shí)

Logistic 曲線模型又被稱為皮爾（Pearl）曲線模型，是一種應(yīng)用非常廣泛的非線性增長(zhǎng)曲線模型。該曲線模型可用于描述事物發(fā)生、發(fā)展、成熟和極限四個(gè)階段的生長(zhǎng)變化過(guò)程，最早是應(yīng)用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計(jì)和產(chǎn)品生命周期分析等方面［3］，后逐漸推廣到人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多學(xué)科［4］。該曲線增長(zhǎng)率大于零，有唯一的拐點(diǎn)和一條水平漸近線［5］，是一種簡(jiǎn)單的飽和增長(zhǎng)模型［6］。國(guó)內(nèi)外學(xué)者數(shù)年來(lái)的理論和實(shí)驗(yàn)研究都證明該模型具有可信的識(shí)別、預(yù)測(cè)和推廣能力［7］。

假設(shè)作物累積重量的自然增長(zhǎng)率，即凈增長(zhǎng)率在一定時(shí)期內(nèi)為常數(shù)k。由該假設(shè)可知，作物的累積重量增長(zhǎng)率，即單位時(shí)間內(nèi)累積重量的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)作物的重量成正比，其比例系數(shù)為k，且k ＞0。由于增長(zhǎng)率本質(zhì)上反映的是變化速度，故可以利用微分方程來(lái)建立模型［8］，列出方程見(jiàn)式（1）：

其中，t表示時(shí)間，P（t）表示t時(shí)刻作物的累積重量，這樣便得到了一個(gè)一階常微分方程。將式（1）分離變量后積分可得公式（2）：

其中，當(dāng)時(shí)間t取0時(shí)，P（t）的值為C，即C表示初始情況下的作物累積重量［9］。該式即為馬爾薩斯于1798 年提出的指數(shù)增長(zhǎng)模型［10］，在該模型下作物累積重量的增長(zhǎng)是非常快的，后期將形成爆炸式增長(zhǎng)，這顯然是不符合實(shí)際情況的?；氐交炯僭O(shè)中可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上作物在生長(zhǎng)到一定程度后，其自然生長(zhǎng)率在受到資源、環(huán)境等因素的制約后并不會(huì)維持不變［11］，而是隨著時(shí)間逐漸減少，即基本假設(shè)中的自然增長(zhǎng)率k應(yīng)該是P（t）的減函數(shù)。為表示出增長(zhǎng)率受資源限制的關(guān)系，設(shè)當(dāng)前環(huán)境下作物所能達(dá)到的最大累計(jì)重量為M，則M-P（t）表示當(dāng)前時(shí)間t時(shí)作物累計(jì)重量的剩余增長(zhǎng)空間。k與M -P（t）為正相關(guān)關(guān)系，令k＝λ（M -P（t）），代入式（1），可得式（3）：

對(duì)式（3）進(jìn)行變形，得到式（4）：

由式（4）可得式（5）：

式（5）兩邊導(dǎo)數(shù)相等，則求導(dǎo)前的函數(shù)相差一個(gè)任意實(shí)數(shù)，設(shè)為C，得到式（6）：

兩邊取e的對(duì)數(shù)，得到式（7）：

令eC＝1／a，λM＝b，解得式（8）：

式（8）即為L(zhǎng)ogistic 曲線模型的積分形式。

2 模型改進(jìn)

本文在Logistic 曲線模型的基礎(chǔ)上對(duì)作物累積重量的自然增長(zhǎng)率進(jìn)行了優(yōu)化，使其更符合實(shí)際生產(chǎn)中的情況。

由前文可知，作物累積重量的自然增長(zhǎng)率k與剩余增長(zhǎng)空間M -P（t）之間成正相關(guān)，但實(shí)際生產(chǎn)中二者之間的關(guān)系并不一定是線性的［12］，而更可能是時(shí)間t的函數(shù)，且隨著時(shí)間的增長(zhǎng)持續(xù)下降［13］，可設(shè)其為r（t），即推得式（9）：

本文討論r（t）為一次函數(shù)的情況，這里令r(t)＝at+b，a和b為參數(shù)，得到公式（10）：

同式（8）的推導(dǎo)過(guò)程，可得公式（11）：

其中，c為任意實(shí)數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及工具

為了對(duì)比2 種模型的擬合效果，本文采用了Universidade Federal de Santa Maria 的草莓實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集使用了16 種不同的處理方法對(duì)草莓進(jìn)行種植，在完全成熟階段，每周2 次、共進(jìn)行37 次收獲并稱重。

擬合的工具使用的是SPSS26，這是一款圖形操作界面友好的統(tǒng)計(jì)軟件，可以對(duì)目標(biāo)數(shù)據(jù)集進(jìn)行回歸分析，并給出參數(shù)的估計(jì)值和擬合優(yōu)度［14］。

3.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)處理

由于SPSS26 在擬合數(shù)據(jù)較大時(shí)會(huì)出現(xiàn)擬合失敗的情況，故需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。本文采用計(jì)算頻率的方式處理數(shù)據(jù)，即將每一時(shí)刻的累積重量除以總累積重量，時(shí)間同理，以此將數(shù)據(jù)大小限制在0到1 之間，方便進(jìn)行擬合［15］。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

通過(guò)使用SPSS26 軟件對(duì)2 種模型各自在5 組數(shù)據(jù)上進(jìn)行擬合，對(duì)比Logistic 曲線模型和本文提出的改進(jìn)模型的擬合效果，采用可決系數(shù)（R2）作為指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)擬合優(yōu)度，計(jì)算方法見(jiàn)式（12）：

將一組數(shù)據(jù)預(yù)處理后輸入SPSS26 后使用改進(jìn)生長(zhǎng)模型曲線進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖1 所示。圖1中，橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為殘差平方和。圖1中，從圖1 可以看出，數(shù)據(jù)擬合效果較好，雖然前幾次迭代中殘差平方和有所上升，但在接下來(lái)的迭代中殘差平方和迅速降低、并趨于穩(wěn)定。

圖1 擬合結(jié)果殘差平方和Fig.1 RSS of fitting results

將2 種模型在相同數(shù)據(jù)集上進(jìn)行擬合，擬合的評(píng)價(jià)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 2 種模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Results of two models

由表1 可以看出，本文提出的改進(jìn)生長(zhǎng)模型對(duì)比Logistic 曲線模型在可決系數(shù)的指標(biāo)上都有所提高，可以更準(zhǔn)確地重現(xiàn)草莓在生長(zhǎng)過(guò)程中的累積重量變化，具有良好的指導(dǎo)意義。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于Logistic 曲線模型的生長(zhǎng)模型，對(duì)Logistic 曲線模型中的作物累積重量自然增長(zhǎng)率進(jìn)行了優(yōu)化，使其更符合實(shí)際情況。本文對(duì)多種不同處理下的草莓生長(zhǎng)數(shù)據(jù)分別使用Logistic 曲線模型和改進(jìn)生長(zhǎng)模型進(jìn)行擬合，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)后的生長(zhǎng)模型的擬合效果更好。考慮到生長(zhǎng)模型曲線泛用性強(qiáng)的特點(diǎn)，今后的研究工作中將會(huì)嘗試將其推廣到更多的領(lǐng)域，并結(jié)合實(shí)際情況加以改進(jìn)，以便為更多領(lǐng)域的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)提供一個(gè)可靠的統(tǒng)計(jì)模型。