二元一次方程與一次函數(shù)珠聯(lián)璧合

周紅雨

二元一次方程與一次函數(shù)之間存在對應(yīng)關(guān)系：以一個(gè)二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在與之對應(yīng)的一次函數(shù)的圖象上；反之，一個(gè)一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定是與之對應(yīng)的二元一次方程的解.現(xiàn)舉例說明二者珠聯(lián)璧合求解的過程．

一、化一次函數(shù)圖象交點(diǎn)為方程組的解進(jìn)行解題

例1 （2022·浙江·杭州）已知一次函數(shù)[y=3x-1]與[y=kx（k]是常數(shù)，[k≠0）]的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），則方程組[3x-y=1，kx-y=0]的解是．

解析：原方程組可化為[y=3x-1，y=kx，]

由一次函數(shù)[y=3x-1]與y = kx的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），

可知原方程組的解為[x=1，y=2.]故應(yīng)填[x=1，y=2.]

例2 （2022·陜西）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y = -x + 4與y = 2x + m相交于點(diǎn)P（3，n），則關(guān)于x，y的方程組[x+y-4=0，2x-y+m=0]的解為（）．

A. [x=-1，y=5] B. [x=3，y=1] ? ?C. [x=1，y=3] ? D. [x=9，y=-5]

解析：將點(diǎn)P（3，n）代入y = -x + 4中，得n = -3 + 4 = 1，∴P（3，1），

[∴y=-x+4，y=2x+m]的解為[x=3，y=1.]

∵ [x+y-4=0，2x-y+m=0]可變形為[y=-x+4，y=2x+m，][∴]原方程組的解為[x=3，y=1.]故選B．

二、化二元一次方程的解為一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)進(jìn)行解題

例3 （2022·新疆）A，B兩地相距300 km，甲、乙兩人分別開車從A地出發(fā)前往B地，其中甲先出發(fā)1 h．圖2是甲、乙行駛路程[y甲km]，[y乙km]隨行駛時(shí)間[x（h）]變化的圖象，請結(jié)合圖象信息，解答下列問題：（1）填空：甲的速度為km/h；（2）分別求出[y甲]，[y乙]與[x]之間的函數(shù)解析式；（3）求出點(diǎn)[C]的坐標(biāo)，并寫出點(diǎn)[C]的實(shí)際意義．

解析：點(diǎn)C為兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，我們可以先求出這兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，再聯(lián)立成二元一次方程組，求出方程組的解，即為交點(diǎn)C的坐標(biāo).

（1）甲的速度為[300÷5=60（km/h）]. 故填60.

（2）由（1）可知，[y甲=60x（0

設(shè)[y乙=kx+b]，根據(jù)題意得[k+b=0，4k+b=300，]解得[k=100，b=-100，]

∴[y乙=100x-100（1

（3）由[y=60x，y=100x-100，]得[x=2.5，y=150，]∴點(diǎn)[C]的坐標(biāo)為[2.5，150].

點(diǎn)C的實(shí)際意義：甲出發(fā)2.5 h時(shí)，乙追上甲，此時(shí)兩人距A地150 km.

例4 （2022·河北）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，線段[AB]的端點(diǎn)為[A（-8，19）]，[B（6， 5）]．（1）求[AB]所在直線的解析式；（2）某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)畫：在函數(shù)[y=mx+n（m≠0， y≥0）]中，分別輸入[m]和[n]的值，得到射線[CD]，其中[C（c， 0）]. 當(dāng)[c=2]時(shí)，會(huì)從[C]處彈出一個(gè)光點(diǎn)[P]，并沿[CD]飛行；當(dāng)[c≠2]時(shí)，只發(fā)出射線而無光點(diǎn)彈出. ①若有光點(diǎn)[P]彈出，試推算[m]，[n]應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系；②當(dāng)有光點(diǎn)[P]彈出，并擊中線段[AB]上的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）時(shí)，線段[AB]就會(huì)發(fā)光. 求此時(shí)整數(shù)[m]的個(gè)數(shù)．

解析：（1）設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)解析式為[y=kx+b]，

則[-8k+b=19，6k+b=5，]解得[k=-1，b=11，]∴[y=-x+11][-8≤x≤6].

（2）①由題意可知射線[y=mx+n]過點(diǎn)（2，0），可得[2m+n=0].

②∵[2m+n=0]，∴[n=-2m]，∴射線CD的解析式為[y=mx-2m].

∴[y=mx-2m，y=-x+11，]∴[m=9x-2-1].

∵射線CD與線段AB交于整點(diǎn)，∴整數(shù)m由整數(shù)x決定，∴[x-2]是9的約數(shù).

∵[-8≤x≤6]，∴[-10≤x-2≤4]，∴[x-2]的值為-9，-3，-1，1，3.

當(dāng)x - 2 = -9時(shí)，m = -2；當(dāng)x - 2 = -3時(shí)，m = -4；當(dāng)x - 2 = -1時(shí)，m = -10；

當(dāng)x - 2 = 1時(shí)，m = 8；當(dāng)x - 2 = 3時(shí)，m = 2．

符合條件的整數(shù)m有5個(gè)，分別是-10，-4，-2，2，8.

（作者單位：江蘇省興化市安豐初級中學(xué)）