Caputo 型線性分數(shù)階常微分方程的一種新的高階數(shù)值方法

朱鵬程

（貴州民族大學數(shù)據(jù)科學與信息工程學院, 貴州 貴陽 550025）

現(xiàn)如今，很多的領(lǐng)域都涉及到了分數(shù)階微分方程的應用問題。比如在數(shù)學、航天工程、金融、粘彈性材料等領(lǐng)域。并且，它正逐漸成為國內(nèi)外學者研究的熱點之一。

文獻[1]的作者利用格林函數(shù)和不動定理，解決了非線性黎曼- 劉偉爾型分數(shù)階方程耦合系統(tǒng)問題。文獻[2]的作者通過證明并使用經(jīng)典的控制收斂定理直接證明了非線性高階時滯方程解的存在性。文獻[3]的作者研究出了一種變分迭代法用于解決含有某類分數(shù)階積分微分方程的問題。文獻[4]的作者構(gòu)造了一種新穎簡便的正則化方法來逼近分數(shù)階導數(shù)。在文獻[5]中, 作者通過阿多米安多項式逼近一類非線性分數(shù)階積分微分方程中的積分項，從而得到這類問題的數(shù)值解。文獻[6]的作者為Caputo 型的分數(shù)階常微分方程提供了一個新的平滑度數(shù)值解。

本研究的主要研究工作分為三個部分：在第一部分通過分段的三次插值公式近似Caputo 型分數(shù)階導數(shù)，從而構(gòu)造了線性分數(shù)階常微分方程的高階數(shù)值格式。在第二部分對構(gòu)造的數(shù)值格式的截斷局部誤差進行估計。在第三部分我們舉出一個數(shù)值算例證明理論分析的正確性。

1 高階數(shù)值格式的構(gòu)造

我們用下面的等式來表示線性分數(shù)階常微分方程的高階數(shù)值格式：

2 局部截斷誤差估計

表1 Δt 分別取1/8,1/16,...,1/512 時的最大絕對誤差和收斂階