增壓條件下浮沉子不可逆下沉的動力學(xué)研究

歐陽嚴嚴，陳 靖，陳宗強，孔勇發(fā)

(南開大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，天津 300071)

浮沉子由法國科學(xué)家笛卡爾發(fā)明，為玻璃制的小瓶體，其下端開有小孔，水可通過小孔進出瓶體. 把浮沉子放入高貯水筒中，并使之浮在水面上. 用薄橡皮膜覆蓋筒口并扎緊，用手按橡皮膜，筒內(nèi)的水和空氣在密閉的容器內(nèi). 可以通過調(diào)節(jié)外加壓強的大小，改變浮沉子的排水體積來實現(xiàn)浮沉子的浮沉. 根據(jù)帕斯卡定律，當(dāng)改變外部封閉容器中的壓強時，試管內(nèi)的水會被排出或試管外部容器中的水會被擠入，導(dǎo)致空氣柱的體積增大或者減小，從而改變浮沉子受到的浮力，實現(xiàn)上浮或者下沉.

浮沉子在液體中特定位置的浮沉狀態(tài)受到其幾何結(jié)構(gòu)[1]、外界壓強[1]、液體密度[1-2]以及溫度[3]等因素的影響. 由于浮沉子在展示浮力變化以及浮力與重力的相對大小方面具有現(xiàn)象明顯的特點，故常常作為教具[4-6]. 浮沉子原理也被應(yīng)用于高空氣球形貌的預(yù)測[7]、磁力浮沉子密度計的設(shè)計[8]、檢測高濃度水[9-10]等. 由于浮沉子的研究內(nèi)容廣泛而有趣，該內(nèi)容被選為2021年IYPT的第6題：不可逆轉(zhuǎn)浮沉子.

本文首先通過受力分析給出了浮沉子發(fā)生不可逆下沉的原因是由于浮沉子所受浮力小于增加的壓強給浮沉子向下的力. 接著，從勢能角度給出了在增壓情況下浮沉子的臨界深度位置，解釋了浮沉子不可逆下沉點的物理本質(zhì)為不穩(wěn)定平衡的勢能極大值點，并討論了壓強的改變對該勢能極大值點存在性的影響. 最后，通過實驗驗證了浮沉子不可逆下沉點的位置，并探究了相關(guān)參量對不可逆點位置的影響.

1 理論分析

1.1 浮沉子不可逆臨界深度的分析

假設(shè)氣體均為理想氣體，且浮沉子內(nèi)氣柱溫度以及水溫保持恒定不變.記浮沉子下降到一定深度時頂端到液面的距離為x，氣柱位于液面下的部分高度為ξ，浮沉子的不同狀態(tài)如圖1所示.

(a)與液面齊平 (b)液面上方 (c)液面下方

對浮沉子中的氣柱，由玻意爾方程可得：

(1)

其中，p0為大氣壓強，l0為未放入水前浮沉子初始氣柱的長度，ρ為液體的密度，g為重力加速度，p為液面上方氣體的壓強.求解式(1)，得到

其中

a′=ρg,b′=p+|x|ρg,

對試管頂端面元進行受力分析，如圖2所示. 浮沉子受到的水壓力為Fwater，浮沉子內(nèi)氣柱產(chǎn)生的壓力為Fgas，面元自身重力、面元受到的浮力和側(cè)壁對面元的拉力的合力為Gtube.

圖2 試管頂端面元的受力示意圖

令面元所受合力為F，可得：

F=Gtube+Fwater-Fgas,

(2)

其中，

(3)

其中，d0為上方面元厚度，dext和dint分別為試管外徑和內(nèi)徑，L為試管長度，ρglass和ρ分別為玻璃和水的密度.式(3)中第一項為浮沉子重力項，第二項為浮沉子所受浮力項.

(4)

(5)

其中，pgas為浮沉子內(nèi)部氣柱的壓強.

當(dāng)考慮浮沉子上端在水下(即x≤0)時，由浮沉子平衡條件得F=0，由式(2)～(5)得：

(6)

分析浮沉子中空氣柱的壓強，可得：

pgas=p+(ξ+|x|)ρg.

(7)

式(6)和(7)交點的位置坐標(biāo)即為臨界深度，此時為浮沉子可逆下沉與不可逆下沉的分界點.

(8)

其中，

(9)

當(dāng)浮沉子初始時完全位于液體內(nèi)部，增大壓強將導(dǎo)致|Fwater|>|Fgas-Gtube|，合力向下，導(dǎo)致浮沉子下沉.此時，只要給予浮沉子微小的向下速度，就能夠使其發(fā)生不可逆下沉，在這種情況下初始位置即為臨界深度.

如圖1(b)所示，當(dāng)浮沉子初始時部分位于液體內(nèi)部時，增大壓強即增大了浮沉子向下的壓力，浮沉子向下移動，導(dǎo)致向上的合力|Fgas-Gtube|增大，從而達到|Fwater|=|Fgas-Gtube|，浮沉子處于平衡狀態(tài).如果不斷增壓將導(dǎo)致浮沉子的位置不斷向下移動.在達到臨界深度之前，如果恢復(fù)原始壓強將導(dǎo)致Fwater減小，而Fgas和Gtube不變，則浮沉子受到向上的合力而向上移動，此時的下沉可逆.

如圖1(c)所示，浮沉子初始時處于液體中的某一位置.當(dāng)這一位置處于臨界深度上方時，|Fwater|<|Fgas-Gtube|，浮沉子上??；當(dāng)這一位置處于臨界深度時，|Fwater|=|Fgas-Gtube|，浮沉子懸??；當(dāng)這一位置處于臨界深度下方時，|Fwater|>|Fgas-Gtube|，浮沉子下沉.

綜上所述，增大浮沉子體系的壓強，浮沉子將下沉至某一位置.當(dāng)浮沉子處于該位置時，恢復(fù)初始壓強，浮沉子有3種浮沉狀態(tài)：處于臨界深度上方時，浮沉子上浮，此過程稱為可逆下沉；恰好處于臨界深度，浮沉子懸浮；處于臨界深度下方時，浮沉子下沉，此過程稱為不可逆下沉.

1.2 浮沉子受迫下沉以及不可逆現(xiàn)象的解釋

假設(shè)溫度不變，忽略浮沉子頂端面元受到的重力和浮力[1]，得到

(10)

(11)

由此，利用Matlab數(shù)值模擬可以做出浮沉子勢能U(x)與位置x的關(guān)系曲線，如圖3所示.其中參量取值為：浮沉子的質(zhì)量m=0.018 63 kg，液體密度ρ=1 ×103kg/m3,浮沉子內(nèi)氣柱的橫截面積A=0.000 16 m2,重力加速度g=9.8 m/s2,大氣壓強p0=1.013×105Pa,浮沉子未放入水中時氣柱長度l0=7 cm,組成浮沉子的試管體積V=8.101 5×10-6m3,石英密度ρglass=2.3 ×103kg/m3,浮沉子的總長度L=16 cm.

不同壓強條件下的勢能曲線如圖3所示，當(dāng)壓強逐漸增大時，勢能逐漸由類似于三次函數(shù)過渡到單調(diào)遞增的函數(shù)；當(dāng)壓強在較小范圍內(nèi)時，浮沉子勢能存在1個極大值和1個極小值，圖3中的壓強為1.025p0時，勢能存在極大值Umax和極小值Umin.

圖3 不同壓強下浮沉子勢能隨位置的變化

在勢能最大值處浮沉子的受力方向發(fā)生改變，如圖4所示.

圖4 不同壓強下浮沉子受力隨位置的變化

當(dāng)壓強較大時，受力始終豎直向下，浮沉子只能發(fā)生不可逆下沉，如圖4中壓強為1.100p0的受力曲線.浮沉子體系的增壓大小是浮沉子可逆或者不可逆下沉的重要因素.較小的微擾使得浮沉子在穩(wěn)定平衡點附近做類似諧振子振動，即浮沉子在穩(wěn)定位置附近往復(fù)振動.而較大的微擾會導(dǎo)致浮沉子越過Umax所對應(yīng)的位置，從而受不穩(wěn)定平衡點附近運動規(guī)律的支配.勢能的極小值點對應(yīng)浮沉子的穩(wěn)定平衡點，即浮沉子在液面上方的平衡位置.當(dāng)浮沉子受到較小擾動偏離該位置時，由于浮力作用而回到初始穩(wěn)定平衡位置.勢能極大值點對應(yīng)浮沉子不穩(wěn)定平衡位置，浮沉子的受力在此處發(fā)生變化：在此位置上方，浮沉子所受浮力大于重力，從而回到其穩(wěn)定平衡位置，下沉是可逆的；在此位置下方，浮沉子所受浮力小于重力，從而發(fā)生不可逆的下沉.

2 實驗驗證

實驗中組成浮沉子的試管為內(nèi)外徑以及長度均不同的石英管，根據(jù)實驗需要在石英管中有不同長度的水柱. 為了使實驗時能夠在更大范圍內(nèi)調(diào)節(jié)相關(guān)參量，實驗中浮沉子被置于高度為2 m的垂直長管中. 通過將垂直長管密封并連接到流量可控的氣泵來控制管中壓強.

實驗液體為水，重力加速度為9.8 m/s，p0為理想大氣壓，石英密度為2.3×103kg/m3. 為了探究相關(guān)參量，定制僅改變長度或內(nèi)外徑比例的試管，規(guī)格如表1所示.

表1 實驗中所使用的浮沉子規(guī)格

在其他參量保持不變時，測量了臨界深度隨初始時浮沉子中氣柱長度的變化，如圖5所示. 測量試管6得到的浮沉子頂端完全浸沒時的氣柱長度為113.0 mm. 當(dāng)其他條件保持不變，浮沉子中的初始氣柱長度l0增加時，臨界深度將會隨之線性增加. 這是因為當(dāng)l0增加時浮沉子在水中受到的浮力將會增大，從而將在更深的位置發(fā)生不可逆下沉現(xiàn)象. 當(dāng)初始氣柱從114.0 mm增加到127.1 mm時，不可逆位置從-16.21 cm下降到-141.19 cm.

圖5 臨界深度隨初始氣柱長度的變化

圖6 臨界氣柱長度與水的密度倒數(shù)的關(guān)系

使用相同長度、不同內(nèi)徑和外徑的試管探究了不可逆參量隨外徑和內(nèi)徑的比值平方的變化，如圖7所示，所用浮沉子為試管4，7，8，9，10. 當(dāng)外徑和內(nèi)徑的比值的平方從1.24增大到1.44時，不可逆參量從4.30 cm增大到7.32 cm. 外徑與內(nèi)徑的比值的平方越大，將導(dǎo)致浮沉子玻璃的質(zhì)量增加，從而浮沉子的氣柱中的氣體體積變大才能保持平衡狀態(tài)，因此臨界氣柱長度隨外徑與內(nèi)徑的比值的平方增大而增大. 這里實驗與理論的數(shù)值出現(xiàn)偏差的原因是由試管內(nèi)外徑的測量精度造成的.

圖7 臨界氣柱長度與外徑和內(nèi)徑比值平方的關(guān)系

在其他參量保持不變時，探究不可逆參量隨試管總長度的變化，如圖8所示，所用浮沉子為表1中試管1～6. 當(dāng)浮沉子長度增大時，需要浸沒到較深處才能達到可逆位置. 當(dāng)試管長度從10 cm增加到20 cm時，不可逆參量從4.54 cm增加到9.10 cm.

圖8 臨界氣柱長度與試管長度的關(guān)系

3 結(jié)束語

本文從理論上探究了浮沉子不可逆下沉的臨界位置，解釋了壓強對浮沉子不可逆下沉現(xiàn)象的影響. 浮沉子在液體中存在不穩(wěn)定平衡的臨界位置. 從受力角度解釋，是當(dāng)浮沉子完全浸沒時無法依靠增大氣體體積而增大浮力所致；從勢能的角度解釋，該位置是浮沉子的不穩(wěn)定平衡點，改變壓強會導(dǎo)致不可逆平衡點發(fā)生改變，進而導(dǎo)致出現(xiàn)不可逆下沉. 另外，通過實驗驗證了浮沉子不可逆下沉的臨界深度與浮沉子未置入水中時的氣柱長度、液體密度和試管的外徑與內(nèi)徑的比值以及總長度之間的關(guān)系，并對實驗現(xiàn)象給出了直觀的物理圖像解釋.