基于機動法的等邊三角形計算截面彎矩影響線

梁麗浩

(泰山科技學院建筑工程學院，山東 泰安271000)

一般的工程結構往往同時承受固定荷載和移動荷載的共同作用，例如橋梁承受汽車、行人等移動荷載的作用，在車間內(nèi)的吊車梁承受吊車移動荷載的作用。在移動荷載作用下，隨著荷載位置的移動結構的反力和內(nèi)力將發(fā)生變化[1]，因此在結構設計中,必須求出移動荷載作用下反力和內(nèi)力的最大量值。解決這個問題的重要工具就是影響線，影響線是計算結構在移動荷載下內(nèi)力、反力等量值的工具和手段[1]。在結構力學教材中，求解影響線的方法主要采用靜力法和機動法[2]。

靜力法[3]是根據(jù)靜力平衡條件建立影響量方程，它是通過函數(shù)關系作出函數(shù)圖求解影響線的方法，靜力法求解簡單的靜定單跨梁或多跨梁所列的平衡方程比較簡潔，計算也較簡單，能夠迅速建立方程，利用數(shù)學關系繪制函數(shù)圖，即為所求影響線，但對于復雜靜定多跨梁，根據(jù)靜力平衡方程建立影響量方程求解函數(shù)關系式的過程中計算比較繁瑣、步驟相對復雜，很難快速作出函數(shù)圖求得影響線。

機動法[4]又稱為虛功法，其作影響線的依據(jù)是理論力學中的虛位移原理[5]，即剛體體系在力系作用下處于平衡的必要和充分條件是：在任何微小的虛位移中，力系所作的虛功總和為零。因此，機動法求解影響線時需要根據(jù)虛位移原理，得到機構的幾何位移圖，但根據(jù)數(shù)學關系——三角函數(shù)往往無法求出精確的豎向位移值。應用等邊三角形計算截面彎矩量值是近似求解，計算影響線的過程也是一種數(shù)學關系的應用[6]。該過程先根據(jù)機動法去掉相應約束代之反力，即桿件斷開由鉸結點連接，鉸結點處添加一對力偶，去掉約束的結構變成機構，機構在反力偶的作用下發(fā)生微小位移，其中反力偶作用處鉸結點連接的兩個桿件發(fā)生單位角位移（忽略桿件變形）后利用等邊三角形借助幾何關系計算出反力偶作用處鉸結點的豎向位移值，再利用幾何關系計算出每個鉸結點和自由端的豎向位移，從而求出對應的截面彎矩影響線[7]。

1 典型算例

1.1 單跨梁

求圖1（a）所示靜定單跨梁C 截面彎矩影響線[1-4]，其中梁長l，C 截面距支座A、支座B 距離分別為a、b，移動荷載F=1 作用在梁上。

（1） 結構變成機構，即去掉C 截面處約束，桿件斷開變成鉸結點連接，增加一對內(nèi)力偶MC。

（2） 機構在內(nèi)力偶MC的作用下桿件CA 和CB在C 鉸結點處發(fā)生相對角位移，形成幾何位移圖，如圖1（b）所示，圖1（b）中桿件CA 沿A 端轉動∠α，桿件CB 沿B 端轉動∠β，根據(jù)三角形的外角=內(nèi)角之和的數(shù)學關系，得∠AC1A1=∠α+∠β，再根據(jù)虛功原理應用——單位位移法，得到桿件CA 和CB 在鉸結點C處產(chǎn)生的相對轉動∠ACA1=∠α+∠β=1，然后把△AC1A1等效為等邊三角形，即AA1=CA1=AC=a（AC忽略線彈性變化），由△BCC1∽△BAA1得CC1=ab/l。

（3） 繪制標有豎向位移值的幾何位移圖，即為單跨梁C 截面彎矩影響線（豎向位移在軸線以上為正，反之為負），如圖1（c）所示。

圖1 單跨梁跨中

1.2 多跨梁

（1） 求圖2（a）中靜定多跨梁跨中K 截面截面彎矩影響線[1-2]，其中各桿件長度如圖所示，多跨梁受單位移動荷載P=1。

① 結構變成機構，即桿件AB 在K 截面處斷開，去掉一個約束，桿件由鉸結點連接，鉸結點處添加一對內(nèi)力偶Mk。

② 桿件KH 和桿件KE 在內(nèi)力偶Mk的作用下首先在K 鉸結點處產(chǎn)生相對角位移，根據(jù)虛功原理可知桿件KH 和KE 的相對角位移為單位位移，再利用桿件間的連動作用和桿件在滾軸支座支撐情況，最后得到各桿件在內(nèi)力偶Mk的作用下運動后形成幾何位移圖，如圖2（b），圖中K 鉸結點處的△K1BB1等效為等邊三角形，BB1=K1B=KB=1（忽略桿件彈性變形），根據(jù)相似三角形關系，△AKK1∽△ABB1求得KK1=3/4，依次利用三角形相似比的關系△AHH1∽△AKK1∽△BEE1∽△EE1C∽△CFF1∽△FF1D∽△DGG1，求得HH1=1/4，EE1=9/4，F(xiàn)F1=9/2，GG1=9/4。

③ 繪制標有豎向位移值的幾何位移圖，即為靜定多跨梁K 截面的彎矩影響線（豎向位移在軸線以上為正，反之為負），如圖2（c）所示。

圖2 多跨梁跨中K 截面

（2） 求圖3（a）中多跨梁C 支座處截面彎矩影響線[12]，其中各桿件長度如圖所示，多跨梁受單位移動荷載P=1。

① 結構變機構成為幾何可變體系，即支座C 去掉一個約束代之內(nèi)力，由復合支座變成鏈桿支座，增加一對內(nèi)力偶MC。

② 機構在內(nèi)力偶MC的作用下桿件CF 發(fā)生微小位移，再根據(jù)虛位移原理得到桿件CF 在C 處發(fā)生單位角位移，各桿件根據(jù)聯(lián)動作用形成幾何位移圖，如圖3（b），圖中初始轉動位置C 支座處的△CFF1等效為等邊三角形，F(xiàn)F1=F1C=CF=2（忽略桿件彈性變形）；根據(jù)相似三角形，即△FF1D∽△DGG1，得GG1=1。

③ 繪制標有豎向位移值的幾何位移圖，即為多跨梁C 截面的彎矩影響線（豎向位移在軸線以上為正，反之為負），如圖3（c）所示。

圖3 多跨梁支座處C 截面

2 結論

本文應用“等邊三角形”新思路計算靜定單跨梁和多跨連續(xù)梁某截面彎矩影響線的過程主要分為三個步驟，首先去掉相應位置的約束代之內(nèi)力偶，結構缺少約束變成機構（幾何可變體系）；其次機構在內(nèi)力偶的作用下發(fā)生微小位移形成幾何位移圖，在幾何位移圖中，初始位移處三角形等效為等邊三角形，忽略桿件彈性變形確定三角形各邊長，應用數(shù)學關系-相似三角形比例關系求出各三角形最高處的豎向位移值，最后標有豎向位移值的幾何位移圖，即得到截面彎矩影響線，其中影響量值正負號規(guī)定是軸線以上豎向位移為正，反之為負）[8-12]。三個典型算例表明，本方法適用于解決靜定單跨梁和多跨連續(xù)梁某截面彎矩影響線的求解問題，與三角函數(shù)思想相比具有計算量小，高效快捷的優(yōu)勢。