非自治時(shí)滯Boussinesq- Beam 方程的解的適定性

徐瑰瑰,王利波,李光輝

(凱里學(xué)院理學(xué)院，貴州 凱里 556011)

Beam 方程又稱梁方程，由于在房屋、橋梁、鐵路、鐵路等建設(shè)中，梁是必不可少的建設(shè)元素，而且又容易受到外力影響，所以梁方程的研究具有十分重要的意義，也受到了很多專家學(xué)者的關(guān)注，而時(shí)滯能夠刻畫事物過去的狀態(tài)，其存在能夠影響模型的準(zhǔn)確性，時(shí)滯也就更能反映客觀事物的變化規(guī)律。因而，在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)的模型中，時(shí)滯微分方程都發(fā)揮著重要作用，其研究也受到了廣泛的關(guān)注，研究時(shí)滯微分方程實(shí)際上就是研究由時(shí)滯微分方程所產(chǎn)生的時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)，主要研究目標(biāo)是解的存在唯一性、連續(xù)性、漸近性、爆破行、系統(tǒng)產(chǎn)生半群的緊性、慣性流形、吸引子等方面，時(shí)滯偏微分方程具有廣泛的物理等背景意義和現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)模型，能夠更好地描述現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象，故時(shí)滯偏微分方程的研究也吸引力許多專家學(xué)者的注意，文獻(xiàn)[1]借助收縮函數(shù)、能量估計(jì)等方法研究了如下帶有時(shí)滯項(xiàng)的梁方程

具有拉回和正向吸引子，文獻(xiàn)[4]首先證明了梁方程是漸近緊的，然后得到了方程具有時(shí)間依賴全局吸引子的結(jié)論，文獻(xiàn)[5]研究了如下時(shí)滯波方程

解是時(shí)滯偏微分方程的一個(gè)基本概念，是研究的基礎(chǔ)，因此，主要研究如下非自治帶時(shí)滯項(xiàng)的Beam 方程的解的存在唯一性

1 假設(shè)條件

為了方便起見，引入如下記號(hào)：記H=L2(Ω )，記C為Banach空間C([-r,0];X)，并賦上確界為其模，即對(duì) ?u?C，其范數(shù)為

(G1)若 ? ξ?C H,t? R，則g(t, ξ)是可測(cè)的；

2 主要結(jié)論

在這一部分，主要目的是為了得到方程(1)的解是存在的，并且具有唯一性。

因而，方程組(4)滿足如下條件

顯而易見，該初值問題確定了一個(gè)有限維的時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)，該系統(tǒng)至少在局部是適定的，接下來的目標(biāo)就是證明對(duì)任意的T> 0，解在區(qū)間 [-r,T]上是存在的。

(S2) 先驗(yàn)估計(jì)

其中

選取足夠小的正的常數(shù)m>0，使得 - ++ 1 ＜0，于是