數(shù)據(jù)處理方法在數(shù)學(xué)建模競賽中的應(yīng)用

山西能源學(xué)院 李璇

為了充分發(fā)揮出數(shù)學(xué)建模競賽的作用，本文針對數(shù)據(jù)處理方法在其中的應(yīng)用進(jìn)行介紹。首先闡述數(shù)據(jù)處理方法和數(shù)學(xué)建模競賽，分別從建模數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)插值與擬合、數(shù)據(jù)仿真處理、數(shù)據(jù)回歸分析四個方面展開分析，了解不同分析處理方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，明確數(shù)學(xué)建模競賽中使用數(shù)據(jù)處理方法應(yīng)該注意的關(guān)鍵點。以期能夠通過數(shù)據(jù)處理方法簡化數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)建模是解決實際問題的一種方法，主要利用到數(shù)學(xué)語言，將實際問題簡化、抽象、描繪處理之后，以解答問題為目標(biāo)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，其間可以利用信息技術(shù)作為輔助，求解得到的結(jié)果也需要進(jìn)行解析、檢測，將實際問題解決。數(shù)學(xué)建模過程中涉及非常多的實驗參數(shù)，這些參數(shù)必須進(jìn)行解析，通過計算機(jī)軟件整合，此環(huán)節(jié)在數(shù)據(jù)建模中屬于數(shù)據(jù)處理。應(yīng)用一些比較特殊的處理方法，在實驗參數(shù)中總結(jié)規(guī)律，所有參數(shù)融合分析。建模初期通過已知數(shù)據(jù)處理模式，分析面臨實際問題模型所有變量之間的關(guān)系，其中部分模型建議利用回歸分析法與時序分析法等統(tǒng)計解析法進(jìn)行建構(gòu)。數(shù)學(xué)建模競賽中應(yīng)用數(shù)學(xué)處理方法，因為該競賽本身是以數(shù)學(xué)建模為基礎(chǔ)，所以通過數(shù)學(xué)處理方法，可以真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模競賽的優(yōu)勢，開發(fā)青少年思維，提高計算機(jī)軟件操作、數(shù)學(xué)模型構(gòu)建等的基礎(chǔ)能力，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)處理方法，從而使數(shù)據(jù)分析更具精準(zhǔn)性。為此，本文針對數(shù)學(xué)建模競賽中數(shù)據(jù)處理方法的應(yīng)用做出分析，探討數(shù)據(jù)處理方法的應(yīng)用流程。

1 數(shù)據(jù)處理方法

以往應(yīng)用的演算式數(shù)據(jù)處理法，在信息時代下無法滿足數(shù)據(jù)處理的基本需求，而且數(shù)據(jù)處理方法也得到了創(chuàng)新，當(dāng)下的數(shù)據(jù)處理方法是將計算機(jī)作為載體，再通過信息技術(shù)整理、分析數(shù)字信息[1]。目前比較常見的數(shù)據(jù)處理方法為表格和圖示，比如：根據(jù)近年來數(shù)據(jù)趨勢分析，數(shù)據(jù)整理之后可以繪制相應(yīng)的折線統(tǒng)計圖，可以直觀分析數(shù)據(jù)走勢；而要統(tǒng)計數(shù)據(jù)在整體中的百分比時，常用扇形圖，可清晰顯示數(shù)據(jù)比例。對比傳統(tǒng)的圖形繪制，利用軟件技術(shù)構(gòu)建數(shù)據(jù)模型，直接在軟件中輸入數(shù)據(jù)，軟件可以直接繪制、生成圖表，使數(shù)據(jù)處理更加準(zhǔn)確以及高效。

2 數(shù)學(xué)建模競賽及其意義

數(shù)學(xué)建模競賽一般指中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，秉持著“創(chuàng)新意識、團(tuán)隊精神、重在參與、公平競爭”的宗旨，在高等院校中是其培養(yǎng)創(chuàng)新型人才非常關(guān)鍵的教育形式。數(shù)學(xué)建模即針對數(shù)學(xué)問題，大學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維與語言，判斷問題中包含的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而進(jìn)行問題求解與解釋[2]。數(shù)學(xué)建模競賽面向大學(xué)生，培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)造能力，大學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模競賽，可以鍛煉其快速采集信息與資料、獲取新知識的能力，加強(qiáng)大學(xué)生團(tuán)隊合作意識，有利于培養(yǎng)大學(xué)生的邏輯思維與開放性思維。

3 數(shù)學(xué)建模競賽中數(shù)據(jù)處理方法使用策略

3.1 建模數(shù)據(jù)分析

一般數(shù)據(jù)建模過程中，采集或者提供原始數(shù)據(jù)，多是采用電子表格，而電子表格軟件具有諸多功能，如參數(shù)排列、參數(shù)選擇、分類總結(jié)以及函數(shù)換算。通過上述功能對建模的所有參數(shù)進(jìn)行初級整合，比如重新排列關(guān)鍵詞、按照數(shù)據(jù)與范圍做出選擇、分類分析、換算最大/最小值與頻數(shù)。此外，電子表格還支持繪圖，按照數(shù)學(xué)建模的不同要求，分別繪制散點圖、曲線圖或者直方圖，預(yù)估判斷參數(shù)的變化趨勢。

3.2 數(shù)據(jù)插值與擬合

數(shù)學(xué)建模競賽采用數(shù)據(jù)處理方法，數(shù)據(jù)插值與數(shù)據(jù)擬合比較常用。比如1998年舉辦的賽A 題涉及生物組織切片的問題，而此問題采用三維插值法進(jìn)行求解。1994年組織的國賽A 題，對于山體海拔高度進(jìn)行計算，依然可以采用數(shù)據(jù)插值法。除了上述兩類問題外，2001年組織的國賽，包括血管三維重建的問題，此問題求解時構(gòu)建最大內(nèi)切圓模型，通過血管三維重建圖像插入Matlab 程序代碼，應(yīng)用陰影插值函數(shù)進(jìn)行求解。通過模型檢驗和誤差分析，構(gòu)建二值圖像矩陣相加模型。誤差分析時總結(jié)原因和優(yōu)化方法，還可提出關(guān)于血管三維重建延拓猜想，明確前后圖片相似度不高的成因，最終完成模型求解。由此可見，數(shù)據(jù)插值與數(shù)值擬合方法適用于多種建模。

面對擬合問題，利用實驗數(shù)據(jù)明確已知函數(shù)參數(shù)，或者可以尋求近似函數(shù)，使獲得的近似函數(shù)、已知數(shù)據(jù)之間擬合度較高。若明確數(shù)據(jù)存在誤差，無需近似函數(shù)經(jīng)過全部數(shù)據(jù)點，只需得出近似函數(shù)即可，而且要求近似函數(shù)能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律，此為數(shù)據(jù)擬合[3]。按照已知數(shù)據(jù)點對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)，采取插值方法明確未知數(shù)據(jù)點數(shù)據(jù)，此方法為數(shù)據(jù)插值法。在數(shù)學(xué)建模競賽中采用數(shù)值插值方法，如果實驗條件存在一定的限制，或者是實驗數(shù)據(jù)量較少，加上已經(jīng)包含可信數(shù)據(jù)的情況下，一般可以采用函數(shù)插值方法，插值得到兩個數(shù)據(jù)點間的所有數(shù)據(jù)點，繪制數(shù)據(jù)曲線途徑所有實驗數(shù)據(jù)點。利用插值函數(shù)分別屬于不同的類型，逼近效果、光滑程度自然存在差異。數(shù)學(xué)建模中比較常用的數(shù)值插值方法包括Lagrange 插值、分段線性插值、Hermite 插值、三次樣插值，上述插值方法均屬于分段插值。應(yīng)用Matlab 軟件，該軟件功能函數(shù)支持分段插值，無需編制函數(shù)程序。該軟件支持Interpl（一維插值）、Interp2（二維）、Interp3（三維）以及Intern（n 維）等方法，一維插值與二維插值應(yīng)用相對普遍[4]。例如一維插值，其函數(shù)格式y(tǒng)i=interp1(x,y,xi,method)，（x，y）是插值節(jié)點，xi是被插值點，yi是xi位置的插值結(jié)果，如果設(shè)置默認(rèn)條件，插值方法可以選擇分段線性插值，最鄰近插值是Nearest，線性插值是Linear，三次樣條插值是Spline，立方插值是Cubic。在全部的插值方法當(dāng)中，x務(wù)必具備單調(diào)性，xi在x取值范圍以內(nèi)。再如二維插值，其函數(shù)格式是yi=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)。

在數(shù)學(xué)建模競賽中采用數(shù)據(jù)擬合方法，對一些條件相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，利用實驗數(shù)據(jù)可以直接建模，分析其中因果變量存在的數(shù)量關(guān)系，預(yù)測未知情形，所建模型即為擬合模型。利用擬合模型，有效控制實驗數(shù)據(jù)誤差，并通過數(shù)學(xué)表達(dá)式，立足于數(shù)量這一維度，總結(jié)近似表達(dá)因果變量存在的聯(lián)系。構(gòu)建擬合模型時，必須綜合分析變量實驗數(shù)據(jù)，科學(xué)選擇擬合函數(shù)。常見的擬合模型有線性擬合、多項式擬合、曲線擬合這三種。如果使用Matlab 軟件，可以直接利用函數(shù)polyval，polyval 的編程界面如圖1所示。Spss 軟件則是通過菜單、對話框，支持一次性選擇多種模型，綜合對比擬合度。一般在選擇擬合模型時，需要提前繪制散點圖，分析與總結(jié)數(shù)據(jù)分布，為最終確定模型提供依據(jù)。

圖1 polyval 的編程界面Fig.1 The programming interface of polyval

3.3 數(shù)據(jù)仿真處理

數(shù)學(xué)建模必須采用計算機(jī)仿真技術(shù)，隨機(jī)性模擬是其中比較常用的常規(guī)算法。一般構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時，數(shù)據(jù)仿真有數(shù)學(xué)仿真、計算機(jī)仿真這兩種類型。數(shù)學(xué)仿真需要使用數(shù)學(xué)方程式，基于已知建立條件，采用數(shù)學(xué)表達(dá)式的方式完成模擬仿真。計算機(jī)系統(tǒng)中對相關(guān)體系數(shù)學(xué)模式展開實驗，即為計算機(jī)仿真。計算機(jī)仿真模式的應(yīng)用，可以改變仿真系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)，為數(shù)學(xué)模型解析提供便利。計算機(jī)仿真模式包含蒙特卡洛算法，也被稱作隨機(jī)性模擬方法，該算法比較常用。利用隨機(jī)函數(shù)，針對待求解問題抽取隨機(jī)樣本，在獲取樣本之后對樣本值進(jìn)行觀察和分析，通過統(tǒng)籌分析得到問題解答需要用到的參數(shù)。

比如全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽1997年A 題中，包含“零件參數(shù)預(yù)設(shè)”版塊，該版塊的算題之中，元件展示標(biāo)定值、容差等級均不同，需要最終求解得到元件的最佳組合模式?；蛘咄ㄟ^計算過程相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在所有的108 類容差當(dāng)中做出選擇，挑選最佳預(yù)案。因為實際求解過程比較繁瑣，并且面臨較高的難度，所以只能采用計算機(jī)仿真模式進(jìn)行求解。

粒子分離器的其中一個參數(shù)（y）與7 個零件參數(shù)（x1，x2，...x7）相關(guān)，由此得出經(jīng)驗公式：

y 目標(biāo)值（y0）是1.50，如果y 已經(jīng)偏離y0±0.1，此時可判定產(chǎn)品屬于次品，并得出質(zhì)量損失，是1000 元。如果y 已經(jīng)偏離離y0±0.3，那么產(chǎn)品可判定為廢品，得出損失是9000 元。因為零件參數(shù)標(biāo)定值存在容許變化范圍，將容差發(fā)呢為A、B、C 三級，表示為標(biāo)定值的相對值。其中A 是±0.1%，B 是±0.5%，C 是±10%，所有的7個零件參數(shù)標(biāo)定值容許范圍和各容差等級對應(yīng)零件成本如表1所示。采取批量成產(chǎn)的方法，每批為1000 個，原本的設(shè)計方案中零件參數(shù)標(biāo)定值依次是0.1、0.3、0.1、0.1、1.5、16、0.75，而容差則確定為最便宜等級。根據(jù)y 偏離y0形成的損失與零件成本，并對零件參數(shù)進(jìn)行重新設(shè)計，按照表1展開分析，各個元件可行區(qū)間按照正態(tài)分布，任意選擇標(biāo)定數(shù)據(jù)和容差數(shù)據(jù)，通過蒙特卡洛算法進(jìn)行仿真分析，得到諸多預(yù)案，在所有預(yù)案中做出選擇即可。

表1 零件參數(shù)標(biāo)定值容許范圍和各容差等級對應(yīng)零件成本Tab.1 The allowable range of the calibration value of the part parameters and the cost of the parts corresponding to each tolerance level

3.4 數(shù)據(jù)回歸分析

數(shù)學(xué)建模競賽中采用回歸解析這一數(shù)據(jù)處理方法，總體來說頻率比較高，根據(jù)現(xiàn)有問題求解，發(fā)現(xiàn)在“長江水質(zhì)的考察與預(yù)估”“HIV 病毒”和“高等學(xué)府學(xué)費(fèi)”等問題中均可應(yīng)用數(shù)據(jù)回歸分析方法。所謂回歸解析，可對應(yīng)變量、多個自變量之間具有的線型和非線性關(guān)系進(jìn)行分析，屬于統(tǒng)籌解析模式。求解問題過程中解讀應(yīng)變量、自變量，便可明確變量之間存在的因果關(guān)系。構(gòu)建回歸模型，按照實際測算得到參數(shù)，預(yù)估模型所有數(shù)據(jù)，回歸模型通過評價的方式判斷其與實際數(shù)據(jù)之間的擬合度，根據(jù)自變量展開推導(dǎo)。

對比其他數(shù)據(jù)處理方法，回歸解析模式具有比較扎實的理論基礎(chǔ)，采樣參數(shù)可以確定變量之間的定量關(guān)系，總結(jié)統(tǒng)籌變量數(shù)據(jù)發(fā)生的變化，從而構(gòu)建變量之間定量關(guān)系數(shù)學(xué)模型，預(yù)測參數(shù)變化趨勢?；貧w解析方法準(zhǔn)確分析自變量在應(yīng)變量影響趨勢、影響程度等方面具有明顯的優(yōu)勢，除了數(shù)學(xué)建模以外，也被廣泛應(yīng)用在了經(jīng)濟(jì)、金融、自然科學(xué)等專業(yè)領(lǐng)域，數(shù)據(jù)建模比賽當(dāng)中的應(yīng)用也非常普遍?；貧w解析常見的包括有Logistic 回歸、線性回歸、曲線回歸、非線性回歸等多種類型，可以采用電子表格、SPSS、Matalb、Eviews、Systart 等軟件進(jìn)行回歸解析。

4 結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)建模競賽中應(yīng)用數(shù)據(jù)處理方法，通過多元化數(shù)據(jù)處理方法，進(jìn)行數(shù)據(jù)建模分析，不僅可以培養(yǎng)以大學(xué)生為代表的廣大青少年群體創(chuàng)新意識與創(chuàng)造性思維，還可以提高數(shù)學(xué)建模分析能力，綜合對比不同類型的數(shù)據(jù)處理方法，選擇最為合理的處理方法進(jìn)行建模分析，從而提高數(shù)學(xué)問題解題效率和精準(zhǔn)性。