基于SIR 模型的人口變量變化的線性關(guān)系分析

喬 丹

（中國(guó)人壽寧夏分公司，寧夏 銀川 750001）

結(jié)核病在18、19世紀(jì)被稱為“白色瘟疫”，因?yàn)槿鄙僦委煼椒ǎ?0世紀(jì)早期造成了大量死亡。根據(jù)世衛(wèi)組織（2016）的報(bào)告，結(jié)核病的主要病因是結(jié)核分枝桿菌，它可以通過(guò)空氣在人群中傳播。Chou和Friedman（2016）介紹說(shuō)，這種細(xì)菌攻擊肺部，疾病會(huì)伴隨大量咳嗽和痰，呼吸變得困難，臉頰發(fā)紅，身體其余部分呈灰白色。此外，健康人在接觸結(jié)核病人咳嗽、打噴嚏或吐痰時(shí)產(chǎn)生的一些具有傳染性的細(xì)菌，就會(huì)有一定的傳染概率。Calmette博士和Guerin博士對(duì)1例新生兒成功接種卡介苗疫苗后，常規(guī)治療情況有所改善。該疫苗至今已有80年的歷史，已成為世界上最常用的疫苗之一；在國(guó)家兒童免疫規(guī)劃的國(guó)家，嬰兒免疫率超過(guò)80%。然而，卡介苗雖然對(duì)兒童的腦膜炎和播散性結(jié)核病有保護(hù)作用，但對(duì)預(yù)防原發(fā)感染和潛伏性肺部感染的再激活沒(méi)有幫助。后來(lái)，由于1946年抗生素“鏈霉素”的發(fā)現(xiàn)，結(jié)核病首次得到有效治療和治愈，病情持續(xù)改善。將這種抗生素與結(jié)核病聯(lián)系起來(lái)的醫(yī)生被授予1952年諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。

與過(guò)去幾十年相比，人口流動(dòng)在最近幾十年隨著交通和人民意識(shí)及財(cái)富的加速發(fā)展而迅速增加。以中國(guó)為例。國(guó)際勞工組織（ILO，2010）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)近年來(lái)經(jīng)歷了最廣泛的內(nèi)部遷移。截至2009年底，約有2.298億農(nóng)民工離開(kāi)家鄉(xiāng)到城市購(gòu)買(mǎi)更高水平的家庭生活。此外，旅游資源豐富，每年也造成了巨大的人口遷移。

從常識(shí)上看，初步的結(jié)論是移民在一定程度上影響了結(jié)核病的傳播。因此，此篇論文打算在SIR模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建合適的模型來(lái)探索人口流動(dòng)的影響程度，嘗試在詳細(xì)分析和重復(fù)試驗(yàn)后得出結(jié)論。

一、SIR模型建模

Kermack和McKendrick（1927）這兩位數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的模型，考慮恒定的人口規(guī)模，只包括三類人，即易感個(gè)體（S），感染個(gè)體（I）和恢復(fù)個(gè)體（R）[1]。

第一步，提出必要假設(shè)并繪制原理圖。

S(t)，I(t)，R（t）代表時(shí)間t時(shí)每組個(gè)體的人數(shù)，人口總數(shù)N（t）是三類人群之和，接觸率“β”和治愈率“γ”是固定的，假設(shè)所有個(gè)體相同。

第二步，得出微分方程。

由于“β”是兩個(gè)獨(dú)立個(gè)體進(jìn)行有效接觸的比率，“βN”是單位時(shí)間內(nèi)人群中接觸的個(gè)體數(shù)，“”是易感人群占總?cè)丝诘谋壤?/p>

因此，單位時(shí)間內(nèi)，感V染個(gè)體可傳播個(gè)體公式為：

很容易發(fā)現(xiàn)，會(huì)有γI(t)的人通過(guò)治療或自然治愈疾病。

如圖1所示，微分方程如下：

此時(shí)引入一個(gè)重要參數(shù)R0，表示基本SIR模型中由計(jì)算出的疾病的基本增值數(shù)。Emilia和Richard（2010）寫(xiě)道，這是導(dǎo)致原感染者進(jìn)入完全易感人群的繼發(fā)性感染的平均數(shù)量。表明該病R0＞1時(shí)存活，只有R0＜1時(shí)才會(huì)滅絕。根據(jù)文獻(xiàn)9的結(jié)論，時(shí)，傳染蔓延，只有提高的值，提高公共醫(yī)療水平使治愈率“γ”提升，最終使得，使傳染不再蔓延。

因此，將歐拉方法用于初始SIR模型，方程如下：

對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)的解決方案，種群大小一定是大于零的。我們需要S（t+h）≥0，所以-βS(t)I(t)h+S(t)≥0，這代表著S(t)*（1-βI(t)h）≥0。因?yàn)镾(t)≥0，1-βI(t)h≥0。因?yàn)镮(t)≤0是基礎(chǔ)條件，是假設(shè)的必要條件。

根據(jù)這兩個(gè)方程，我們假設(shè)β和γ的兩個(gè)實(shí)數(shù)，并考慮人群中感染人數(shù)較少的情況，用EXCEL模擬單位時(shí)間內(nèi)的變化過(guò)程。在此變化過(guò)程中，當(dāng)R0＞1時(shí)，，I(t)有一個(gè)最大值且最終趨向于0。

第四步，考慮其他影響因素，調(diào)整基礎(chǔ)模型。

因SIR模型主要用于描述傳染病發(fā)展的一般規(guī)律，可操作性強(qiáng)，但同時(shí)忽略了很多細(xì)節(jié)，可能不符合現(xiàn)實(shí)情況。為了使模型更加真實(shí)，模型中考慮了出生/自然死亡率“μ”、疫苗有效接種率“ρ”和疾病致死率“α”。假設(shè)所有的新生兒都屬于易感人群，現(xiàn)將原理圖修改如下。

如圖2所示，微分方程如下：

第五步，引入矩陣，用于計(jì)算城市間的人口流動(dòng)。

在所有城市肺結(jié)核傳染情況都可以用SIR模型表示的背景下，我們考慮了人口遷移的影響。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)每個(gè)2個(gè)城市之間的人口遷移數(shù)量是固定的，這些城市的β和γ相同，定義一個(gè)新的參數(shù)“m”來(lái)表示城市之間的遷移數(shù)量。遷移比例不應(yīng)超過(guò)10%，以滿足實(shí)際情況。下面演示了三種可能的流動(dòng)方向，箭頭表示人口流動(dòng)情況。

第六步，將人口流動(dòng)加入模型并進(jìn)行離散化。

假設(shè)共有n個(gè)城市，Ni表示i市的總?cè)藬?shù)，Si表示i市的易感人口，Ii表示i市的感染人口，Ri表示i市的恢復(fù)人口。微分方程如下：

離散化后，模型為：

2.實(shí)驗(yàn)?zāi)M及分析

使用如上方程在EXCEL中進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，假設(shè)實(shí)驗(yàn)中參數(shù)為實(shí)數(shù)，我們定義然后，使用這些屬性在EXCEL中擬擴(kuò)散。在實(shí)驗(yàn)中，我們定義傳染率“β”為0.1，恢復(fù)率“γ”為0.45，出生/自然死亡率“μ”為0.1，疾病致死率“α”為0.00015，疫苗有效接種率“ρ”為0.1，初始人口基數(shù)“N”為1000，初始感染者“I0”為1，步長(zhǎng)“h”為0.01。

為了檢驗(yàn)“m”對(duì)肺結(jié)核傳播的影響，我們構(gòu)建了以上3種不同的城市流動(dòng)情況。由于在所有情況下，感染人群最終都將成為一個(gè)常數(shù)，因此，此實(shí)驗(yàn)通過(guò)記錄那個(gè)最大值在不同m下的到達(dá)時(shí)間來(lái)評(píng)估兩者之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在開(kāi)始時(shí)，“m”的微小變化會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生很大的影響，所以我們將“m”的實(shí)驗(yàn)值設(shè)為1、2、4、6、8、10、15、20、25、30、40、50、60、70、80、90和100。假設(shè)0時(shí)刻只有1個(gè)城市有1名感染者，其他城市的感染情況取決于遷移人口。以到達(dá)感染峰值的時(shí)間作為縱軸，“m”值作為橫軸繪制散點(diǎn)圖，觀察線性關(guān)系。繪制圖如下：

如圖4所示，在最簡(jiǎn)單的雙城案例中，最大值的到達(dá)時(shí)間在城市1是固定的，但m與城市2中的T（Max（I(t)））呈對(duì)數(shù)關(guān)系。如圖5所示，在四個(gè)環(huán)線相連的城市中，城市2和城市4的趨勢(shì)線相同，因?yàn)樗鼈兌际请x城市1最近的城市。如圖6所示，在最后一種情況下，只有兩條清晰的趨勢(shì)線和方程被證明，因?yàn)槌鞘?45只與中心城市2進(jìn)行活動(dòng)，所以共享了趨勢(shì)線。

從散點(diǎn)圖的分布，我們推測(cè)“m”與首次到達(dá)傳染峰值的時(shí)間呈對(duì)數(shù)關(guān)系，通過(guò)EXCEl生成趨勢(shì)線、方程和判定系數(shù)來(lái)驗(yàn)證[2]。判定系數(shù)R square表示趨勢(shì)線在0到1范圍內(nèi)的擬合程度，判定系數(shù)越高，趨勢(shì)線的可信程度越高?？紤]到所有的判定系數(shù)都高于0.95，可以說(shuō)明“m”與首次到達(dá)傳染峰值的時(shí)間“T（Max（I(t)））”之間存在一種對(duì)數(shù)關(guān)系。m越大，達(dá)到最大值的時(shí)間就越短，對(duì)數(shù)方程為T(mén)（Max（I(t)））=-a*ln（m）+b。

結(jié)語(yǔ)

本文首先引入基礎(chǔ)的SIR模型，通過(guò)增加參數(shù)，離散化微分方程等方式進(jìn)行建模，用軟件模擬不同人口流動(dòng)模式的人群變化過(guò)程。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，人口流動(dòng)數(shù)量與感染首次到達(dá)峰值的時(shí)間存在對(duì)數(shù)關(guān)系。從數(shù)學(xué)角度證明抑制人員流動(dòng)確實(shí)是控制肺結(jié)核傳播的有效途徑之一。但是，因?qū)嶒?yàn)在一些不切實(shí)際的假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行，整體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，進(jìn)一步的研究也許可以集中研究這種特殊對(duì)數(shù)關(guān)系產(chǎn)生的原因，并不斷改進(jìn)模型中不現(xiàn)實(shí)的方面。