隨機環(huán)境中帶遷入加權分枝過程的收斂性

徐樂群,彭點江,吳金華

(長沙理工大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院,湖南 長沙,410114)

加權分枝過程是分枝過程一種較新較熱的推廣,已經(jīng)取得許多基礎性的研究結果,例如,Rosler[1]引入加權分枝過程給出了規(guī)范化過程(Wn)幾乎必然收斂的條件;Rosler等[2]研究了穩(wěn)定加權分枝過程,得到Wn收斂到一個隨機變量W,并給出了其收斂速率;Kuhlbusch[3]首次將加權分枝過程推廣到隨機環(huán)境,給出了隨機環(huán)境中加權分枝過程的定義,證明了Wn的收斂性以及極限隨機變量W非退化的等價條件;Li等[4]給出了Mandelbrot鞅極限變量的矩和調(diào)和矩的存在條件;Li等[5]在隨機環(huán)境中帶遷入的上臨界分枝過程中證明了下鞅(Wn)的收斂速率;彭點江等[6]在給定環(huán)境下證明了規(guī)范化序列(Wn)pL-收斂的4個判別準則,并證明當環(huán)境立同分布時,4個判別準則等價;關于其他模型的極限性質(zhì),可參考文獻[6]、[7]以及其相關文獻。在隨機環(huán)境中加權分枝過程的基礎上引入遷入分枝過程是一個很自然的推廣,本文在文獻[3]以及文獻[8]的研究基礎上,給出了隨機環(huán)境中帶遷入加權分枝過程的模型定義,并給出了(Wn)a.s.收斂性的證明。

1 模型的引入

本節(jié)引入隨機環(huán)境中帶遷入的加權分枝過程模型的定義,為了對該模型進行通俗的描述:認為所有系統(tǒng)內(nèi)粒子都起源于祖先粒子O,并假設所有遷入粒子都是祖先粒子o0的后代。與分枝過程一樣,用Ulam-Harris樹的元素來標記下一代的每個粒子,對它的譜系進行編碼,為了形成完整的族譜樹,在以后每一代中都引入1個虛擬粒子,分別記為 (o0) ,(o1),…和(on):=(on-1,o),n∈N ,并且認為第n+1代的遷入粒子Yn+1是(on)的直接后代粒子,每個虛擬粒子的權重均為1,且虛擬粒子權重不記入每一代的總權重。分別用向量序列u= (u1,···,un) 和v=(o1,… ,on-1,vn)來標記系統(tǒng)內(nèi)粒子和遷入部分粒子的每1個后代(粒子一旦遷入后便屬于系統(tǒng)粒子)。對于系統(tǒng)內(nèi)粒子,用O表示系統(tǒng)內(nèi)第0代粒子,權重XO= 1 ;經(jīng)過1個單位時間產(chǎn)生NO個粒子標記為(O,1),(O,2)… ,(O,NO);用AO1,AO2,… ,AONO表示從母體粒子獲得的權重,用XO,1,XO,2,… ,XO,NO表示粒子所攜帶的權重。若其中O省略不寫,則可簡記為Ai,Xi,i∈ (1,N),再經(jīng)過n個單位時間,第n代粒子|u|=n產(chǎn)生Nu個粒子標記為(u,1),… ,(u,Nu);從母體粒子獲得權重分別記為Au1,Au2,… ,AuNu,粒子所攜帶的權重分別為Xu1,Xu2,… ,XuNu,且Xui=XuAui,i∈ (1,Nu)。同樣地,對于遷入的粒子,用o表示第0代遷入的虛擬粒子,權重Xo=1,并假設所有虛擬粒子權重為1,即X(on)=1;經(jīng)過1個單位時間遷入1個虛擬粒子(o1)和Y1個正常粒子標記為 (o,1 ),(o,2),… ,(o,Y1) ,用Ao1,Ao2,… ,AoY1表示從母體粒子獲得的權重,用Xo1,Xo2,… ,XoY1表示粒子所攜帶的權重;遷入以后,除了虛擬粒子,其它粒子均同系統(tǒng)內(nèi)粒子有同樣的繁衍機制。經(jīng)過n個單位時間,第n代遷入1個虛擬粒子(on)和Yn個正常粒子標記為 (on-1,1),… ,(on-1,Yn);從母體粒子獲得權重分別為,粒子所攜帶的權重分別為,(其中|v|=n),粒子數(shù)記為Nv=Yn。如果令|w|=n且w∈U,則第n代總粒子數(shù)可記為Nw。

令平穩(wěn)遍歷序列ξ=(ξ0,ξ1,…)是取值于空間Ω上的環(huán)境序列。設每1個ξn在N×R+×R+×…上對應2個概率分布:一個是子代分布p(ξn) =Pξ{Nu=k} = {pk(ξn):k≥ 0} ,其中另一個是遷入粒子的數(shù)量分布,其中,其中 N ={0,1,…},R+= [0,∞)。對于2個序列u和v,通常用uv=(u,v)表示u和v并列得到的序列,為了方便,令uO =Ou=u,vo=ov=v。因此模型定義如下。

定義1稱（Zn）n≥0為隨機環(huán)境ξ中帶遷入（Yn）n≥0的加權分枝過程,如果

其中,Zn表示第n代所有粒子的總權重;Yn表示第n代遷入系統(tǒng)的粒子數(shù);u=u1…un∈Nn表示系統(tǒng)內(nèi)粒子所帶的權重;表示遷入粒子所帶的權重;Aui表示粒子u的第i個后代在隨機環(huán)境中從母體獲得的權重;|u|=n表示第u代粒子向量的長度(|O|=0);權重樹。

在給定環(huán)境ξ下,考慮σ-代數(shù)Fn:=σ(ξ,Z0,Z1,… ,Zn),F0:=σ(ξ) 。記Eξ為條件期望,對應的條件概率為Pξ,其中,總期望記作E,總概率記作P。為了簡單起見,首先給出本文將要使用的一些符號。設

在本文中始終假設考慮的情況。類似于帶遷入的Galton-Watson過程[9]和隨機環(huán)境中的分枝過程[10],很自然地考慮Zn的正規(guī)化因子,考慮規(guī)范化過程

感興趣的是 （Wn）的a.s.收斂性。

2 主要結果及其證明