基于分形理論的火龍果凍干過(guò)程數(shù)值模擬

張得正 余克志，2,3 張 彤

(1. 上海海洋大學(xué)食品學(xué)院，上海 201306；2. 上海冷鏈裝備性能與節(jié)能評(píng)價(jià)專業(yè)技術(shù)服務(wù)平臺(tái)，上海 201306；3. 上海冷鏈裝備性能與節(jié)能評(píng)價(jià)專業(yè)技術(shù)服務(wù)平臺(tái)，上海 201306)

火龍果，又稱龍珠果、紅龍果，含有豐富的維生素、花青素和水溶性膳食纖維。自然狀況下，火龍果在采摘運(yùn)輸和貯藏過(guò)程中容易腐爛損壞，使用真空冷凍干燥技術(shù)，可以最大限度地保留火龍果的營(yíng)養(yǎng)成分。而大多數(shù)的食品都屬于毛細(xì)多孔介質(zhì)，借助大量的試驗(yàn)和網(wǎng)格模擬證明，食品具有分形特性[1-3]，且分形維數(shù)可以定量描述孔隙分布規(guī)律和均勻程度[2]。

干燥包括物料表面的蒸發(fā)和物料內(nèi)部的擴(kuò)散兩部分。由于水分的蒸發(fā)和熱質(zhì)傳遞梯度的影響，食品在干燥過(guò)程中會(huì)發(fā)生體積收縮，這一現(xiàn)象會(huì)影響物料的擴(kuò)散系數(shù)和干燥速率[4-7]。水分?jǐn)U散系數(shù)是控制食品干燥動(dòng)力學(xué)最重要的參數(shù)，運(yùn)用分形理論可以更好地研究?jī)龈蛇^(guò)程特性。目前，有關(guān)數(shù)值模擬火龍果凍干過(guò)程的研究較多，但是將分形理論與數(shù)值模擬進(jìn)行結(jié)合的研究較少，如姬藝佳[8]研究含濕多孔介質(zhì)水分運(yùn)輸時(shí)，對(duì)數(shù)值模擬中多孔介質(zhì)的參數(shù)設(shè)定使用經(jīng)驗(yàn)公式較多，影響模擬的準(zhǔn)確性。

麥潤(rùn)萍等[9]基于分形理論研究了預(yù)凍溫度對(duì)凍干獼猴桃片干燥特性及品質(zhì)的影響。結(jié)果表明，降低預(yù)凍溫度可使凍干獼猴桃片的孔隙結(jié)構(gòu)更小、更均勻，一定程度上能夠提高凍干獼猴桃片的感官品質(zhì)，但降低了干燥速率，干燥時(shí)間延長(zhǎng)，能耗增加，生產(chǎn)成本增加。張晉等[10]基于分形理論對(duì)枸杞干燥過(guò)程中水分輸運(yùn)進(jìn)行了特征分析，溫度一定時(shí)，分形維數(shù)越大，有效擴(kuò)散系數(shù)越小，干燥所需時(shí)間越長(zhǎng)。張賽等[11]利用分形特性模擬了馬鈴薯干燥過(guò)程中的水分運(yùn)輸過(guò)程，發(fā)現(xiàn)結(jié)合收縮和分形現(xiàn)象的模型呈無(wú)收縮現(xiàn)象，連續(xù)介質(zhì)模型更接近試驗(yàn)值。

研究擬將分形理論運(yùn)用到火龍果的凍干過(guò)程數(shù)值模擬中，運(yùn)用分形理論對(duì)數(shù)值模擬中的孔隙率和擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行定義，探索更加合理準(zhǔn)確的凍干數(shù)值模擬模型，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，以期為凍干過(guò)程傳熱傳質(zhì)的機(jī)理研究提供依據(jù)。

1 分形特性和熱力學(xué)原理

1.1 分形特性

1.1.1 面積分形維數(shù) 根據(jù)文獻(xiàn)[2]，孔隙的累計(jì)數(shù)與大小服從：

(1)

式中：

N(λ)——多孔介質(zhì)的孔隙總數(shù)；

λmax——孔隙最大直徑，m；

λ——孔隙直徑，m；

Df——孔的面積分形維數(shù)。

對(duì)式(1)進(jìn)行微分，得到直徑在λ～λ+dλ間的孔隙數(shù)目：

(2)

將單個(gè)孔道截面假設(shè)為圓形的橫截面積：

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行微元，得到具有分形特性的多孔介質(zhì)截面所有孔隙的總面積：

(4)

式中：

λmin——孔隙最小直徑，m。

因此可得總截面面積:

(5)

式中：

ε——孔隙率(可定義為孔隙面積與單位總面積之比，ε<1)。

1.1.2 孔的迂曲分形維數(shù) 在多孔介質(zhì)中，孔道是迂曲的，氣體在孔道中的流動(dòng)也是迂曲的，所以

(6)

式中：

Dt——迂曲分形維數(shù)，Dt>1；

l(λ)——?dú)怏w在直徑λ的孔道中流過(guò)的實(shí)際距離，m。

(7)

式中：

τ——孔道的迂曲度；

L0——孔道兩端的特征長(zhǎng)度，m。

1.1.3 擴(kuò)散的分形模型 根據(jù)第二斐克定律和哈根—泊肅葉方程，得到有效擴(kuò)散系數(shù)分形模型為

(8)

式中：

R——?dú)怏w常數(shù)，8.314 J/(mol·K)；

T——溫度，K；

μ——?dú)怏w黏度，Pa·s；

E——分布的相對(duì)比例常數(shù)；

c——聯(lián)通數(shù)(定義為在同一孔道上與其他孔道聯(lián)通的數(shù)目，c>2)；

cm——孔道的平均連通數(shù)；

σc——連通數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

1.2 熱力學(xué)原理

1.2.1 傳熱方程 冷凍干燥升華干燥階段，火龍果可分為3個(gè)區(qū)域：干燥域、凍結(jié)域和相變界面。在凍結(jié)域中，遵循能量守恒方程：

(9)

在干燥域中，遵循的能量守恒方程為：

(10)

式中：

Tfr——凍結(jié)域溫度，K；

Tdr——干燥域溫度，K；

t——升華干燥時(shí)間，h；

ρfr——凍結(jié)域有效密度，kg/m3；

ρdr——干燥域有效密度，kg/m3；

Cp,fr——凍結(jié)域有效比熱，J/(kg·K)；

Cp,dr——干燥域有效比熱，J/(kg·K)；

Cp,v——干燥區(qū)水蒸氣比熱，J/(kg·K)；

λfr——凍結(jié)域?qū)嵯禂?shù)，W/(m·K)；

λdr——干燥域?qū)嵯禂?shù)，W/(m·K)；

Nv——干燥區(qū)水蒸氣質(zhì)量通量，g/(m2·h)。

在相變界面處的熱力學(xué)平衡，升華界面前沿溫度Ts由該界面的蒸汽壓pv通過(guò)克勞修斯—克拉伯龍關(guān)系定義：

(11)

在相變界面中，存在同時(shí)滿足熱平衡和質(zhì)量平衡產(chǎn)生界面速度Vs的斯蒂芬條件：

(12)

式中：

ΔHs——冰的升華潛熱，2.791 2 MJ/kg；

Vs——升華前沿的移動(dòng)速度，m/s；

ρice——冰密度，kg/m3；

Qs——界面處法向熱通量的突變，J；

Pv——升華界面水蒸氣分壓，Pa。

1.2.2 傳質(zhì)方程 在升華干燥過(guò)程中，水蒸氣的擴(kuò)散滿足質(zhì)量傳遞梯度理論和達(dá)西定律，可得到通過(guò)干燥產(chǎn)品孔隙蒸氣流率以及升華界面處的質(zhì)量通量：

(13)

Nv=ερiceVs，

(14)

式中：

Qm——干燥產(chǎn)品孔隙蒸氣流率，m3/h；

Nv——升華界面處的質(zhì)量通量，g/(m2·h)；

ρv——干燥區(qū)蒸汽密度，kg/m3；

μv——干燥區(qū)水蒸汽動(dòng)力黏度，Pa·s；

Mv——水分子量，18 g/mol。

2 試驗(yàn)與數(shù)值模擬

2.1 試驗(yàn)方案

2.1.1 材料與設(shè)備

紅心火龍果：市售；

真空冷凍干燥機(jī):MINIFAST-04型，愛(ài)德華天利北京制藥系統(tǒng)有限公司；

差式掃描量熱儀:Q2000型，美國(guó)TA公司；

熱場(chǎng)發(fā)射掃描電鏡：日立SU5000型，日本日立高新技術(shù)公司。

2.1.2 試驗(yàn)方法

(1) 火龍果理化指標(biāo)測(cè)定：預(yù)試驗(yàn)測(cè)得火龍果的共晶點(diǎn)溫度為-16 ℃，共融點(diǎn)溫度為-2.5 ℃，冰點(diǎn)溫度為-3 ℃，比熱為3 442.4 J/(kg·K)。

(2) 前處理：將火龍果去皮切片，切成直徑80 mm，厚度10 mm的圓柱狀。

(3) 預(yù)凍：預(yù)凍時(shí)間4 h，預(yù)凍溫度-30 ℃。

(4) 真空冷凍干燥：真空度上限設(shè)為30 Pa，下限設(shè)為20 Pa，板層溫度-10 ℃，預(yù)計(jì)凍干時(shí)間48 h。凍干完成后放入烘箱內(nèi)干燥24 h,測(cè)量含水量變化。

(5) 微觀結(jié)構(gòu)測(cè)定：采用掃描電鏡測(cè)定凍干火龍果的平均孔隙面積、平均等效孔隙直徑、平均孔隙周長(zhǎng)及孔隙率。

2.2 數(shù)值模擬

通過(guò)COMSOL軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，建立半徑40 mm，厚度10 mm的火龍果凍干模型?；诜中卫碚摵驮囼?yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)值模擬模型所需物理參數(shù)進(jìn)行整理，建立幾何模型后，將所需物理參數(shù)輸入模型，選取達(dá)西定律和多孔介質(zhì)傳熱模塊。采用變形幾何后進(jìn)行網(wǎng)格劃分，使用瞬態(tài)求解器，獲得凍干模型整個(gè)升華干燥過(guò)程的溫度變化和質(zhì)量變化。

將建立的10 mm厚的火龍果凍干數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證比較，對(duì)數(shù)值模擬模型進(jìn)行調(diào)整，以提高模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確度。

確保數(shù)值模擬模型準(zhǔn)確性后，分別建立厚度8，10，12，14 mm的火龍果凍干過(guò)程數(shù)值模擬模型，對(duì)不同厚度的火龍果凍干過(guò)程進(jìn)行數(shù)值分析，對(duì)升華干燥階段所需時(shí)間和樣品質(zhì)量進(jìn)行預(yù)判，同時(shí)也可以得到火龍果升華干燥傳熱傳質(zhì)的實(shí)時(shí)變化，以便更好地進(jìn)行分析。

3 結(jié)果與分析

3.1 數(shù)值模擬結(jié)果

由圖1可知，升華干燥結(jié)束時(shí)火龍果底部還存在少量的冰，升華干燥階段結(jié)束時(shí)還有少量冰未蒸發(fā)。隨著火龍果厚度的增加，升華干燥結(jié)束時(shí)殘余的冰厚度越來(lái)越厚，該部分水分需要轉(zhuǎn)入解析干燥進(jìn)行處理。

圖1 火龍果升華干燥結(jié)束冰界面Figure 1 Sublimation drying ends the ice interface

3.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)對(duì)比

圖2為不同厚度的火龍果升華干燥階段脫水速率隨時(shí)間的變化，圖3為不同厚度的火龍果升華干燥階段含水率隨時(shí)間的變化。

由圖2和圖3可知，基于分形理論對(duì)數(shù)值模擬模型中的孔隙率和擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行定義，數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本一致，脫水速率變化趨勢(shì)和含水率的相同。當(dāng)火龍果厚度為8 mm時(shí)，凍干試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模擬數(shù)據(jù)相對(duì)誤差最大為12.6%，絕對(duì)誤差為0.18 g/h。當(dāng)凍干時(shí)間為0 h時(shí)，數(shù)值模擬數(shù)據(jù)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)中含水率的絕對(duì)誤差最大，含水率相差5.4%。由于在數(shù)值模擬模型中未考慮物料在預(yù)凍過(guò)程中有干耗的發(fā)生，所以導(dǎo)致數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)初始點(diǎn)產(chǎn)生了較大的誤差，后續(xù)將對(duì)數(shù)值模擬模型進(jìn)行改進(jìn)，以減少模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差，提高模擬的精度。

圖2 脫水速率隨時(shí)間的變化Figure 2 Dehydration rate over time

結(jié)合圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，試驗(yàn)測(cè)定的火龍果干燥速度與模擬數(shù)據(jù)相比，除了在升華干燥的初始階段，其他時(shí)間均表現(xiàn)出試驗(yàn)測(cè)定的干燥速度要比數(shù)值模擬模型中的略快。這是因?yàn)閿?shù)值模擬模型中的有效擴(kuò)散系數(shù)維持不變，但實(shí)際干燥過(guò)程中火龍果的孔隙結(jié)構(gòu)隨著干燥時(shí)間的變化會(huì)發(fā)生改變，隨著水分的減少，火龍果出現(xiàn)一定的收縮，部分孔隙通道直徑變大，有效擴(kuò)散系數(shù)變大，抵消了一部分由于孔隙通道增長(zhǎng)而增加的阻力，從而出現(xiàn)了在升華干燥階段，大部分時(shí)間的脫水速率大于數(shù)值模擬的，該數(shù)值模擬模型還需進(jìn)一步優(yōu)化。

圖3 含水率隨時(shí)間的變化Figure 3 Moisture content over time

3.3 掃描電鏡分析

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，隨著火龍果片厚度的增加，火龍果升華干燥階段時(shí)間逐漸增加，且呈非線性增加趨勢(shì)?；瘕埞穸葟? mm增至10 mm，升華干燥階段時(shí)間增加2 h；厚度從10 mm增至12 mm，升華干燥階段時(shí)間增加3 h；厚度從12 mm增至14 mm，升華干燥階段時(shí)間增加1 h。隨著厚度的增加，火龍果的干燥層厚度也逐漸變大，水蒸氣傳輸阻力也隨之增大，干燥時(shí)間不斷增加。但是厚度從12 mm增至14 mm時(shí)，升華干燥時(shí)間只增加1 h，說(shuō)明還有其他因素的影響。這可能是火龍果的孔隙結(jié)構(gòu)在升華干燥過(guò)程中還存在一定的收縮現(xiàn)象，對(duì)平均孔隙直徑等造成了一定影響，從而導(dǎo)致升華干燥速度發(fā)生了變化。由圖4可知，厚度為14 mm的火龍果片平均孔隙直徑最大，8 mm的火龍果片平均孔隙直徑最小，隨著厚度的減小，火龍果表面孔隙直徑逐漸減小。

圖4 火龍果掃描電鏡圖Figure 4 Scanning electron microscope images of dragon fruit

試驗(yàn)是將不同厚度的火龍果片放入-30 ℃環(huán)境中進(jìn)行速凍，由于厚度不同，火龍果片的溫度下降速度也不同，14 mm的火龍果片凍結(jié)最慢，因此整體凍結(jié)過(guò)程中的冰晶更大，孔隙更大，擴(kuò)散系數(shù)也隨之增大，因此，當(dāng)火龍果厚度從12 mm增至14 mm時(shí)，升華干燥階段時(shí)間只增加1 h。

4 結(jié)論

基于分形理論對(duì)火龍果凍干過(guò)程的傳熱傳質(zhì)進(jìn)行研究，結(jié)合COMSOL軟件建立了更加準(zhǔn)確合理的熱質(zhì)傳遞耦合模型。結(jié)果表明，在升華干燥過(guò)程中，火龍果含水率模擬值和試驗(yàn)值最大絕對(duì)誤差為5.4%，脫水速率最大相對(duì)誤差12.6%，絕對(duì)誤差為0.18 g/h。火龍果升華干燥周期隨火龍果厚度的增加而增加且呈非線性增長(zhǎng)。隨著火龍果厚度的增加，孔隙直徑和有效擴(kuò)散系數(shù)也隨之增大，干燥速度加快，產(chǎn)品品質(zhì)隨之下降。通過(guò)試驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果比較，綜合考慮干燥時(shí)間和干燥品質(zhì)，10 mm的厚度為紅心火龍果最佳凍干厚度。該數(shù)值模型忽略了物料四周的傳熱傳質(zhì)，只考慮火龍果上表面，后續(xù)需進(jìn)行優(yōu)化。