鄰井定位多頻優(yōu)化過零梯形激勵(lì)信號(hào)源設(shè)計(jì)

竇新宇

(唐山學(xué)院 智能與信息工程學(xué)院，河北 唐山 063000)

0 引言

復(fù)雜結(jié)構(gòu)井技術(shù)是一種新興的鉆探技術(shù)，這種井包括救援井、叢式井、多分支井和雙水平井等，由于存在多個(gè)井眼，鄰井定位方法是保證正鉆井精確定位的核心技術(shù)之一。傳統(tǒng)的鄰井定位方法主要是對(duì)井眼軌跡信息進(jìn)行掃描，測量不同井深對(duì)應(yīng)的井間距離和方位。然而，傳統(tǒng)技術(shù)中出現(xiàn)的測量誤差一般會(huì)隨著測量深度的增加而增大，導(dǎo)致無法提供及時(shí)準(zhǔn)確的井間距離和方位信息。主動(dòng)型鄰井間距定位方案彌補(bǔ)了傳統(tǒng)技術(shù)的不足，具有實(shí)時(shí)測量、測距精度高、測距范圍大的優(yōu)勢(shì)，其中決定這些優(yōu)勢(shì)的核心技術(shù)是人工可控激勵(lì)信號(hào)源的設(shè)計(jì)[1-3]。

在人工可控激勵(lì)信號(hào)源研究領(lǐng)域，何繼善等學(xué)者[1-7]曾提出，人工電磁場在儀器裝備方面存在或多或少的不足，比如有效信號(hào)微弱、噪聲信號(hào)強(qiáng)、信噪比低、測量誤差大、通用性差、成本高等。當(dāng)前人工可控激勵(lì)電磁勘探技術(shù)中常用的激勵(lì)信號(hào)源包括方波、梯形波和正弦波等[8-15]。從激勵(lì)信號(hào)源的產(chǎn)生方式考慮，勘探測量時(shí)通常首選方波作為激勵(lì)信號(hào)源，這是由于在理想狀態(tài)下通過控制開關(guān)管的導(dǎo)通和關(guān)斷比較容易實(shí)現(xiàn)方波的大功率輸出，而且控制電路簡單、發(fā)熱量小，這些對(duì)于擴(kuò)大測距范圍十分有利；而正弦波激勵(lì)信號(hào)源由于需要整形和濾波，控制電路相對(duì)復(fù)雜，且較難實(shí)現(xiàn)大功率輸出，不利于增大測距范圍。從信號(hào)檢測方面考慮，正弦波則是最理想的激勵(lì)信號(hào)源，這是由于它只含有單一頻率的基波，不存在其他諧波，因此能量集中；而方波和梯形波除了基波，還會(huì)含有無窮多個(gè)奇次諧波，因此能量分散，且信號(hào)幅值隨諧波階數(shù)的增加而減小，使得方波和梯形波的觀測精度無法達(dá)到正弦波的觀測精度[12-13]。因此，設(shè)計(jì)出控制電路簡單、發(fā)熱量小、信號(hào)檢測精度高的激勵(lì)信號(hào)源意義重大。

1 過零梯形波的優(yōu)化

方波信號(hào)在實(shí)際產(chǎn)生的過程中由于開關(guān)管的導(dǎo)通和關(guān)斷均有時(shí)間損耗，在高低信號(hào)轉(zhuǎn)換時(shí)會(huì)出現(xiàn)一定斜率的變化趨勢(shì)，即在開關(guān)管的導(dǎo)通和關(guān)斷的瞬間波形并不是理想的階躍過程，而是存在很短時(shí)間的上升和下降的過程，故此時(shí)的方波激勵(lì)信號(hào)更接近于梯形波激勵(lì)信號(hào)。實(shí)際上，方波是梯形波上升斜坡部分與橫軸正半軸夾角α=90°的情況，即方波是一種特殊的梯形波。因此，本文按照最優(yōu)化過零方波的研究方法[5]，構(gòu)造占空比為k∈[0，1]、上升斜坡(或下降斜坡)與橫軸正半軸夾角為α∈[0，90°]、周期為T的過零梯形波，并計(jì)算這三個(gè)參數(shù)間的關(guān)系，選出一種最適合作鄰井測距激勵(lì)信號(hào)源的梯形波。所設(shè)計(jì)的過零梯形波的時(shí)域圖如圖1所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)所示。

圖1 過零梯形波時(shí)域圖

(1)

式中，k為占空比；α為梯形的腰與橫軸的夾角，°；T為過零梯形波的周期，s。

由于圖1所示的過零梯形波按照傅里葉變換的定義直接求解非常復(fù)雜，故利用圖2所示的軸對(duì)稱梯形波通過平移和翻轉(zhuǎn)等過程進(jìn)行間接求解。

圖2 軸對(duì)稱梯形波

該梯形波的基波傅里葉系數(shù)F1為：

(2)

根據(jù)式(2)可以計(jì)算出F1模值的平方：

(3)

梯形波的基波功率P1為：

P1=2|F1|2。

(4)

同理，梯形波的總功率P為：

(5)

基波功率與總功率的比值(基波能量占比)η為：

(6)

式(6)展開后是關(guān)于k，α，T的函數(shù)，可以將α和T看作常數(shù)，對(duì)未知數(shù)k求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，得到k，α，T的關(guān)系式，改變?chǔ)?，T的值，擬合出k的值，進(jìn)而得出合適的η的最大值。因此構(gòu)造函數(shù)η(k)為：

(7)

式(7)兩邊同時(shí)對(duì)k求導(dǎo)，令η′(k)=0得：

(8)

由式(3)可求得優(yōu)化過零梯形波重構(gòu)信號(hào)的幅值為：

|A1|=2|F1|≈1.155 67>1。

(9)

從所選取的η以及優(yōu)化過零梯形波重構(gòu)信號(hào)幅值的結(jié)果可以看出：首先，優(yōu)化過零梯形波的基波能量占比比方波的相應(yīng)值大0.155 9，比最優(yōu)化過零方波的相應(yīng)值大0.043 9，小于正弦波的相應(yīng)值0.033 5；其次，經(jīng)優(yōu)化占空比k計(jì)算出來的優(yōu)化過零梯形波的幅值為1.155 67，大于實(shí)際過零梯形波的幅值1，即計(jì)算幅值比實(shí)際幅值大15.567%，這樣在后續(xù)信號(hào)處理時(shí)應(yīng)乘以校正系數(shù)μ進(jìn)行幅值校正，且μ=0.865 3；再次，通過數(shù)據(jù)分析可知，優(yōu)化過零梯形波其基波功率的表現(xiàn)比方波以及最優(yōu)化過零方波要好，接近于正弦波基波功率的數(shù)值，并且該優(yōu)化過零梯形波比方波以及最優(yōu)化過零方波更容易在工程上實(shí)現(xiàn)。

將k=0.83，cotα=0.05T代入過零梯形波表達(dá)式(1)中，并令幅值為A，得到優(yōu)化過零梯形波的表達(dá)式如式(10)所示。

(10)

2 激勵(lì)信號(hào)源比較分析

通過前述理論分析，選取幅值A(chǔ)=1 A，頻率f=2 Hz的方波、正弦波、最優(yōu)化過零方波和本文提出的優(yōu)化過零梯形波進(jìn)行仿真比較，比較結(jié)果如圖3所示。

圖3中第一列從上到下分別為幅值是1 A，頻率是2 Hz的方波、正弦波、最優(yōu)化過零方波和優(yōu)化過零梯形波；第二列為四種波形對(duì)應(yīng)的頻譜圖；第三列是四種波形的基波以及諧波功率占信號(hào)總功率的比值。首先，正弦波的基波能量占比1大于優(yōu)化過零梯形波的基波能量占比0.966 5，優(yōu)化過零梯形波的基波能量占比又大于最優(yōu)化過零方波的基波能量占比0.922 6和方波的基波能量占比0.810 6；其次，方波的3次諧波和5次諧波的能量占比分別約為0.090 1和0.032 4，最優(yōu)化過零方波和優(yōu)化過零梯形波的3次諧波和5次諧波的能量占比與其基波能量占比相比可以忽略不計(jì)。

圖3 四種波形的比較結(jié)果

由此可見，優(yōu)化過零梯形波優(yōu)于最優(yōu)化過零方波，最優(yōu)化過零方波又優(yōu)于方波。同時(shí)，在實(shí)際含噪聲環(huán)境中信號(hào)的各次諧波均淹沒在噪聲信號(hào)中不易被檢測出來，或者把噪聲信號(hào)當(dāng)作諧波信號(hào)處理了，這些都給后續(xù)的鄰井定位信號(hào)處理帶來困難。綜合信號(hào)產(chǎn)生機(jī)理、可控性以及精確度等因素，本文提出的優(yōu)化過零梯形波是后續(xù)鄰井測距激勵(lì)信號(hào)源的理想選擇。

在不含噪聲的理想情況下，正鉆井的定位一般按照文獻(xiàn)[13]提出的鄰井間距定位方案進(jìn)行，如圖4所示。

圖4 電流激勵(lì)的鄰井間距定位方案

首先，正鉆井磁場傳感器探測到其周圍三口已鉆井鐵質(zhì)套管的激勵(lì)交變磁場信號(hào)。隨后傳感器對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行離散傅里葉變換(DFT)處理，得到三口已鉆井激勵(lì)信號(hào)的基波頻率，同時(shí)剔除各諧波頻率成分。然后，再對(duì)三口已鉆井的基波頻譜進(jìn)行DFT反變換，以恢復(fù)三口已鉆井各自的激勵(lì)信號(hào)波形，但由于剔除了各諧波頻率而只保留了基波頻率，故DFT逆運(yùn)算后的信號(hào)為正弦信號(hào)。由于鄰井間距只與信號(hào)強(qiáng)度(幅值)有關(guān)，而與信號(hào)形狀無關(guān)，因此，只要經(jīng)過DFT信號(hào)處理算法處理后的信號(hào)幅值準(zhǔn)確即可滿足后續(xù)的測距要求。最后，如果消噪后的信號(hào)幅值不準(zhǔn)確，還需要進(jìn)行幅值校正處理。圖5和圖6就是按照上述方案進(jìn)行的正鉆井磁場傳感器接收端對(duì)所接收信號(hào)的處理結(jié)果。

圖5 幅值不同的信號(hào)經(jīng)算法處理后的結(jié)果(未進(jìn)行幅值校正)

圖6 幅值相同的信號(hào)經(jīng)算法處理后的結(jié)果(未進(jìn)行幅值校正)

圖5中第一列從上到下分別為已鉆井1鐵質(zhì)套管發(fā)射的激勵(lì)信號(hào)(幅值為10 A，頻率為1 Hz)、已鉆井2鐵質(zhì)套管發(fā)射的激勵(lì)信號(hào)(幅值為20 A，頻率為0.5 Hz)、已鉆井3鐵質(zhì)套管發(fā)射的激勵(lì)信號(hào)(幅值為30 A，頻率為0.125 Hz)和三個(gè)激勵(lì)信號(hào)疊加后正鉆井磁場傳感器接收端探測到的合成信號(hào)；圖5中第二列從上到下分別為接收端接收到的已鉆井1重構(gòu)信號(hào)(幅值為11.556 7 A，頻率為1 Hz)、已鉆井2重構(gòu)信號(hào)(幅值為23.113 4 A，頻率為0.5 Hz)、已鉆井3重構(gòu)信號(hào)(幅值為34.670 0 A，頻率為0.125 Hz)和疊加信號(hào)經(jīng)DFT信號(hào)處理算法處理后的頻譜圖，其中三個(gè)幅值最大譜線對(duì)應(yīng)的頻率分別為1 Hz，0.5 Hz和0.125 Hz。由圖5可知，不同頻率、不同幅值的原始信號(hào)經(jīng)信號(hào)處理算法處理后所得幅值均比原始信號(hào)幅值大15.567%，這與優(yōu)化過零梯形波重構(gòu)信號(hào)幅值公式計(jì)算的結(jié)果一致，因此，可以得出幅度校正系數(shù)為0.865 3，校正后就能保證消噪后信號(hào)的幅值與原始信號(hào)的幅值一致。

圖6中第一列從上到下分別為已鉆井1鐵質(zhì)套管發(fā)射的激勵(lì)信號(hào)(幅值為10 A，頻率為1 Hz)、已鉆井2鐵質(zhì)套管發(fā)射的激勵(lì)信號(hào)(幅值為10 A，頻率為0.5 Hz)、已鉆井3鐵質(zhì)套管發(fā)射的激勵(lì)信號(hào)(幅值為10 A，頻率為0.125 Hz)和三個(gè)激勵(lì)信號(hào)疊加后正鉆井磁場傳感器接收端探測到的合成信號(hào)；圖6中第二列從上到下分別為接收端接收到的已鉆井1重構(gòu)信號(hào)(幅值為11.556 7 A，頻率為1 Hz)、已鉆井2重構(gòu)信號(hào)(幅值為11.556 7 A，頻率為0.5 Hz)、已鉆井3重構(gòu)信號(hào)(幅值為11.556 7 A，頻率為0.125 Hz)和疊加信號(hào)經(jīng)DFT信號(hào)處理算法處理后的頻譜圖，其中三個(gè)幅值最大譜線所對(duì)應(yīng)的頻率分別為1 Hz，0.5 Hz和0.125 Hz。由圖6可知，不同頻率、相同幅值的原始信號(hào)經(jīng)信號(hào)處理算法處理后所得幅值均比原始信號(hào)幅值大15.567%，這與優(yōu)化過零梯形波重構(gòu)信號(hào)幅值公式計(jì)算的結(jié)果一致。將該結(jié)果乘以幅度校正系數(shù)μ(μ=0.865 3)，就能得到與原始信號(hào)幅值相等的消噪信號(hào)的幅值。

3 優(yōu)化過零梯形波信號(hào)處理算法的處理步驟

通過前述分析可知，對(duì)于三頻信號(hào)，優(yōu)化過零梯形波信號(hào)處理算法具體的處理步驟如下。

第一步，對(duì)接收到的三頻疊加含噪信號(hào)進(jìn)行DFT變換。

第二步，將得到的三個(gè)幅值最大譜線所對(duì)應(yīng)的頻率與原始信號(hào)的頻率進(jìn)行對(duì)比，如果相等則執(zhí)行第三步；如果不相等則細(xì)化采樣區(qū)間，并重新執(zhí)行第一步。

第三步，根據(jù)式(10)計(jì)算三個(gè)頻率信號(hào)所對(duì)應(yīng)的幅值。

第四步，幅值校正。將第三步得到的三個(gè)幅值分別乘以校正系數(shù)0.865 3，得到正確的校正信號(hào)的幅值。

4 優(yōu)化過零梯形波信號(hào)處理算法的仿真

4.1 幅值相同、頻率不同的三頻信號(hào)的提取

三口已鉆井平臺(tái)激勵(lì)信號(hào)幅值均為10 A時(shí)，相對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.125 Hz，0.5 Hz，1 Hz，信號(hào)處理結(jié)果如圖7所示。其中，三頻原始激勵(lì)信號(hào)疊加后的波形為圖7中第一列第一圖；第二圖為三頻原始激勵(lì)信號(hào)疊加隨機(jī)高斯噪聲信號(hào)的波形，可以看出原始信號(hào)完全淹沒在噪聲中，無法看出原始波形的形狀；第三圖為含噪信號(hào)經(jīng)DFT變換后的頻譜圖，可以看出三條譜線的幅值最大且相等，對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.125 Hz，0.5 Hz，1 Hz。圖7中第二列的三幅圖為頻譜經(jīng)DFT逆變換處理并去除各諧波頻率成分后的恢復(fù)信號(hào)，其幅值均為11.556 7 A，對(duì)應(yīng)的頻率從上到下依次為1 Hz，0.5 Hz，0.125 Hz。將幅值11.556 7 A乘以校正系數(shù)0.865 3，得到重構(gòu)過零梯形波信號(hào)的幅值為10.00 A，該結(jié)果與原始信號(hào)幅值一致。圖7中第三列從上到下依次為正鉆井磁場傳感器接收端所接收的三口已鉆井信號(hào)波形重構(gòu)的結(jié)果，其中，第一圖為接收的已鉆井1重構(gòu)信號(hào)(實(shí)際提取的幅值為10 A，頻率為1 Hz)；第二圖為接收的已鉆井2重構(gòu)信號(hào)(實(shí)際提取的幅值為10 A，頻率為0.5 Hz)；第三圖為接收的已鉆井3重構(gòu)信號(hào)(實(shí)際提取的幅值為10 A，頻率為0.125 Hz)。

4.2 幅值不同、頻率不同的三頻信號(hào)的提取

三口已鉆井平臺(tái)激勵(lì)信號(hào)幅值分別為10 A，20 A，30 A時(shí)，其對(duì)應(yīng)的頻率依次為1 Hz，0.5 Hz，0.125 Hz，信號(hào)處理結(jié)果如圖8所示。其中，三頻原始激勵(lì)信號(hào)疊加后的波形為圖8中第一列第一圖；第二圖為三頻原始激勵(lì)信號(hào)疊加隨機(jī)高斯噪聲信號(hào)的波形，可以看出原始信號(hào)完全淹沒在噪聲中，無法看出原始波形的形狀；第三圖為含噪信號(hào)經(jīng)DFT變換后的頻譜圖，可以看出三條幅值最大譜線所對(duì)應(yīng)的頻率分別為0.125 Hz，0.5 Hz，1 Hz。圖8中第二列的三幅圖為頻譜經(jīng)DFT逆變換處理并去除各諧波頻率成分后的恢復(fù)信號(hào)，其幅值從上到下依次為11.556 7 A，23.113 4 A，34.670 0 A，對(duì)應(yīng)的頻率從上到下依次為1 Hz，0.5 Hz，0.125 Hz。將幅值分別乘以校正系數(shù)0.865 3，得到重構(gòu)梯形波信號(hào)的幅值依次為10.00 A，20.00 A，30.00 A，該結(jié)果與原始信號(hào)的幅值一致。圖8中第三列從上到下依次為正鉆井磁場傳感器接收端所接收的三口已鉆井信號(hào)波形重構(gòu)的結(jié)果，其中，第一圖為接收的已鉆井1重構(gòu)信號(hào)(實(shí)際提取的幅值為10 A，頻率為1 Hz)；第二圖為接收的已鉆井2重構(gòu)信號(hào)(實(shí)際提取的幅值為20 A，頻率為0.5 Hz)；第三圖為接收的已鉆井3重構(gòu)信號(hào)(實(shí)際提取的幅值為30 A，頻率為0.125 Hz)。

通過對(duì)圖7和圖8的分析可知，重構(gòu)波形的結(jié)構(gòu)與理論值完全一致，這是由計(jì)算機(jī)仿真時(shí)所選信號(hào)頻率和采樣頻率等因素決定的，而且恰好沒有出現(xiàn)柵欄效應(yīng)。

圖7 幅值相同、頻率不同的三頻信號(hào)處理結(jié)果

圖8 幅值不同、頻率不同的三頻信號(hào)處理結(jié)果

5 結(jié)論

(1)優(yōu)化設(shè)計(jì)了過零梯形波。首先，通過所述方法優(yōu)化的過零梯形波其基波能量占比比方波的相應(yīng)值大0.155 9，比最優(yōu)化過零方波的相應(yīng)值大0.043 9，比正弦波的相應(yīng)值小0.033 5；其次，經(jīng)優(yōu)化占空比k計(jì)算出優(yōu)化過零梯形波的幅值為1.155 67，大于實(shí)際過零梯形波的幅值1，即計(jì)算幅值比實(shí)際幅值大15.567%，后續(xù)信號(hào)處理時(shí)應(yīng)乘以校正系數(shù)μ進(jìn)行幅值校正，且μ=0.865 3。本文所優(yōu)化設(shè)計(jì)的過零梯形波在基波功率上的表現(xiàn)比方波和最優(yōu)化過零方波要好，接近于正弦波基波功率的數(shù)值，并且該優(yōu)化過零梯形波比方波及最優(yōu)化過零方波更容易在工程上實(shí)現(xiàn)。

(2)給出了優(yōu)化過零梯形波信號(hào)處理算法的處理步驟。以正鉆井周圍存在三口已鉆井為例，首先，正鉆井磁場傳感器對(duì)接收到的三頻疊加含噪信號(hào)進(jìn)行DFT變換；其次，根據(jù)特定算法估計(jì)出三口已鉆井預(yù)設(shè)頻率，根據(jù)估算出的頻率確定其對(duì)應(yīng)信號(hào)的幅值；最后，對(duì)估算出的信號(hào)幅值進(jìn)行幅值校正，得到正確的校正信號(hào)的幅值。

(3)模擬了優(yōu)化過零梯形波信號(hào)作為電流激勵(lì)的叢式井電磁定位信號(hào)的提取過程。仿真實(shí)驗(yàn)分別研究了幅值相同、頻率不同的三頻信號(hào)以及幅值不同、頻率不同的三頻信號(hào)的提取過程，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，因此，本優(yōu)化設(shè)計(jì)可以為叢式井定位激勵(lì)信號(hào)源的設(shè)計(jì)提供技術(shù)支撐。