具有隨機(jī)增益的電力系統(tǒng)彈性負(fù)荷頻率H∞控制

姚方方,張欣雨

(安徽電氣工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院,合肥 230051)

0 引言

在過去幾十年里，負(fù)荷頻率控制在電力系統(tǒng)負(fù)荷波動的情況下，因其能夠?qū)⑾到y(tǒng)頻率調(diào)整到預(yù)定值的強(qiáng)大能力，受到了相當(dāng)大的關(guān)注[1-3]。對于傳統(tǒng)的負(fù)荷頻率控制，控制信號/測量值通過專用通信信道傳輸。眾所周知，隨著開放式通信網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用，現(xiàn)代的負(fù)荷頻率控制是通過開放的通信網(wǎng)絡(luò)傳輸，但在負(fù)荷頻率控制系統(tǒng)不可避免地會出現(xiàn)常數(shù)時延或時變時延等現(xiàn)象。目前，已經(jīng)報道了許多關(guān)于受通信延遲影響的電力系統(tǒng)的負(fù)載頻率控制的研究成果[4-8]。例如，在文獻(xiàn)[4]中研究了考慮到時間延遲(恒定和時變延遲)的具有負(fù)荷頻率控制的電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在李亞普諾夫穩(wěn)定性理論和積分不等式技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一個確保系統(tǒng)穩(wěn)定性的新標(biāo)準(zhǔn)。在文獻(xiàn)[6]中，作者研究了負(fù)載頻率控制系統(tǒng)在不同類型的時變/恒定延遲下的延遲相關(guān)鎮(zhèn)定方法。Peng與Zhang等人在文獻(xiàn)[8]通過考慮時滯的影響，研究了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。

一般而言，執(zhí)行器在控制系統(tǒng)中起著非常重要的作用，因?yàn)閳?zhí)行器突如其來的故障會導(dǎo)致整個電力系統(tǒng)性能損壞甚至使得系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。因此設(shè)計了可靠的控制，以可靠的方式獲得指定的系統(tǒng)性能是十分有必要的。文獻(xiàn)[9]采用基于線性矩陣不等式的優(yōu)化算法，提出了一種針對隨機(jī)變化的電力系統(tǒng)設(shè)計具有混合執(zhí)行器故障的容錯狀態(tài)反饋控制器的方法。文獻(xiàn)[10]通過非脆弱采樣數(shù)據(jù)控制方法解決了具有恒定時延和擾動的不確定多區(qū)域電力系統(tǒng)的可靠負(fù)荷頻率控制設(shè)計問題。文獻(xiàn)[11]研究了具有執(zhí)行器故障的馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的異步基于觀察器的滑?？刂?。此外，文獻(xiàn)[12] 為了提高最大功率點(diǎn)跟蹤的動態(tài)性能和可靠性，本文提出了一種風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的自適應(yīng)主動容錯控制策略，克服了執(zhí)行器潛在部分丟失、未知的建模錯誤和外部干擾問題。

需要注意的是，現(xiàn)有的關(guān)于執(zhí)行器故障補(bǔ)償方案的結(jié)果大多是針對確定性情況提出的[13-20]。如文獻(xiàn)[13] 基于高階滑模微分和離散時間優(yōu)化技術(shù) 研究了具有噪聲測量的被動非線性系統(tǒng)的輸入估計和補(bǔ)償問題。文獻(xiàn)[15]介紹了在存在未知死區(qū)、外部干擾和執(zhí)行器故障的情況下，一類大規(guī)模時間延遲非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)補(bǔ)償方案。在這篇文章中，引入了二次Lyapunov-Krasovskii函數(shù)來解決系統(tǒng)的延遲。通過使用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來估計系統(tǒng)的未知函數(shù)。此外，還開發(fā)了一個干擾觀測器來逼近外部干擾。所提出的自適應(yīng)神經(jīng)補(bǔ)償控制方法是通過利用反步技術(shù)構(gòu)建的文獻(xiàn)[20]討論了在未建模的系統(tǒng)動力學(xué)和無限多的時變執(zhí)行器故障存在的情況下的柔性操縱器的新型自適應(yīng)補(bǔ)償策略。與現(xiàn)有結(jié)果不同的是，未建模的系統(tǒng)動力學(xué)由非線性時變延遲函數(shù)表示，借助于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和Lyapunov-Krasovskii函數(shù)來解決這個問題。但在現(xiàn)實(shí)中，由于環(huán)境情況的隨機(jī)變化，執(zhí)行器故障也是隨機(jī)的。與已有的確定性可靠控制結(jié)果相比，迄今為止，關(guān)于隨機(jī)性質(zhì)下控制元件失效的研究文獻(xiàn)很少。在這方面，文獻(xiàn)[21]研究了一系列復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的基于觀測器的同步問題，這些網(wǎng)絡(luò)受到時間延遲、外部干擾、隨機(jī)發(fā)生的執(zhí)行器故障和輸入飽和的影響。文獻(xiàn)[22]對非線性撓性航天器進(jìn)行了隨機(jī)執(zhí)行器失效建模，并通過采樣數(shù)據(jù)控制實(shí)現(xiàn)了有限時間姿態(tài)穩(wěn)定。此外，隨機(jī)執(zhí)行器故障的可靠控制在控制器設(shè)計中具有現(xiàn)實(shí)意義。因此，我們在本文中考慮隨機(jī)情況下執(zhí)行器故障的問題。

另一方面，在動態(tài)系統(tǒng)的控制實(shí)現(xiàn)過程中，由于環(huán)境的影響，控制增益會隨機(jī)偏離。在這種情況下，需要用隨機(jī)的方法來考慮增益的變化來容忍偏差。隨機(jī)發(fā)生增益波動的彈性控制的研究在文獻(xiàn)[23-30]中得到了關(guān)注。例如，在文獻(xiàn)[23]中，針對增益隨機(jī)變化的模糊系統(tǒng)有限時間無源問題，提出了彈性可靠控制。文獻(xiàn)[24]討論了一類具有兩種不同類型的憶阻函數(shù)和不確定的時變延遲的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱狀態(tài)估計問題。為了實(shí)現(xiàn)混沌Lurie系統(tǒng)的同步準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[25]設(shè)計了隨機(jī)發(fā)生控制器增益波動的不易脆裂的控制。文獻(xiàn)[27]討論了一類具有執(zhí)行器故障的隨機(jī)系統(tǒng)的基于耗散性的彈性采樣數(shù)據(jù)控制問題。特別是，假設(shè)控制器擁有不同故障率的概率性執(zhí)行器故障。此外，控制器的增益波動以隨機(jī)的方式出現(xiàn)，服從于某些伯努利分布的白噪聲序列。文獻(xiàn)[28] 通過使用具有時變概率度量的伯努利分布白色序列來考慮控制器的增益矩陣中的隨機(jī)波動。 提出了基于無源理論的一類網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的彈性控制器設(shè)計問題。文獻(xiàn)[30]討論了由區(qū)間值模糊模型近似的非線性網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的基于耗散性的非脆弱可靠性采樣數(shù)據(jù)異步合成問題，該系統(tǒng)具有隨機(jī)發(fā)生的參數(shù)不確定性和控制器增益波動同時對抗半馬爾科夫型混合執(zhí)行器故障。

基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法，在各種負(fù)荷頻率控制技術(shù)下，電力系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問題得到了廣泛的研究。例如，文獻(xiàn)[31]通過比例、積分和微分型負(fù)荷頻率控制方案研究了電力系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性。同樣，文獻(xiàn)[32]和文獻(xiàn)[33]中分別采用自適應(yīng)事件觸發(fā)負(fù)荷頻率控制和彈性事件觸發(fā)負(fù)荷頻率控制技術(shù)分析了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。然而在彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制設(shè)計下，沒有考慮具有隨機(jī)增益波動和執(zhí)行器故障的電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性，這是本文的主要研究動機(jī)。

受上述討論的啟發(fā)，本文的主要工作是研究彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制下電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定準(zhǔn)則。本文的主要貢獻(xiàn)如下。

1)與已有文獻(xiàn)不同的是，本文提出的電力系統(tǒng)模型容易受到外部負(fù)荷擾動、隨機(jī)執(zhí)行器故障和隨機(jī)發(fā)生增益波動的影響。

2)推導(dǎo)了隨機(jī)執(zhí)行器故障電力系統(tǒng)存在和不存在隨機(jī)增益變化時均方漸近穩(wěn)定和鎮(zhèn)定準(zhǔn)則的時滯相關(guān)充分條件。

3)通過給出數(shù)值算例，對比文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果，證明了本文所提出的方法在最大允許時滯上限、最小H∞性能指標(biāo)和電力系統(tǒng)彈性穩(wěn)定上具備明顯的優(yōu)點(diǎn)。

本文的剩余部分安排如下。第一節(jié)建立了電力系統(tǒng)負(fù)荷頻率控制的動態(tài)模型。第二節(jié)介紹了電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計。第三節(jié)針對隨機(jī)發(fā)生增益波動的電力系統(tǒng)設(shè)計了可靠負(fù)荷頻率H∞控制器。在第四節(jié)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提本文所提出方法的有效性，分別給出了時變時延最大允許上界、最小可靠的H∞穩(wěn)定分析性能指標(biāo)以及所設(shè)計的控制器增益的分析。結(jié)束語在第五節(jié)中給出。

符號定義：在本文中，上標(biāo)“-1”表示矩陣逆，“T”表示矩陣轉(zhuǎn)置，* 表示對稱矩陣中的對稱項(xiàng)。E{x}表示x的期望。Pr{α}表示事件α的發(fā)生概率。I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。n表示n維歐氏空間，n×m表示所有n×m矩陣的集合， diag{·}表示塊對角矩陣。

1 電力系統(tǒng)負(fù)荷頻率控制的動態(tài)模型

單區(qū)域電力系統(tǒng)的一般狀態(tài)空間模型[34]可以描述為：

(1)

其具體參數(shù)的物理意義見表1所示。

uF(t)=α(t)u(t)

(2)

其中:u(t)為控制輸入，α(t)為表征隨機(jī)執(zhí)行器故障現(xiàn)象的隨機(jī)變量，假設(shè)滿足Bernoulli分布，即:

Pr{α(t)=1}=ρ,Pr{α(t)=0}=1-ρ

(3)

表1 電力系統(tǒng)參數(shù)

其中:ρ∈[0,1]是已知常數(shù)。由式子(3)，我們得到E{ (α(t)-ρ) }=0和E{(α(t)-ρ)2}=ρ(1-ρ)。由于控制信號的傳輸，負(fù)荷頻率控制的輸入被認(rèn)為是延遲ACE。然后，PI型負(fù)荷頻率控制定義如下：

u(t)=-Ky(t-σ(t))

(4)

其中：

為了得到電力系統(tǒng)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定準(zhǔn)則，首先給出如下引理。

引理2[35]：對于任意正定對稱矩陣Q∈n×n和u，v∈n，有:

±uTv≤uTQu+vTQ-1v

最后，給出本文的主要研究問題1。

問題1：給予系統(tǒng)(4)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定的條件，在以下目標(biāo)下設(shè)計可靠的H∞負(fù)荷頻率控制。

1)Lyapunov-Krasovskii函數(shù)是利用延遲ACE的全信息構(gòu)造的。

2)建立了達(dá)到規(guī)定H∞性能指標(biāo)的穩(wěn)定準(zhǔn)則，并給出了以下條件。

(1)w(t)=0條件下的電力系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

(2)在零初始條件下，對于任意非零w(t)∈L2[ 0，∞)和給定的δ>0，有：

2 電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計

在這一部分中，我們將推導(dǎo)出電力系統(tǒng)(4)穩(wěn)定性分析的時滯相關(guān)充分條件和控制器設(shè)計的基本方案。

(5)

(6)

其中:

Θ=

Θ1,1=P1A+ATP1+P2+CTC+P3+P5，

Θ3=diag{-P3,-P4}，

Π1=[A-ρBKC0W] 。

證明：考慮如下李雅普諾夫泛函：

其中:

V1(x(t))=xT(t)P1x(t)

E{

(7)

E{V2(x(t))}=E{xT(t)P2x(t)-xT(t-h)P2x(t-h)+

(8)

E{

(1-τ)xT(t-σ(t))P5x(t-σ(t))}

(9)

積分項(xiàng)利用Jensen’s不等式，逆凸定理引理1可以很容易地得到如下不等式：

(10)

其中:η1=x(t)-x(t-σ(t))，η2=x(t-σ(t))-x(t(h)。將式(10)代入式(8)，有：

E

yT(t)y(t)+δ2wT(t)w(t)}

(11)

其中:ζT(t)=[xT(t)xT(t-σ(t))xT(t(h)wT(t)]。從式(11)，我們可以很容易地導(dǎo)出式(6)。如果式(6)成立，則有：

E{V(x(t))}≤E{-yT(t)y(t)+δ2wT(t)w(t)}

從0到∞兩邊積分即可得到:

E{V(x(∞))-V(x(0))}≤

對于任意非零w(t)∈L2[0，∞)，這意味著

在零初始條件V(x(0))=0下。假設(shè)w(t)=0，存在一個標(biāo)量φ>0使得:

E{

這說明系統(tǒng)(4)H∞性能指標(biāo)下是均方漸近穩(wěn)定的。因此，證明完畢。

基于線性矩陣不等式的時滯相關(guān)充分條件設(shè)計負(fù)荷頻率控制方案的可靠H∞增益，給出定理如下。

(12)

(13)

(14)

其中：

Π2=[AR-ρBFC0W]。

此外，控制增益矩陣由K=FG-1設(shè)計。

(15)

其中：

注釋1：一般情況下，根據(jù)文獻(xiàn)[6]和[7]的假設(shè)所知，他們都是基于一個增益矩陣的假設(shè)，對負(fù)荷頻率控制的時滯相關(guān)穩(wěn)定性條件進(jìn)行了研究。假設(shè)增益矩陣未知，文獻(xiàn)[6]和[7]中的方法將不在適用。而本文的方法能夠設(shè)計未知控制增益K。

3 具有增益波動的彈性可靠負(fù)荷頻率H∞控制器設(shè)計

在本節(jié)中，我們將設(shè)計具有隨機(jī)增益波動和隨機(jī)執(zhí)行器故障的系統(tǒng)(4)的彈性可靠負(fù)荷頻率H∞控制器。我們首先考慮彈性控制輸入如下：

u(t)=(K+λ(t)ΔK(t))y(t-σ(t))

(16)

這里，K表示正?？刂圃鲆?，ΔK(t)為加性增益擾動并滿足ΔK(t)=LM(t)N，其中L和N為已知常數(shù)矩陣，未知矩陣M(t)滿足MT(t)M(t)≤I。同時，隨機(jī)變量λ(t)∈表示隨機(jī)發(fā)生的控制器增益波動，其滿足Bernoulli分布的白噪聲，且Pr{λ(t)=1}=E{λ(t)}=γ，Pr{λ(t)=0}=1-γ，γ∈[0,1]，E{(λ(t)-γ)2}=γ(1(γ)。同樣，λ(t)和α(t)是不相關(guān)的隨機(jī)變量。然后，電力系統(tǒng)(4)可以轉(zhuǎn)換為如下形式：

(17)

由以上分析可知，滿足均方漸近穩(wěn)定性和H∞性能指標(biāo)準(zhǔn)則的理想彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制可以歸結(jié)為以下問題。

問題2：給定系統(tǒng)(17)，為保證漸近穩(wěn)定條件，在問題1條件下設(shè)計了彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制器。

(18)

成立，

其中:

Φ=

Φ2,5=-ρCTFTBT,

Φ2,7=RCTNT,

Ω=

Ω5,5=γρBLQ4，

γ=diag{-Q2，-Q2，-Q3，-Q3，-Q4，-Q4，-I}。

再由K=FG-1得到彈性可靠控制器增益矩陣。

Cx(t-σ(t))-B(α(t)-ρ)γLM(t)×

NCx(t-σ(t))-ρB(K+(λ(t)-γ)LM(t)N)×

Cx(t-σ(t))-ργLM(t)NCx(t-σ(t))+

(19)

對于任意對稱正定矩陣Qi(i=1,2,3,4)，可得到：

(20)

(21)

(22)

(23)

然后，計算弱無窮小生成元對V(x(t))隨系統(tǒng)的演化的期望，可得：

E{?(t)}

4 數(shù)值算例

下面通過文獻(xiàn)[6]中的數(shù)值算例來論證本文所得結(jié)果的可行性和有效性。為了確立本文的主要研究目標(biāo)，本文在以下幾部分中分別計算了時變時延最大允許上界(MAUB)、最小可靠的H∞穩(wěn)定分析性能指標(biāo)以及驗(yàn)證本文所設(shè)計的控制器增益的有效性。

例：考慮了系統(tǒng)(4)，其參數(shù)值列于表2所示。

表2 電力系統(tǒng)(4)參數(shù)值

表3 文獻(xiàn)[6]中對不同控制增益取值的σ(t)的最大允許上界

表4 定理1中控制增益的不同σ(t)取值的最大允許上界

表5 不同ρ下的σ(t)的最大允許上界的計算值

然后，我們給出H∞性能指標(biāo)分析。取h=2，τ=0.5，增益KP=0.15，KI=0.1，基于定理1和文獻(xiàn)[8]，計算了最小H∞性能指標(biāo)，并列于表6。由表6可知，本文所設(shè)計的控制方案在電力系統(tǒng)中有效地抵抗了負(fù)荷擾動。

表6 δ的最小值計算

最后，我們分析本文所設(shè)計的控制器增益的有效性。設(shè)ρ=τ=0.1，h=0.2，ε=0.01和δ=8.5，根據(jù)定理2所得的控制增益矩陣為：

K=[1.221 1.223]

系統(tǒng)的頻率偏差圖如圖1所示。從圖1的仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)在負(fù)載擾動和隨機(jī)故障執(zhí)行器存在的情況下是穩(wěn)定的。

圖1 頻率偏差圖

K=[3.544 0.733]

為了反映所開發(fā)控制設(shè)計方案的有效性，圖2分別給出了彈性可靠控制增益下時變時滯σ(t)=4.9sin(t)+0.2的狀態(tài)響應(yīng)仿真結(jié)果。由圖2可知，電力系統(tǒng)在本文所設(shè)計控制下，穩(wěn)定性是能得到保證的。綜上所述，即使在存在外部負(fù)荷擾動、隨機(jī)執(zhí)行器故障和隨機(jī)增益變化的情況下，仿真結(jié)果證明了本文所提出的定理3的彈性可靠控制器能夠很好地使電力系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖2 σ(t)=4.9sin(t)+0.2下的頻率偏差圖

5 結(jié)束語

1)本文針對具有隨機(jī)執(zhí)行器故障、外部負(fù)載擾動和無隨機(jī)增益變化的電力系統(tǒng)研究了其彈性可靠的負(fù)荷頻率H∞控制問題。

2)通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫泛函，利用逆凸技術(shù)和線性矩陣不等式方法，得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性定理和穩(wěn)定性控制增益，保證了所提電力系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定性。最后通過數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出的方法的優(yōu)越性和可行性。

3)所推導(dǎo)的條件得到的保守性小于已有結(jié)果。在我們的未來工作中，我們將把所提出的結(jié)果推廣到具有時滯的多區(qū)域電力系統(tǒng)的輸出反饋控制器的設(shè)計中。