重力與萬有引力關(guān)系的模型建構(gòu)與試題編制

福建 鄭行軍

萬有引力的試題編制是以萬有引力定律為基礎(chǔ)，融合圓周運動、重力、開普勒定律等進(jìn)行綜合情境設(shè)計，對于學(xué)生的知識理解能力和空間想象能力都有較高的要求，其中萬有引力和重力的關(guān)系問題作為本章重要知識點之一，其理解深度與應(yīng)用層次對問題的解決有較大影響。本文對兩者的關(guān)系及試題編制思路進(jìn)行梳理，希望能對大家有所幫助。

一、重力與萬有引力關(guān)系的模型分析

1.地表且地球M(或某中心天體)自轉(zhuǎn)影響不能忽略

圖1

圖2

2.地球M(或某中心天體)上方高空

二、試題情境設(shè)計與編制

1.不同天體表面的重力加速度比較分析

設(shè)計思路：以兩個或多個不同天體為信息載體設(shè)計試題情境，構(gòu)建地表重力與萬有引力的定量關(guān)系，作為核心考點拓展天體表面的重力加速度、天體質(zhì)量、天體密度和環(huán)繞天體問題等，題設(shè)條件不涉及中心天體的自轉(zhuǎn)問題。

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2.同一天體不同高度的重力加速度比較分析

設(shè)計思路：聚焦同一中心天體作為參考載體，選擇高空不同位置或地表的兩個不同研究對象(實物或環(huán)繞天體)，通過重力與萬有引力關(guān)系式比較重力加速度關(guān)系，分析加速度、中心天體質(zhì)量、密度、環(huán)繞問題等。

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3.同一天體表面不同緯度的重力加速度比較分析

設(shè)計思路：在同一天體表面的不同緯度選擇兩個或多個不同位置做為重力加速度評測參考，不同地表位置的物體在研究受力關(guān)系時要考慮中心天體自轉(zhuǎn)的影響，結(jié)合重力加速度和向心力的動態(tài)關(guān)系分析重力加速度、向心力、向心加速度、地表支持力、自轉(zhuǎn)線速度、角速度等物理參量的變化或進(jìn)行定量計算。

【例3】用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時，彈簧測力計的讀數(shù)是F0。

圖3

4.天體內(nèi)外不同位置的重力加速度比較分析

設(shè)計思路：以某一天體作為研究對象，在天體內(nèi)部腔體、表面或高空選擇兩個或多個位置作為比較，分析不同位置的萬有引力或重力加速度關(guān)系等。

【例4】人類對自然的探索遠(yuǎn)至遙遠(yuǎn)的太空，深至地球內(nèi)部。若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體。某地下探測器A的質(zhì)量為m，深入地面以下h處，假設(shè)h以上的地球球殼物質(zhì)對探測器A的引力為零；另一太空探測器B質(zhì)量也為m，圍繞地球做圓周運動，軌道距離地面高度為d，則地球?qū)μ仗綔y器B和地下探測器A的引力之比為

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圖4

5.地面或高空關(guān)聯(lián)物體的運動問題

設(shè)計思路：設(shè)計地面或高空的物體運動為試題情境，通過分析物體的運動規(guī)律，結(jié)合運動學(xué)、動力學(xué)、功能關(guān)系等力學(xué)知識，關(guān)聯(lián)出運動與天體表面或高空的加速度關(guān)系，延拓中心天體質(zhì)量、密度、環(huán)繞天體的運動、變軌、發(fā)射問題等。

【例5】航天員飛到一個被稠密氣體包圍的某行星上進(jìn)行科學(xué)探索。他站在該行星表面，從靜止釋放一個質(zhì)量為m的物體，由于氣體阻力，其加速度a隨下落位移x變化的關(guān)系圖像如圖5所示。已知該星球半徑為R，引力常量為G，忽略行星自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響。下列說法正確的是

圖5

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【點評】當(dāng)運動涉及重力加速度的試題編制中，題目信息一般會呈現(xiàn)近地或高空的物體運動規(guī)律，如自由落體、豎直上拋、平拋、圓周運動等，并以此構(gòu)建運動和重力加速度的關(guān)系，具體的試題特征是天體表面或高空的重力加速度一方面與天體有關(guān)[GM=gR2或GM=g′(R+h)2]；另一方面與物體運動關(guān)聯(lián)，利用重力加速度為紐帶建構(gòu)物體運動和萬有引力、天體運動之間的關(guān)系(圖6)，因而可以實現(xiàn)地面和高空的有機(jī)統(tǒng)一，達(dá)到同時考查近地運動和高空天體作用規(guī)律的雙重目的，具有一定的綜合性。

圖6

三、小結(jié)