如何利用類比方式培養(yǎng)高中生的科學(xué)思維
——以“類比變力做功和變力的沖量”為例

四川 吳春曉 夏瀘林

培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維是高中物理教學(xué)的重要內(nèi)容。在教學(xué)過(guò)程中當(dāng)學(xué)生接觸到一個(gè)新的物理量時(shí)，由于新概念比較抽象，所以無(wú)論是理解概念還是進(jìn)行求解都比較困難。但是如果能夠利用類比法，將新概念和舊概念聯(lián)系起來(lái)，不僅能夠強(qiáng)化使用不同方法所需的科學(xué)思維，還能反過(guò)來(lái)幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解。因此，本文選取了功和沖量這兩個(gè)概念，同時(shí)運(yùn)用微元法、圖像法和間接法，對(duì)求解變力做功和求解變力沖量的過(guò)程進(jìn)行了類比，以期達(dá)到有效培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的目的。

1.從求解變力做功到求解變力的沖量

動(dòng)量分析和能量分析在物體動(dòng)力學(xué)的分析中舉足輕重。目前，在高中物理教學(xué)中，對(duì)變力做功已有非常全面地探討，對(duì)比之下，對(duì)變力沖量的探討則稍顯薄弱。所以，在不同的物理情境中，利用多種方法求解變力的沖量不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，還能起到引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探究的作用。表1對(duì)比了在變力做功和變力的沖量?jī)煞N情境下應(yīng)用不同方法的具體細(xì)節(jié)，具體的分析將在后文展開(kāi)。

表1 求解變力做功和變力沖量的方法對(duì)比

2.求解變力的沖量的不同方法

2.1 微元法：同種方法不同應(yīng)用，深化矢量觀念

微元法是處理物理問(wèn)題非?；竞椭匾囊环N方法，從處理運(yùn)動(dòng)學(xué)中v-t圖像的面積的物理含義開(kāi)始，在之后很多問(wèn)題的處理中也都會(huì)用到。如果學(xué)生在整個(gè)高中物理學(xué)習(xí)歷程中，通過(guò)螺旋上升的方式，在不同的章節(jié)中反復(fù)品鑒微元法的精妙之處，對(duì)于提升學(xué)生的科學(xué)思維能力有很大的幫助。在求解變力的沖量的情境中，運(yùn)用微元法不僅能進(jìn)一步提升學(xué)生的科學(xué)思維能力，還能從一個(gè)全新的視角來(lái)審視矢量合成的觀念，從而達(dá)到物理觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究協(xié)同提升的效果。

【例1】利用微元法求解摩擦力的沖量

如圖1所示，質(zhì)量為m的物體在細(xì)繩的牽引下，在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的水平面上，做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)。從A點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，由于其摩擦力方向時(shí)刻和運(yùn)動(dòng)方向相反，所以在物體運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周的過(guò)程中，利用微元法可以快速地得出滑動(dòng)摩擦力對(duì)物體所做功為W=-μmgπR。

圖1

圖2

【例2】利用微元法求解圓錐擺支持力的沖量

微元法還可以用來(lái)求解圓錐擺中支持力的沖量。

如圖3所示，在半頂角為θ的光滑圓錐中，距離O點(diǎn)高度為h的水平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)量為m的小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。求小球從A運(yùn)動(dòng)到B經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周的過(guò)程中，圓錐對(duì)小球支持力的沖量大小。

圖3

圖4

【例3】利用微元法求解安培力和洛倫茲力的沖量

對(duì)于在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子而言，即使其在磁場(chǎng)中不做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(比如在洛倫茲力和重力的作用下做擺線運(yùn)動(dòng))，也可以通過(guò)求解洛倫茲力的沖量來(lái)分析問(wèn)題。同樣采取的是微元法的方式I=∑qvyBΔt=qBy=mΔvx。此外，還能得到粒子由于有豎直方向上的速度會(huì)產(chǎn)生水平方向上的沖量的美妙結(jié)論。

2.2 圖像法：同種模型不同視角，深化函數(shù)觀念

物理問(wèn)題的分析與解決離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)，在物理中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)生的科學(xué)思維發(fā)展很有幫助。函數(shù)中的自變量和因變量之間的關(guān)系，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科中非常重要，在物理學(xué)科中也非常關(guān)鍵。函數(shù)的觀念中不僅涉及了自變量和因變量的因果關(guān)系，還能反映出因變量隨著自變量的增加而變化的情況，從而達(dá)到預(yù)測(cè)物理現(xiàn)象和情境的目的。對(duì)于彈簧彈力而言，如果取位移為自變量，則圖像是一條過(guò)原點(diǎn)的直線；對(duì)于彈簧振子而言，如果取時(shí)間為自變量，則是正余弦函數(shù)圖像。物理量因不同的自變量而遵循不同的規(guī)律，考查了高中物理學(xué)科核心素養(yǎng)中的科學(xué)推理能力。

【例4】如圖5所示，一輕彈簧與質(zhì)量為m的物體組成彈簧振子，物體在A、B兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)O為平衡位置，C為O、B間的一點(diǎn)。已知振子的周期為T，某時(shí)刻物體恰好經(jīng)過(guò)C向上運(yùn)動(dòng)，則從該時(shí)刻起的半個(gè)周期內(nèi)。以下說(shuō)法正確的是

圖5

( )

A.物體動(dòng)能變化一定為零

B.彈簧彈性勢(shì)能的減少量一定等于物體重力勢(shì)能的增加量

【答案】AB

【評(píng)析】筆者對(duì)AB兩個(gè)選項(xiàng)的分析不再贅述。對(duì)于C選項(xiàng)而言，物體所受的彈力和重力的合力才是回復(fù)力，而C選項(xiàng)誤認(rèn)為回復(fù)力的沖量等于重力的沖量，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

可以看出，當(dāng)彈力沖量IT方向向下時(shí)，并不能直接判斷IT和重力沖量IG的大小關(guān)系。為了進(jìn)一步研究可以采用多種方法，這里先利用圖像法分析IT。

如圖6所示，取豎直向下為正方向，在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像的基礎(chǔ)上，將縱軸與彈簧的勁度系數(shù)k相乘，就能得到回復(fù)力—時(shí)間圖像，于是驗(yàn)證了合外力的沖量必定豎直向下。由于彈簧原長(zhǎng)位置必在平衡位置的上方，所以實(shí)際上C位置處彈簧的形變量會(huì)大于相對(duì)于平衡位置的位移。如圖7所示，將圖像向下平移或者將橫軸向上平移到t′位置，此時(shí)圖像和橫軸所圍成的面積即為彈簧的沖量。但是，由于彈簧原長(zhǎng)位置未知，所以橫軸向上平移的長(zhǎng)度無(wú)法確定。通過(guò)圖7所示的圖像和t′軸所圍成的面積可以發(fā)現(xiàn)，IT的方向可能向上、可能向下、也可能為零。

圖6

圖7

綜上分析可知，利用圖像求解沖量時(shí)，不僅能夠解決比較常規(guī)的一次函數(shù)圖像問(wèn)題，還能解決正余弦函數(shù)圖像問(wèn)題。通過(guò)圖像的繪制與分析能夠大大減少計(jì)算量。

2.3 間接法：同種情境不同路徑，深化全程觀念

無(wú)論是動(dòng)能定理還是動(dòng)量定理都更加關(guān)注初末的狀態(tài)量變化，這樣全程的思路能夠在已知?jiǎng)幽芑蛘邉?dòng)量改變的情況下，求出某個(gè)力的做功或者沖量。這對(duì)于某些難以直接求解的變力做功或者變力的沖量是以一種非常好的方式。

前文中我們利用了微元法直接求解例2情境中的支持力的沖量，但是對(duì)于物體運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周過(guò)程中也可列出動(dòng)量定理

需要說(shuō)明的是，這個(gè)式子中的各個(gè)物理量并不共線，所以需要進(jìn)行矢量合成。如圖8所示，通過(guò)勾股定理可得

圖8

代入之前計(jì)算出來(lái)的v和t，則得到和前面微元法一樣的答案

【點(diǎn)評(píng)】在這種情況下，與微元法相比，間接法更為簡(jiǎn)單直接，但是對(duì)于初學(xué)者而言，這兩種重要方法的掌握都非常重要，所以教師在演示相關(guān)方法的時(shí)候不能厚此薄彼，而是要將不同的方法都清晰地展現(xiàn)給學(xué)生，然后留給學(xué)生時(shí)間，讓他們通過(guò)親自體驗(yàn)的方式，體會(huì)不同方法之間的差異，從而才能更立體地提升其科學(xué)推理能力。類似地，教師還可以給學(xué)生創(chuàng)設(shè)如下的情境。

【例5】如圖9所示，質(zhì)量為m的小球用繩懸掛于天花板上的O點(diǎn)，現(xiàn)將小球拉至A點(diǎn)由靜止釋放，歷時(shí)t小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度為v，求此過(guò)程中繩上彈力的沖量。

圖9

圖10

【點(diǎn)評(píng)】該處理方式可以進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到動(dòng)量定理和動(dòng)能定理在處理問(wèn)題時(shí)的相同和不同之處。其相同之處在于可以回避直接求解運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某個(gè)力的做功或者沖量；不同之處在于動(dòng)能相關(guān)物理量都是標(biāo)量，而動(dòng)量相關(guān)的物理量都是矢量，學(xué)生需要意識(shí)到兩者的不同之處，且必須在實(shí)際的應(yīng)用場(chǎng)景中反復(fù)運(yùn)用和思考。

同樣的，在前文提到的例4中，除了使用圖像法，還可以用間接法求解彈簧彈力的沖量。具體解法為，假設(shè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為A，平衡位置距離原長(zhǎng)處的距離為x0，C點(diǎn)距離平衡位置的距離為x，并且取原長(zhǎng)所在處為重力的零勢(shì)能面，則可以通過(guò)從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的機(jī)械能守恒列式

3.總結(jié)

為了培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維，本文梳理了微元法、圖像法、間接法在求解變力做功和變力的沖量的應(yīng)用場(chǎng)景。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，即使是同為微元法，在求解變力做功時(shí)是標(biāo)量求和，而在求解變力的沖量時(shí)是矢量求和，這樣的對(duì)比能夠再次深化學(xué)生的矢量觀念。即使是同樣的彈簧模型，求解變力做功的圖像是正比例函數(shù)，而求解變力的沖量的圖像則是余弦函數(shù)，對(duì)此能夠深化學(xué)生對(duì)自變量和因變量關(guān)系的理解。所以，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該明確求解變力做功和求解變力沖量的微元法之間的區(qū)別；進(jìn)一步理解平均值的物理含義。與此同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同方法的特點(diǎn)也很有必要，只有學(xué)生親身體驗(yàn)過(guò)不同方法的求解過(guò)程，才能真正掌握找尋最優(yōu)方法的途徑。