求三角函數(shù)最值的三種思路

王慧子

三角函數(shù)最值問題涉及的知識面較廣，常與三角函數(shù)的性質(zhì)、圖象、定義，二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，基本不等式、一元二次方程的判別式等相結(jié)合，因而解答此類問題的思路較多．筆者對其中的三種思路進(jìn)行了總結(jié)，下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行介紹．

一、運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)

若三角函數(shù)式可直接化為y=A sin（ωx+φ）+h、y =A cos（ωx+φ）+h、y=A tan（ωx+φ）+h的形式，便可根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得函數(shù)的最值．在求最值時，往往要先根據(jù)函數(shù)的定義域，求得ωx+φ的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最大、最小值．

解答本題，需先利用二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)式化簡為只含有正弦函數(shù)的式子，然后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得最值．

二、采用換元法

有些三角函數(shù)式較為復(fù)雜，其中含有分式、根式、絕對值、多次出現(xiàn)的式子，此時可引入新變量，將三角函數(shù)式中的某一部分用新變量替換，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的三角函數(shù)式、二次函數(shù)式、指數(shù)式、對數(shù)式，然后根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)求三角函數(shù)的最值．在換元的過程中，要關(guān)注新舊變量的取值范圍．

解答該題，一需注意挖掘隱含條件，即三角形的內(nèi)角和為，且每一個銳角不能超過二需選取合適的式子進(jìn)行換元，將三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的函數(shù)式，根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)求得最值．

三、利用基本不等式

基本不等式：a+b≥2√ab（a、b>0）是解答最值問題的常用T具．運(yùn)用基本不等式求解三角函數(shù)式最值問題，需先將三角函數(shù)式進(jìn)行合理的變形，以便配湊出兩式的和或積，并使其中之一為定值．若兩式大于0，即可運(yùn)用基本不等式求最值；若小于0，則需將該式乘以-1，使兩式均為大于0，再運(yùn)用基本不等式求得最值．在求得最值后，還需檢驗(yàn)等號成立的條件是否滿足題意．

先將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，求得tanβ的表達(dá)式，而該式為分式，可將分子、分母同時除以tanα，便可構(gòu)造出兩式的和，而利用基本不等式即可求得tanβ的最值，進(jìn)而得到cosβ的最值．

三角函數(shù)最值問題在高考試題中出現(xiàn)的頻率較高，且題型多變，同學(xué)們需歸納解題的技巧，熟練掌握求三角函數(shù)最值問題的各種思路，以便在再次遇到同樣類型的題目時，能夠做到游刃有余．