基于雙PH曲線五軸線性刀具路徑光順軌跡生成及其參數(shù)同步方法

陶廷江, 韓 江, 姜 陽, 盧 磊, 黃曉勇, 夏 鏈

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 合肥 230009;2.安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230009)

0 引 言

五軸數(shù)控機(jī)床由3個(gè)直線軸和2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸構(gòu)成,具有刀具加工姿態(tài)靈活、加工效率高、加工質(zhì)量好等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于航空航天發(fā)動(dòng)機(jī)葉輪葉片、汽車渦輪增壓器葉輪、飛機(jī)結(jié)構(gòu)件等復(fù)雜曲面類零件的加工[1-2]。目前五軸數(shù)控機(jī)床加工軌跡多由CAM軟件生成線性加工路徑組成,線性路徑拐角處速度、加速度和加加速度不連續(xù),導(dǎo)致機(jī)床在拐角處將運(yùn)動(dòng)速度降低至0,從而產(chǎn)生頻繁加減速,導(dǎo)致加工效率和加工質(zhì)量的下降。因此,研究五軸線性刀具路徑光順處理對提高五軸數(shù)控機(jī)床的加工效率和加工質(zhì)量具有重要意義。目前國內(nèi)外學(xué)者對線性刀具路徑光順研究主要分為兩大類:

(1) 全局光順。全局光順是利用高階參數(shù)曲線擬合刀位點(diǎn),包含插值過渡[3-4]和近似逼近[5]等方法。全局光順能確保整條路徑的連續(xù)性,但難以嚴(yán)格約束樣條路徑與原小線段路徑之間的誤差,且全局光順的計(jì)算量較大,限制了實(shí)時(shí)應(yīng)用效果[6]。

(2) 局部光順。局部光順利用高階連續(xù)曲線轉(zhuǎn)接光順原有線性軌跡的拐角,以避免拐角處切向不連續(xù)。局部拐角光順方法可實(shí)現(xiàn)光順誤差可控且曲線幾何參數(shù)實(shí)時(shí)計(jì)算,是一種廣泛使用的線性路徑光順方法[7]。

下面主要對局部光順進(jìn)行國內(nèi)外現(xiàn)狀闡述。文獻(xiàn)[8]利用雙三次Bézier曲線在機(jī)床坐標(biāo)系下對直線軸和旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行光順處理,但需要通過雅克比矩陣將工件坐標(biāo)系下的近似誤差映射到機(jī)床坐標(biāo)系下;文獻(xiàn)[9]采用2條(Pythagorean-hodograph,PH)曲線分別對刀尖點(diǎn)和刀軸上一點(diǎn)進(jìn)行光順,但未考慮刀軸矢量數(shù)據(jù)的單位化;文獻(xiàn)[10]利用雙五次B樣條曲線分別對工件坐標(biāo)系下笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)刀尖點(diǎn)線性路徑和單位球面上刀軸矢量線性路徑進(jìn)行光順處理;文獻(xiàn)[11]利用雙三次NURBS曲線分別對刀尖點(diǎn)平移軌跡和刀軸方向軌跡進(jìn)行拐角光順,獲得了滿足預(yù)設(shè)近似誤差約束和G2連續(xù)性的五軸光順軌跡,但沒有討論刀軸矢量近似誤差;文獻(xiàn)[12]利用雙七次B樣條分別對工件坐標(biāo)系下刀尖點(diǎn)線性路徑和機(jī)床坐標(biāo)系下刀軸方向線性路徑進(jìn)行光順;文獻(xiàn)[13]提出一種雙B樣條曲線對刀尖點(diǎn)和刀軸方向線性路徑進(jìn)行光順,并通過外接轉(zhuǎn)角光順方式降低拐角處曲率;文獻(xiàn)[14]使用雙B樣條曲線分別對工件坐標(biāo)系下笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)刀尖點(diǎn)和單位球面內(nèi)刀軸方向子軌跡進(jìn)行光順;文獻(xiàn)[15]使用雙七次PH曲線分別對工件坐標(biāo)系下刀尖點(diǎn)和機(jī)床坐標(biāo)系下刀軸方向線性路徑進(jìn)行光順處理,并將殘余直線段表示成樣條曲線,獲得了C3連續(xù)的五軸線性光順軌跡;文獻(xiàn)[16]創(chuàng)建了Airthoid曲線,并光順了工件坐標(biāo)系下刀尖點(diǎn)和機(jī)床坐標(biāo)系下刀軸矢量線性路徑,獲得了光滑的五軸光順軌跡;文獻(xiàn)[17]提出了一種兩步實(shí)時(shí)解耦的五軸刀軌局部光順?biāo)惴?并通過單位長度沖激響應(yīng)濾波器獲得各軸加速度連續(xù)的進(jìn)給速度。

本文提出一種五軸線性刀具路徑局部拐角光順方法,生成G2連續(xù)的光順軌跡并實(shí)現(xiàn)其參數(shù)同步。引入2條五次PH曲線在工件坐標(biāo)系下分別對刀尖點(diǎn)子軌跡和刀軸矢量子軌跡進(jìn)行光順,且刀軸矢量近似誤差可通過一種簡單的解析方法進(jìn)行控制。在采用線性同步(刀尖點(diǎn)曲線和刀軸矢量曲線使用同一參數(shù))的情況下,對PH曲線的控制點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整,使刀軸矢量在轉(zhuǎn)接曲線和原始軌跡的銜接點(diǎn)處一階和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),避免刀軸矢量在銜接點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)突變。本文提出的光順方法不涉及工件坐標(biāo)系和機(jī)床坐標(biāo)系之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)變換,計(jì)算效率高,且刀尖點(diǎn)誤差和刀軸矢量誤差可直接控制,刀軸矢量變化連續(xù),具有重要的工程實(shí)際意義。

1 五軸路徑光順

1.1 PH曲線拐角過度

PH曲線是一種特殊的多項(xiàng)式參數(shù)曲線,其參數(shù)與弧長之間有解析表達(dá)關(guān)系。這將簡化參數(shù)與弧長之間映射的建立過程,有利于實(shí)現(xiàn)高精度高效率加工。下面首先介紹PH曲線的構(gòu)造。

設(shè)平面中n次Bézier曲線Q(ξ)定義[7]如下:

(1)

其中:bi為Bézier曲線的控制點(diǎn)Bi的位置矢量，下文同;ξ為曲線參數(shù),ξ∈[0,1]。當(dāng)該Bézier曲線滿足如下條件時(shí),則稱其為PH曲線，即

x′(ξ)=u2(ξ)-v2(ξ),

y′(ξ)=2u(ξ)v(ξ),

u(ξ)=u0(1-ξ)2+2u1(1-ξ)ξ+u2ξ2,

v(ξ)=v0(1-ξ)2+2v1(1-ξ)ξ+v2ξ2,

σ(ξ)=u2(ξ)+v2(ξ)

(2)

其中,σ(ξ)為弧長s關(guān)于參數(shù)ξ的變化率,即

(3)

PH曲線曲率的計(jì)算公式為：

(4)

就PH曲線而言,為得到拐角過渡曲線與原始直線段連接處G2連續(xù)性,最低階次為5次[18]。設(shè)在局部平面直角坐標(biāo)系OTN中,Q(ξ)=x(ξ)T+y(ξ)N,則5次PH曲線的控制點(diǎn)滿足如下關(guān)系:

(5)

通過調(diào)整單位矢量T,使得T方向由B0指向B1,并調(diào)整控制點(diǎn)使得b1=b2,b3=b4,得到銜接點(diǎn)處曲率值κ(0)=κ(1)=0。此外,原始直線段曲率為0,由此可得過渡曲線和原始直線段曲率連續(xù),即G2連續(xù)。

由(4)式、(5)式可得v0=v1=u1=0,PH曲線可簡化為:

(6)

以直線L0V和VL1構(gòu)成的拐角為例,闡述PH曲線光順線性路徑過程,如圖1所示。其中：β為該拐角夾角；θ為該拐角外角；h、k為過渡長度且h=k。

由Bézier曲線的凸包性可知,PH曲線拐角最大誤差在其中點(diǎn)處產(chǎn)生,表示為:

(7)

其中

μ=2(17+18cosθ);

λ=h-k+36k(1+cosθ);

1.2 刀尖點(diǎn)路徑光順

1.2.1 誤差可控的轉(zhuǎn)角過渡

假設(shè)在刀位點(diǎn)Pi-1、Pi、Pi+1構(gòu)成的平面內(nèi),在拐角∠Pi-1PiPi+1處引入五次PH曲線,并使用上節(jié)所述方法確定PH曲線參數(shù)。

通過給定光順誤差ε計(jì)算相應(yīng)過渡長度k,進(jìn)而可計(jì)算誤差可控的過渡PH曲線[7]。k的計(jì)算公式為：

(8)

其中,δ=1+cosθ。

圖1 PH曲線拐角光順

1.2.2 過渡長度控制

僅由近似誤差確定過渡長度時(shí),在相鄰拐角處可能會(huì)有光順曲線重合,如圖2所示。

圖2 過渡長度對PH曲線擬合的影響

因此需根據(jù)近似誤差和原直線段長綜合確定PH曲線的過渡長度,即設(shè)定相鄰刀位點(diǎn)間過渡長度不超過原直線段長的1/2?？傊?在軌跡中間,每2個(gè)相鄰拐角間插入2段PH曲線,而軌跡兩端相鄰刀位點(diǎn)間只插入1段PH曲線,應(yīng)區(qū)別對待。

考慮相鄰刀位點(diǎn)距離的過渡長度l計(jì)算方法如下：

其中,h為僅考慮控制誤差的過渡長度。

1.3 刀軸矢量路徑光順

(9)

圖3 刀軸矢量轉(zhuǎn)接光順

1.3.1 刀軸矢量近似誤差控制

圖4 刀軸矢量拐角光順誤差控制示意圖

圖4中:e為構(gòu)造PH曲線的控制誤差;ε為PH曲線中點(diǎn)E在單位圓上投影的方向誤差。根據(jù)1.1節(jié)PH曲線構(gòu)造方法,曲線誤差度量為長度,而刀軸矢量光順誤差為角度,因此需對其進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將角度誤差ε轉(zhuǎn)換為長度誤差e進(jìn)而構(gòu)造PH曲線。下面給出轉(zhuǎn)化過程:

(10)

根據(jù)(10)式可得:

(11)

由(10)式可知,e與ε在[0,π/2]內(nèi)成正相關(guān),當(dāng)給定刀軸矢量誤差上限ε時(shí),根據(jù)(11)式獲得構(gòu)造PH曲線的控制誤差上限e。據(jù)此可以得到誤差均在允許范圍內(nèi)的光順刀軸矢量。

2 參數(shù)同步

五軸機(jī)床刀尖點(diǎn)和刀軸方向相互獨(dú)立,實(shí)現(xiàn)刀尖點(diǎn)和刀軸方向子軌跡運(yùn)動(dòng)同步是五軸線性路徑拐角光順的另一個(gè)難點(diǎn)。若直接采用線性同步，則會(huì)導(dǎo)致直線段和曲線段的銜接點(diǎn)處刀軸矢量突變。為此,本文通過調(diào)整光順曲線控制點(diǎn)使刀軸矢量的幾何導(dǎo)數(shù)在直線和曲線銜接點(diǎn)處連續(xù),然后使用線性同步的方法使刀尖點(diǎn)和刀軸矢量同步,這樣可以有效實(shí)現(xiàn)五軸機(jī)床刀尖點(diǎn)和刀軸方向運(yùn)動(dòng)同步且避免刀軸矢量運(yùn)動(dòng)突變。

為保證光順后刀軸矢量在過渡曲線和原始軌跡的銜接處一階和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),PH曲線控制點(diǎn)應(yīng)滿足如下關(guān)系式:

(12)

其中：oi-1、oi+1分別為Oi-1、Oi+1點(diǎn)矢量;pi-1、pi+1分別為Pi-1、Pi+1點(diǎn)矢量，下文同。

參數(shù)同步示意圖如圖5所示。

圖5 參數(shù)同步示意圖

下面結(jié)合圖5給出(12)式的證明。

設(shè)O(u)為刀軸矢量的軌跡曲線,P(u)為刀尖點(diǎn)軌跡曲線,u為曲線參數(shù)且u∈[0,1],s為刀具路徑長度。五軸刀具路徑任意點(diǎn)處刀軸矢量的一階導(dǎo)數(shù)可表示為:

(13)

其中

(14)

在原始直線段中,原始直線段與過渡曲線“入口”銜接處u=1,即在AOi0處u=1,將u值帶入(13)式可得:

(15)

在過渡曲線中,原始直線段與過渡曲線“入口”銜接處u=0,即在AOi0處u=0,結(jié)合(1)式和(14)式可得:

(16)

(17)

將(16)式、(17)式帶入(13)式可得:

(18)

刀軸矢量在原始直線段和過渡曲線段的“入口”銜接處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)應(yīng)滿足(15)式與(18)式相等，即可得到(12)式中的第1式。同理,當(dāng)?shù)遁S矢量在原始直線段和過渡曲線段的“出口”銜接處,即AOi5點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)可得(12)式中的第2式。

五軸刀具路徑任意點(diǎn)處刀軸矢量的二階導(dǎo)數(shù)可表示為:

(19)

其中

(20)

在過渡曲線中,AOi0處u=0,結(jié)合(1)式、(9)式、(14)式和(20)式可得:

(21)

(22)

將(16)式、(17)式、(21)式和(22)式代入(19)式可得:

(23)

在原始直線中AOi0處u=1,刀軸矢量二階導(dǎo)數(shù)為0,由此可得刀軸矢量在原始直線段和過渡曲線段的“入口”銜接處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),同理可得刀軸矢量在原始直線段和過渡曲線段“出口”銜接處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。綜上所述,(12)式得證。

綜上,刀軸矢量光順可分為2步:

(1) 采用1.3節(jié)所述方法將光順后刀軸矢量投影到單位球面上以獲得單位化刀軸矢量。

(2) 采用本節(jié)所述方法調(diào)整刀軸矢量過渡曲線控制點(diǎn),使光順后刀軸矢量軌跡在原始直線段和過渡曲線段的銜接處幾何連續(xù)并與刀尖點(diǎn)光順軌跡參數(shù)同步。

3 仿真分析

本節(jié)采用仿真的方法驗(yàn)證本文所提算法的正確性。首先對隨機(jī)生成的刀位點(diǎn)進(jìn)行光順處理,驗(yàn)證算法的計(jì)算效率和刀軸矢量誤差控制效果;然后通過一個(gè)雙拐角五軸刀具路徑驗(yàn)證算法同步的正確性。

3.1 計(jì)算效率與誤差控制效果比較

將本文所提光順方法與對比方法[14]進(jìn)行計(jì)算效率比較,驗(yàn)證計(jì)算本文方法在刀軸矢量誤差控制方面的控制效果。為實(shí)現(xiàn)計(jì)算效率的比較,首先在工件坐標(biāo)系下隨機(jī)生成一定數(shù)量的刀位點(diǎn),通過對上述隨機(jī)生成的刀位點(diǎn)進(jìn)行光順,比較2種方法的計(jì)算時(shí)間。關(guān)于刀軸矢量誤差控制效果的比較,首先在工件坐標(biāo)系下隨機(jī)生成2 000個(gè)刀位點(diǎn),然后對所生成的刀位點(diǎn)進(jìn)行光順處理。給定刀軸矢量光順誤差ε*=0.4°,實(shí)際刀軸矢量誤差定義為ε。通過ε與ε*的比值來判斷本文方法刀軸矢量誤差的控制效果。ε/ε*的值越接近1說明控制效果越好。

隨機(jī)生成的不同數(shù)量刀位點(diǎn)光順后的平均時(shí)間(CPU基準(zhǔn)頻率3.6 GHz,RAM 16 GiB)如圖6所示。由圖6可知,本文方法比對比方法的計(jì)算效率提升了30%左右。2種方法刀軸矢量誤差及誤差比值如圖7所示。由圖7可知:對比方法中刀軸矢量誤差平均值為0.386 5°,是給定值(0.4°)的96.625%;且ε/ε*的平均值為96.15%。本文方法中刀軸矢量誤差平均值為0.383 2°,是給定值(0.4°)的95.8%,且ε/ε*的平均值為96.28%。由此可以看出,本文五軸刀具路徑拐角光順方法相較于對比方法在刀軸矢量誤差控制效果相近的情況下具有更高的計(jì)算效率。

圖6 2種方法計(jì)算耗時(shí)

圖7 2種方法刀軸矢量誤差及誤差比值

3.2 五軸轉(zhuǎn)接光順仿真

根據(jù)對比方法中所用的雙拐角五軸刀具路徑驗(yàn)證本文方法生成軌跡的光順性,光順后刀具路徑如圖8所示。

圖8 光順后刀具路徑

使用2種方法對雙拐角路徑進(jìn)行100次光順處理,平均耗費(fèi)時(shí)間見表1所列。本文方法平均耗時(shí)比對比方法平均耗時(shí)縮短了24%，可有效提高光順效率。

光順后擬合誤差如圖9所示。

由圖9可知,刀尖點(diǎn)和刀軸矢量誤差均在允許范圍內(nèi),說明了本文拐角光順路徑生成算法的正確性。

表1 2種方法平均耗時(shí)

圖9 擬合誤差

線性路徑和光順后路徑刀尖點(diǎn)速度和刀軸矢量角速度如圖10所示。線性路徑加工時(shí)間為4.667 s,光順后路徑加工時(shí)間為4.085 s,加工效率提升了12.5%。在2個(gè)拐角處刀軸矢量角速度同步前有明顯的突變,突變造成機(jī)床各驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)不連續(xù),產(chǎn)生沖擊和明顯運(yùn)動(dòng)誤差,而同步后刀軸矢量角速度連續(xù)變化,可有效避免上述問題。

同步前后刀軸矢量角加速度如圖11所示。由圖11可知,刀具在通過拐角1時(shí),刀軸矢量角加速度由同步前的-4.739 (°)/s2降低到同步后的-0.027 54 (°)/s2,在拐角2處,刀軸矢量角加速度的最大突變由同步前的5.916 (°)/s2降低到同步后的0.029 91 (°)/s2。由此可見,參數(shù)同步算法顯著降低了刀軸矢量在拐角處角速度和角加速度的波動(dòng)。

圖10 線性路徑和光順后刀尖點(diǎn)速度及刀軸角速度

圖11 同步前、后刀軸矢量角加速度

根據(jù)文獻(xiàn)[20]中搭建的AC型五軸數(shù)控機(jī)床,對同步前、后的刀位數(shù)據(jù)進(jìn)行逆解，得到各運(yùn)動(dòng)軸的變化量如圖12所示。

從圖12可以看出,同步后各軸變化平緩,尤其是X軸和C軸變化最明顯,降低了機(jī)床沖擊。

圖12 同步前、后各運(yùn)動(dòng)軸的變化量

4 結(jié) 論

(1) 本文提出一種基于雙五次PH曲線的五軸線性路徑拐角光順解析算法,光順軌跡滿足G2連續(xù)性要求且過渡曲線弧長和參數(shù)具有解析表達(dá)式,有利于以弧長為要素的五軸光順曲線參數(shù)插補(bǔ)。

(2) 五軸線性路徑刀尖點(diǎn)和刀軸矢量近似誤差在工件坐標(biāo)系下解析可控，尤其是刀軸矢量誤差具有較好的控制效果,且計(jì)算效率高。通過基于線性同步機(jī)制調(diào)整控制點(diǎn)策略,實(shí)現(xiàn)了過渡曲線與原始直線在銜接點(diǎn)處刀軸矢量平穩(wěn)過渡。

(3) 仿真結(jié)果表明,本文方法能保證刀尖點(diǎn)和刀軸矢量誤差在允許范圍內(nèi)且計(jì)算效率高,同步光順后相較于未同步光順各運(yùn)動(dòng)軸變化平穩(wěn),有利于將本文算法集成到數(shù)控系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)五軸軌跡在線光順。