一種基于激光位移測(cè)量的機(jī)械臂參數(shù)標(biāo)定方法

邵鑫,季力,鄒懷武,解楊敏,*

(1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院,上海 200444; 2.上海市空間飛行器機(jī)構(gòu)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201108)

機(jī)器人的定位精度是衡量其性能最重要的指標(biāo)之一。其重復(fù)定位精度主要受關(guān)節(jié)控制誤差的影響,現(xiàn)國(guó)內(nèi)外應(yīng)用的機(jī)器人一般能夠達(dá)到亞毫米級(jí)。但其絕對(duì)定位精度一般在毫米級(jí),通常為2～3mm[1],這在很大程度上降低了其在精密作業(yè)中的應(yīng)用效果。研究表明,機(jī)器人絕對(duì)定位精度的最大影響因素為其運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的誤差,其影響約占到系統(tǒng)總誤差的65%～95%[2]。機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定是解決這一問(wèn)題的基本方法。其原理為構(gòu)造及優(yōu)化某種與運(yùn)動(dòng)約束相關(guān)的誤差函數(shù),以矯正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的機(jī)器人名義結(jié)構(gòu)參數(shù),使其更接近于真實(shí)加工及安裝狀態(tài)。

一般來(lái)講機(jī)器人的參數(shù)標(biāo)定按照約束建立的方法可分為三大類[3]:外部直接測(cè)量法[4-6]、外約束標(biāo)定法[7-8]、自約束標(biāo)定法[9-11]。外部直接測(cè)量法通常利用高精度儀器對(duì)機(jī)器人末端位置進(jìn)行三維測(cè)量,并以此作為標(biāo)定約束,這類方法數(shù)學(xué)建模過(guò)程簡(jiǎn)單,但通常需要昂貴的測(cè)量?jī)x器和實(shí)施環(huán)境支持;外約束標(biāo)定法利用安裝于機(jī)器人末端的傳感器在不同的空間位置測(cè)量與外部參照物的相對(duì)位姿關(guān)系,從而形成空間約束,這類方法使用的測(cè)量?jī)x器相對(duì)簡(jiǎn)單廉價(jià),但需要設(shè)計(jì)合理的外部參照物;自約束標(biāo)定法則是通過(guò)構(gòu)建封閉運(yùn)動(dòng)鏈以利用自身的運(yùn)動(dòng)學(xué)建立幾何約束,雖其誤差函數(shù)構(gòu)建不依賴參照物,但通常需要外部參考建立封閉運(yùn)動(dòng)鏈,且其數(shù)學(xué)模型相對(duì)復(fù)雜。

本文的工作屬于外約束標(biāo)定的范疇。外約束標(biāo)定通常具有易于計(jì)算和實(shí)踐的優(yōu)勢(shì),已獲得廣泛的應(yīng)用。在已有的研究中使用最常見(jiàn)的測(cè)量裝置有視覺(jué)傳感器[12-13]和接觸式傳感器[14-15]兩大類。接觸式傳感器操作較為復(fù)雜,且存在碰撞和儀器損傷風(fēng)險(xiǎn),因此在近年的研究中越來(lái)越多地使用視覺(jué)進(jìn)行標(biāo)定[16-17]。視覺(jué)測(cè)量的優(yōu)勢(shì)是操作相對(duì)簡(jiǎn)單,但需要進(jìn)行傳感器自標(biāo)定,且測(cè)量精度易受參照物和環(huán)境(如標(biāo)定板和光照)等因素影響。為此本文提出一種利用末端安裝的激光位移計(jì)測(cè)量與外部參照物相對(duì)位置關(guān)系的方法,同時(shí)具有使用便捷、成本低廉、測(cè)量穩(wěn)定及數(shù)據(jù)獲取簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。

為了合理約束多自由度機(jī)械臂空間運(yùn)動(dòng),本文設(shè)計(jì)了相互近似垂直的3個(gè)平面參照物。研究表明,單純的平面方程不足以對(duì)多自由度機(jī)器人形成足夠的空間約束[18],因此本文提出了平面度與平面夾角相結(jié)合的約束構(gòu)建方式,形成多目標(biāo)誤差函數(shù)。相關(guān)的標(biāo)定方法在實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)上進(jìn)行了驗(yàn)證,且與基于高精度激光追蹤儀的參數(shù)標(biāo)定進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn),并對(duì)兩者誤差進(jìn)行對(duì)比分析,從而對(duì)本文方法的參數(shù)標(biāo)定效果進(jìn)行了全面性的評(píng)價(jià)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是參數(shù)標(biāo)定的基礎(chǔ)?？紤]到串聯(lián)機(jī)器人建模的標(biāo)準(zhǔn)化和連續(xù)性,本文使用坐標(biāo)系后置DH參數(shù)法[19]建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。機(jī)器人基坐標(biāo)系位于安裝基座的中心處,根據(jù)DH參數(shù)法建立每個(gè)連桿坐標(biāo)系,再用齊次變換矩陣描述相鄰連桿之間的空間關(guān)系[20]。六自由度機(jī)械臂DH模型坐標(biāo)系如圖1所示,機(jī)械臂DH參數(shù)的初始名義值如表1所示。

表1 DH參數(shù)Table1 DH parameters

圖1 機(jī)械臂DH模型坐標(biāo)系Fig.1 DH model coordinate system of manipulators

由連桿坐標(biāo)系{i}和相應(yīng)的連桿參數(shù)建立機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,得到末端執(zhí)行器相對(duì)于基坐標(biāo)

系{B}的齊次變換矩陣:

其中相鄰關(guān)節(jié)對(duì)應(yīng)的位姿變換矩陣可以寫(xiě)為

式中:Rotz(θi)和Rotx(αi)分別為繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)θi和αi對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣;Transz(di)和Transx(ai)分別為在zi和xi方向上平移di和ai對(duì)應(yīng)的平移矩陣。

由于編碼器回零誤差、加工裝配誤差等因素,每個(gè)連桿的4個(gè)DH參數(shù)都存在誤差,記為Δθi、Δai、Δαi、Δdi,則六自由度機(jī)械臂共有24個(gè)誤差參數(shù)。為建立機(jī)器人末端誤差與各誤差參數(shù)之間的定量關(guān)系模型,修正DH參數(shù)列表如表2所示。

表2 DH誤差參數(shù)Table2 DH parameters with kinematic errors

故包含機(jī)器人誤差參數(shù)后的變換矩陣可表示為

2 參數(shù)標(biāo)定方法

2.1 標(biāo)定原理

傳統(tǒng)的機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定通常需要借助激光跟蹤儀、三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x等昂貴且操作復(fù)雜的工業(yè)級(jí)設(shè)備完成。本文提出了一種創(chuàng)新性的簡(jiǎn)易標(biāo)定方法,利用價(jià)格低廉且操作簡(jiǎn)易的激光位移傳感器對(duì)立方體標(biāo)定物外部信息進(jìn)行間接測(cè)量,利用多個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行多平面擬合和多平面角度約束,通過(guò)已建立的參數(shù)誤差模型優(yōu)化求解關(guān)節(jié)參數(shù)誤差。

其實(shí)驗(yàn)方案如圖2所示。激光位移傳感器安裝于機(jī)械臂末端,機(jī)械臂操作空間放置兩兩垂直的立方標(biāo)定板。激光位移傳感器發(fā)射出激光束照射在標(biāo)定板上,通過(guò)變換機(jī)械臂位姿,采集3塊標(biāo)定板平面上多點(diǎn)測(cè)量數(shù)據(jù)。

圖2 實(shí)驗(yàn)方案Fig.2 Experimental scheme

具體測(cè)量方案原理如圖3所示,激光位移傳感器的末端參考點(diǎn)到標(biāo)定板平面測(cè)量點(diǎn)之間的距離用L描述,即為激光位移傳感器讀數(shù)。機(jī)器人末端坐標(biāo)系為Ofxfyfzf,機(jī)械臂基坐標(biāo)系至末端坐標(biāo)系的位姿變換矩陣為,激光位移傳感器末端參考點(diǎn)在Ofxfyfzf下坐標(biāo)向量為p(x0,y0,z0),單位方向向量為n(nx,ny,nz)。

圖3 參數(shù)標(biāo)定原理Fig.3 Schematic diagram of parameter calibration

根據(jù)激光位移傳感器的讀數(shù),可以得到3個(gè)平面上的測(cè)量點(diǎn)相對(duì)于激光位移傳感器坐標(biāo)系的位置信息。通過(guò)最小化測(cè)量點(diǎn)在機(jī)械臂基坐標(biāo)系下3個(gè)平面約束和3個(gè)平面之間角度約束的誤差,可求得機(jī)器人DH優(yōu)化參數(shù)。

2.2 標(biāo)定方法

由圖3可知,標(biāo)定板上的測(cè)量點(diǎn)在末端坐標(biāo)系Ofxfyfzf下的坐標(biāo)q可描述為

式中:q=(x,y,z)T,則根據(jù)機(jī)器人末端坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系之間的齊次變換關(guān)系可得

由于在實(shí)際的測(cè)量過(guò)程當(dāng)中,激光位移傳感器實(shí)際安裝也存在誤差,即L與n值并不完全準(zhǔn)確,為此定義實(shí)際安裝參數(shù)為L(zhǎng)+ΔL和n+Δn。綜合考慮表2中24個(gè)DH誤差參數(shù)及ΔL、Δn,系統(tǒng)需要修正的總誤差參數(shù)個(gè)數(shù)為28。實(shí)際測(cè)量點(diǎn)q*的齊次坐標(biāo)可表示為

式中:ki、bi、ci為平面方程系數(shù)。

對(duì)于3個(gè)平面的Ni個(gè)點(diǎn)分別采用最小二乘法進(jìn)行平面方程擬合,即優(yōu)化平面方程系數(shù)使式(8)中S為最小:

記所得最優(yōu)系數(shù)為A*、B*、C*,則可得式(7)中的平面方程系數(shù)為

計(jì)算測(cè)量點(diǎn)到擬合平面誤差為

為了保證平面擬合度準(zhǔn)確性標(biāo)定點(diǎn)平面約束給出的誤差可定義為

另外,3個(gè)擬合平面兩兩之間的夾角余弦值為

同時(shí)考慮標(biāo)定板平面及標(biāo)定板間角度約束,建立關(guān)于激光位移傳感器參數(shù)標(biāo)定的誤差函數(shù),如式(14)所示,其變量包括24個(gè)DH誤差參數(shù)及4個(gè)激光位移器安裝誤差參數(shù)。

式中:μ為平面和角度影響因素的權(quán)重參數(shù);誤差e為標(biāo)定參數(shù)的非線性函數(shù),采用能夠解決對(duì)多約束和多變量結(jié)合的非線性問(wèn)題的全局最優(yōu)解求解的算法OQNLP[21]進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化并調(diào)整最優(yōu)值,即可得到參數(shù)標(biāo)定結(jié)果。

3 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 基于激光位移傳感器的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

標(biāo)定實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景如圖4所示,標(biāo)定實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)主要由六自由度機(jī)械臂、基恩士LK-H080型號(hào)激光位移傳感器和標(biāo)定板組成。該型號(hào)激光傳感器測(cè)量量程為62～98mm,絕對(duì)定位精度為0.01mm,重復(fù)定位精度可達(dá)0.3μm。

圖4 激光位移傳感器標(biāo)定實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景Fig.4 Experimental scene of laser displacement sensor calibration

為確定其安裝夾角,利用了光學(xué)動(dòng)作捕捉系統(tǒng)對(duì)3塊標(biāo)定板上放置的反光標(biāo)志點(diǎn)進(jìn)行三維空間精確捕捉,如圖5所示。該系統(tǒng)鏡頭像素為400萬(wàn),三維定位精度為±0.1mm。通過(guò)擬合每個(gè)平面求出標(biāo)定板間夾角測(cè)量值為89.94°,為89.97°,β為90.2°。已知3塊標(biāo)定板平面加工精度為0.1mm。則根據(jù)當(dāng)前標(biāo)定板的尺寸其角度誤差為0.15°。

圖5 標(biāo)定板夾角求解實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景Fig.5 Experimental scene of calibration plate angle solution

基于激光位移傳感器標(biāo)定實(shí)驗(yàn)流程主要如下:

1)將激光位移傳感器固定在機(jī)械臂末端,將標(biāo)定板固定于末端運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)并保證其平面位置處于激光位移傳感器測(cè)量量程內(nèi)。

2)開(kāi)啟激光位移傳感器,將激光點(diǎn)照射于標(biāo)定板1上,記錄激光位移傳感器讀數(shù)值Li和機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)連桿夾角值θi。調(diào)整機(jī)械臂位姿,記錄標(biāo)定板1不同位置的測(cè)量值,盡量使測(cè)量激光點(diǎn)在標(biāo)定板上均勻分布。對(duì)標(biāo)定板2與3重復(fù)此步驟。

3)將數(shù)據(jù)值導(dǎo)入標(biāo)定誤差模型中,利用非線性優(yōu)化算法最小化目標(biāo)函數(shù)式(14),求解誤差參數(shù)最優(yōu)值。

3.2 基于激光跟蹤儀的對(duì)照標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

作為對(duì)比驗(yàn)證,本文進(jìn)行了激光跟蹤儀的參數(shù)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中使用的設(shè)備為美國(guó)API公司生產(chǎn)的T3型激光跟蹤儀,激光跟蹤距離為0～60m,靜態(tài)測(cè)量精度為5μm/m,動(dòng)態(tài)測(cè)量精度為110μm/m。使用激光跟蹤儀可測(cè)得機(jī)械臂末端相對(duì)于基坐標(biāo)系{B}的三維坐標(biāo),詳細(xì)過(guò)程請(qǐng)參照文獻(xiàn)[22]。建立目標(biāo)函數(shù)F為末端三維坐標(biāo)的計(jì)算值與測(cè)量值誤差和,如式(15)所示,其變量為24個(gè)DH誤差參數(shù)。同樣利用非線性數(shù)值優(yōu)化得出使目標(biāo)函數(shù)模型誤差最小的DH誤差參數(shù),即可得到標(biāo)定結(jié)果。

式中:xi、yi、zi為第i個(gè)點(diǎn)的計(jì)算坐標(biāo);x′i、y′i、z′i為其測(cè)量坐標(biāo);Mi為測(cè)量總點(diǎn)數(shù)。

基于激光跟蹤儀的機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景如圖6所示。標(biāo)定實(shí)驗(yàn)流程主要如下:

圖6 激光跟蹤儀標(biāo)定實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景Fig.6 Experimental scene of laser tracker calibration

1)建立機(jī)器人基座坐標(biāo)系,將激光跟蹤儀測(cè)量坐標(biāo)系更改為機(jī)器人坐標(biāo)系。

2)轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)器人各關(guān)節(jié),記錄每個(gè)時(shí)刻的機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)連桿夾角值θi,并記錄每個(gè)時(shí)刻激光跟蹤儀讀數(shù)x′i、z′i。

3)將數(shù)據(jù)值導(dǎo)入標(biāo)定誤差模型中,利用非線性優(yōu)化算法最小化目標(biāo)函數(shù)求解參數(shù)標(biāo)定最優(yōu)值。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

完全未校核的機(jī)器人其名義參數(shù)值常大大偏離實(shí)際值,因此,通常需要對(duì)其進(jìn)行多次迭代以減少初始偏差對(duì)標(biāo)定優(yōu)化精度的影響[23]。在本文實(shí)驗(yàn)工作中,對(duì)標(biāo)定過(guò)程進(jìn)行了二次迭代。本節(jié)主要討論后一次的精準(zhǔn)校正過(guò)程和結(jié)果。

由2.2節(jié)可知,基于激光位移傳感器的參數(shù)標(biāo)定實(shí)驗(yàn),評(píng)估目標(biāo)函數(shù)誤差e求解精度的指標(biāo)有2個(gè):①激光位移傳感器測(cè)量點(diǎn)到擬合平面的平均距離誤差Δe1;②擬合所得3個(gè)平面與實(shí)際標(biāo)定板平面平均角度誤差Δe2。權(quán)重μ取值一定程度上影響參數(shù)優(yōu)化精度,在不同的μ值下,優(yōu)化后平面誤差及角度誤差如表3所示。μ值越小,越傾向于優(yōu)化角度誤差。優(yōu)選結(jié)果應(yīng)考慮實(shí)驗(yàn)條件下作為合理的誤差分配參考。如3.1節(jié)所述,本實(shí)驗(yàn)條件標(biāo)定板平面度誤差為0.1mm,角度測(cè)量誤差為0.15°。據(jù)此應(yīng)選取μ為0.07時(shí)的標(biāo)定結(jié)果,得到e1=1.08mm,e2=0.67°,分別為標(biāo)定物自身誤差的10倍和4.5倍,為有效標(biāo)定誤差。相應(yīng)的DH參數(shù)標(biāo)定結(jié)果如表4所示。

表3 權(quán)重μ取值Table3 Values of weight μ

表4 DH參數(shù)變化值Table4 Values of DH parameter change

繪制相應(yīng)的擬合平面,如圖7所示,紅點(diǎn)為根據(jù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行DH參數(shù)補(bǔ)償后的激光位移傳感器測(cè)量點(diǎn)?？梢钥闯?標(biāo)定補(bǔ)償后的三維點(diǎn)基本位于標(biāo)定平面上,且擬合所得3個(gè)平面基本兩兩垂直,符合實(shí)驗(yàn)預(yù)期。

圖7 擬合平面結(jié)果Fig.7 Graph of fitted plane

基于激光跟蹤儀的參數(shù)標(biāo)定對(duì)照實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。使用經(jīng)過(guò)標(biāo)定的參數(shù)后,末端點(diǎn)三維位置基本與跟蹤儀測(cè)量量吻合,其平均誤差為1.01mm。

圖8 基于跟蹤儀標(biāo)定后計(jì)算坐標(biāo)和測(cè)量坐標(biāo)對(duì)比Fig.8 Comparison of calculated coordinates and measurement coordinates after tracker-based calibration

3.4 誤差分析與討論

本文從2個(gè)方面對(duì)標(biāo)定誤差進(jìn)行討論:①基于激光位移傳感器的標(biāo)定與激光跟蹤儀標(biāo)定精度的比較;②基于激光位移傳感器的標(biāo)定誤差與系統(tǒng)重復(fù)定位精度的比較。

激光位移傳感器與激光跟蹤儀在各自53組標(biāo)定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的距離誤差分布情況如圖9所示,其誤差數(shù)據(jù)對(duì)比如表5所示。從圖9和表5可知,使用激光跟蹤儀平均誤差為1.01mm,標(biāo)定后定位誤差減小了72.48%;激光位移傳感器平均誤差為1.08mm,標(biāo)定后誤差減小了71.72%。兩者達(dá)到了相似的標(biāo)定結(jié)果。若需進(jìn)一步提升使用激光位移傳感器的標(biāo)定精度,可提高標(biāo)定板的加工平面度與平面夾角測(cè)量精度以增加標(biāo)準(zhǔn)參照物的尺寸精度。

圖9 標(biāo)定誤差對(duì)比Fig.9 Comparison of calibration errors

表5 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)誤差值對(duì)比Table5 Comparison of error values of calibration experiment

另外,為了衡量最終標(biāo)定誤差范圍相對(duì)于實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)自身精度的合理性,對(duì)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象的六自由度機(jī)械臂系統(tǒng)的重復(fù)定位誤差進(jìn)行了測(cè)量,得到平均重復(fù)定位誤差為0.74mm。機(jī)器人最終標(biāo)定誤差主要由其固有重復(fù)定位誤差和標(biāo)定后殘余的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差兩部分組成。由表5標(biāo)定結(jié)果可知,由殘余參數(shù)誤差所致的定位誤差僅占系統(tǒng)絕對(duì)定位總誤差的31.5%,為系統(tǒng)重復(fù)定位誤差的50%。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)傳統(tǒng)機(jī)械臂參數(shù)標(biāo)定方法,設(shè)備昂貴、技術(shù)實(shí)現(xiàn)成本高的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一種低成本、易操作的利用機(jī)械臂末端激光位移計(jì)作為測(cè)量手段的機(jī)械臂參數(shù)標(biāo)定方法。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,得到如下結(jié)論:

1)設(shè)計(jì)了立方體面作為外參標(biāo)定物,利用非接觸式激光測(cè)量手段,相對(duì)接觸式測(cè)量更為便捷安全,相對(duì)視覺(jué)測(cè)量更為穩(wěn)定簡(jiǎn)易。

2)通過(guò)構(gòu)建立方體平面約束及平面間角度約束設(shè)計(jì)誤差函數(shù),利用非線性優(yōu)化算法最小化目標(biāo)函數(shù)求解可求得誤差參數(shù)最優(yōu)值。

3)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文提出的方法能夠達(dá)到與使用昂貴的激光跟蹤儀相比擬的標(biāo)定精度,達(dá)到良好的標(biāo)定效果。