基于CAPSO-RBF的磁懸浮系統(tǒng)控制研究

賈涌檳，李丹菁

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，上海 201418)

0 前言

磁懸浮技術(shù)是讓被控對(duì)象保持在一個(gè)懸空且相對(duì)靜止的狀態(tài)下，處在這種狀態(tài)下的被控對(duì)象沒(méi)有與其他物體發(fā)生接觸，所以就避免了因摩擦造成的損耗，很大程度上降低了維護(hù)成本。因此，無(wú)論在國(guó)防、制造業(yè)、交通，還是其他各個(gè)領(lǐng)域，磁懸浮技術(shù)都有著很大的發(fā)展空間。

磁懸浮球系統(tǒng)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、易于實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)成為磁懸浮技術(shù)領(lǐng)域廣泛的研究實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，但磁懸浮系統(tǒng)由于非線(xiàn)性和滯后性等特性使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性較差，易受外界因素干擾。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)可靠并且高效的控制器使磁懸浮系統(tǒng)有較好的穩(wěn)定性和快速性是該領(lǐng)域研究重點(diǎn)。

磁懸浮球系統(tǒng)控制策略主要分為傳統(tǒng)控制和智能控制，傳統(tǒng)控制主要有PID控制、模糊控制、自適應(yīng)控制以及混合控制等[1-2]，其本質(zhì)都要建立控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，然后設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)形式的控制器以達(dá)到控制目的；而智能控制是利用仿生算法或者模擬人腦的邏輯思維模式去控制系統(tǒng)，主要采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，而不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各有利弊[3]。在徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究方面，文獻(xiàn)[4]用RBF改進(jìn)了在線(xiàn)辨識(shí)的自適應(yīng)PID控制算法；文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合模糊滑?？刂葡到y(tǒng)，該系統(tǒng)具有速度跟蹤性能與魯棒性；文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制器。在粒子群算法優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究方面，文獻(xiàn)[7]基于粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization，PSO)結(jié)合梯度下降算法優(yōu)化RBF磁浮列車(chē)溫度補(bǔ)償模型參數(shù)；文獻(xiàn)[8]證明了云自適應(yīng)算法能有效優(yōu)化RBF網(wǎng)絡(luò)；文獻(xiàn)[9-10]在圖像領(lǐng)域，通過(guò)云自適應(yīng)粒子群優(yōu)化(Cloud Adaptive Particle Swarm Optimization，CAPSO)算法減少了運(yùn)算量，提高了搜索精度；文獻(xiàn)[11]在電力作業(yè)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)勢(shì)感知上采用了云自適應(yīng)粒子群優(yōu)化脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法。在控制領(lǐng)域中，文獻(xiàn)[12-13]采用改進(jìn)的CAPSO算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；文獻(xiàn)[14]設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法用于修正炮彈分?jǐn)?shù)階控制器。采用云自適應(yīng)粒子群算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器設(shè)計(jì)方面缺乏理論依據(jù)，并且磁懸浮球系統(tǒng)具有非線(xiàn)性特點(diǎn)，因此，如何設(shè)計(jì)利用云適應(yīng)粒子群算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器成為一個(gè)難題。

本文作者針對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)，設(shè)計(jì)云自適應(yīng)粒子群優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器。該方法采用一個(gè)PD控制器作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的“教師”控制器，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對(duì)整定后的PD控制器的輸出進(jìn)行學(xué)習(xí)，再結(jié)合云自適應(yīng)粒子群算法優(yōu)化RBF網(wǎng)絡(luò)3個(gè)參數(shù)以對(duì)控制精度進(jìn)行補(bǔ)償，達(dá)到由CAPSO-RBF控制器主導(dǎo)控制效果，使被控對(duì)象實(shí)現(xiàn)更快速、準(zhǔn)確、穩(wěn)定懸浮的目的。

1 磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 磁懸浮系統(tǒng)的硬件組成與參數(shù)

實(shí)驗(yàn)裝置分為裝有數(shù)據(jù)采集卡的PC機(jī)和磁懸浮球裝置兩個(gè)部分。其中，磁懸浮球裝置包括電磁鐵、光電位置傳感器、電源、功率放大器、補(bǔ)償器、鋼球、LED等部件，其系統(tǒng)硬件實(shí)體如圖1所示。

圖1 磁懸浮球裝置系統(tǒng)硬件實(shí)體

磁懸浮球裝置參數(shù)的具體數(shù)值如表1所示。

表1 磁懸浮球裝置參數(shù)

1.2 系統(tǒng)模型建立

建立系統(tǒng)的物理模型需要忽略一些影響不大的干擾因素并考慮系統(tǒng)物理變量之間的實(shí)際問(wèn)題，再進(jìn)行理想化假設(shè)以便建立出切合實(shí)際的物理模型。假設(shè)：磁通全部穿過(guò)外部；磁通分布均勻；氣隙磁阻抗相對(duì)匯合；鋼球所受的電磁力集中在質(zhì)心。

假設(shè)只存在兩個(gè)力，一個(gè)是電磁鐵的吸引力，另一個(gè)是被控對(duì)象的重力，其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

其中：x為鋼球重心離磁鐵下端表面的距離，m；m為鋼球質(zhì)量，kg；F(i,x)為電流經(jīng)過(guò)線(xiàn)圈產(chǎn)生的電磁力，N。

根據(jù)基爾霍夫定律、能量守恒定理，被控對(duì)象受到電磁鐵的力為

(2)

其中：μ0=4×10-7H/m，μ0為空氣磁導(dǎo)率；KfA為小球截面的導(dǎo)磁面積，m2；N為電磁鐵線(xiàn)圈匝數(shù)；x為電磁鐵磁極表面到被控對(duì)象重心的間距，m；i為電磁鐵繞組中的瞬時(shí)電流，A。因μ0、A、N為常數(shù)，故可定義一個(gè)常系數(shù)K:

(3)

由式(2)可以看出磁懸浮系統(tǒng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)。

在研究磁懸浮的一些特性后，因?yàn)榇艖腋∠到y(tǒng)的控制目的是讓被控對(duì)象在一定范圍內(nèi)受力平衡，所以可以將其非線(xiàn)性部分利用小偏差法進(jìn)行線(xiàn)性化處理。

又因?yàn)榇艖腋∠到y(tǒng)的控制屬于彈性控制，可以在被控對(duì)象保持穩(wěn)定懸浮的點(diǎn)(i0,x0)處對(duì)其進(jìn)行線(xiàn)性化處理。將式(2)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并保留前幾項(xiàng)得：

F(i,x)=F(i0,x0)+Fi(i0,x0)+

Fx(i0,x0)(x-x0)

(4)

其中:

(5)

故完整描述此系統(tǒng)的方程如下:

(6)

其中：Ki是鋼球穩(wěn)定點(diǎn)處電磁引力F對(duì)電流i的剛度;Kx是穩(wěn)定點(diǎn)處電磁引力F對(duì)空氣間隙x的剛度。

設(shè)此實(shí)驗(yàn)裝置的輸入為功放的輸入U(xiǎn)in，系統(tǒng)輸出為Uout，則系統(tǒng)方程式(6)經(jīng)過(guò)拉氏變換后代入邊界方程得開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：

(7)

其中：Ks為光位置傳感器的增益；Ka為功率放大器的增益。磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(8)

將實(shí)際參數(shù)代入式(8)后系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(9)

2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

2.1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由三層組成，如圖2所示，用“基”構(gòu)成隱含層，輸入不需要通過(guò)權(quán)值連接可直接映射到隱含層。當(dāng)RBF的中心點(diǎn)確定后映射關(guān)系隨之確定。輸出是隱含層單元輸出的線(xiàn)性加權(quán)和，所以隱含層到輸出層的映射是線(xiàn)性的，此處的權(quán)即為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。利用核函數(shù)的思想，網(wǎng)絡(luò)由輸入到輸出的映射是非線(xiàn)性的，而網(wǎng)絡(luò)輸出與網(wǎng)絡(luò)權(quán)值是線(xiàn)性關(guān)系，從而使網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)速率加快并且避免落入局部最優(yōu)問(wèn)題。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出

設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸入x的維數(shù)為M，輸出y的維數(shù)為L(zhǎng)，輸入樣本對(duì)的長(zhǎng)度為N。

因?yàn)镽BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層到隱含層的映射x→ui(x)是非線(xiàn)性的，使用高斯函數(shù)為激活函數(shù)的RBF網(wǎng)絡(luò)隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)輸出可表示為

(10)

式中：ui為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)的輸出;δi為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù);隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)量為q，x=[x1,x2,… ,xM]為輸入樣本;ci為對(duì)應(yīng)隱含節(jié)點(diǎn)的高斯中心向量,c=[ci1,ci2,… ,ciM]T，節(jié)點(diǎn)輸出的范圍為(0,1)，當(dāng)x=ci時(shí)ui=1，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層到輸出層ui(x)→yk的線(xiàn)性映射即為

(11)

2.3 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制

采用一個(gè)PD控制器作為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的“教師”。首先讓RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對(duì)PD控制器的輸出進(jìn)行學(xué)習(xí)，再結(jié)合CAPSO優(yōu)化RBF網(wǎng)絡(luò)，最后達(dá)到由CAPSO-RBF控制器主導(dǎo)控制的效果。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 基于CARBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制的磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖3中，r(k)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，高斯函數(shù)為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的激活函數(shù)。經(jīng)調(diào)試，隱含層采用4個(gè)隱含單元，設(shè)CAPSO-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的輸出為un(k)。隱含層隱含單元的輸出為hi：

(12)

其網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值為wi(k)(i=1,2,3,4)，則RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為

(13)

控制率為

u(k)=up(k)+un(k)

(14)

其中:w=[w1,w2,w3,w4]T，需要學(xué)習(xí)的參數(shù)有3個(gè)：中心向量c，標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)σ，網(wǎng)絡(luò)權(quán)值w。

經(jīng)整定,PD控制器的控制參數(shù)取kp=20、kd=0.28時(shí),能使磁懸浮球懸浮。

3 基于云自適應(yīng)的粒子群算法RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

3.1 粒子群算法

粒子群算法是模擬鳥(niǎo)群捕食而發(fā)展起來(lái)的基于群體協(xié)作隨機(jī)搜索的算法，用于解決優(yōu)化問(wèn)題，每個(gè)需優(yōu)化問(wèn)題的解相當(dāng)于搜索空間里的一只鳥(niǎo)，稱(chēng)為“粒子”。而所有的粒子都有一個(gè)被優(yōu)化函數(shù)所定義的適應(yīng)度，適應(yīng)度越大越好，并且每個(gè)粒子都有一個(gè)速度來(lái)決定它們的方向和距離，再通過(guò)迭代更新自己的位置。

(15)

其中:d表示向量的維數(shù);ω表示慣性權(quán)重;k表示迭代次數(shù)；c1和c2表示學(xué)習(xí)因子。

采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)RBF控制器的中心向量、標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)、網(wǎng)絡(luò)權(quán)值3個(gè)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，進(jìn)一步提高RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的整體性能。

3.2 云自適應(yīng)粒子群算法

傳統(tǒng)的粒子群搜索算法中的慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子參數(shù)設(shè)置更新簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化速度減慢、尋優(yōu)精度降低，更或者使算法陷入局部最優(yōu)。本文作者利用動(dòng)態(tài)自適應(yīng)思想優(yōu)化慣性權(quán)重、學(xué)習(xí)因子，以解決以上問(wèn)題。

(16)

(17)

學(xué)習(xí)因子c1、c2為改變粒子群算法中粒子之間信息交換的能力，進(jìn)行動(dòng)態(tài)自適應(yīng)調(diào)節(jié),可提高算法尋優(yōu)速度。

c1=c1max-k(c1max-c1min)/K

(18)

c2=c2max-k(c2max-c2min)/K

(19)

其中:[cmin，cmax]為學(xué)習(xí)因子c的取值范圍;K為迭代總次數(shù)。

在尋優(yōu)前期要保證尋優(yōu)速度，設(shè)定c1>c2；到尋優(yōu)后期,算法接近收斂,設(shè)定c1

采用云自適應(yīng)算法優(yōu)化的粒子群算法在全局尋優(yōu)能力上得到提升，收斂速度更快且避免了陷入早熟收斂和局部最優(yōu)所導(dǎo)致的精度下降問(wèn)題。

3.3 云自適應(yīng)粒子群算法優(yōu)化RBF控制器

傳統(tǒng)的徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是采用聚類(lèi)算法得到基函數(shù)，然后通過(guò)最小二乘法得到連接權(quán)重，這種方法導(dǎo)致前兩個(gè)參數(shù)和連接權(quán)重失去內(nèi)在聯(lián)系。為解決這類(lèi)問(wèn)題，本文作者采用云自適應(yīng)粒子群算法對(duì)學(xué)習(xí)PD控制器輸入后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的中心向量、標(biāo)準(zhǔn)化常數(shù)、連接權(quán)重3個(gè)參數(shù)進(jìn)行編碼歸一優(yōu)化。

設(shè)粒子種群規(guī)模為20，迭代次數(shù)為250次。其中，適應(yīng)度函數(shù)控制RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)精度，把每個(gè)粒子個(gè)體誤差作為適應(yīng)度函數(shù)f(x)，計(jì)算公式如下：

(20)

基于云自適應(yīng)粒子群算法優(yōu)化(CAPSO)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器設(shè)計(jì)流程如圖4所示。

圖4 設(shè)計(jì)流程

4 設(shè)計(jì)仿真

在仿真實(shí)驗(yàn)中選擇3種輸入信號(hào)測(cè)試系統(tǒng)的信號(hào)跟蹤性能，分別為8 mm階躍輸入、周期為1 s峰值為8 mm的方波、周期為1 s峰值為8 mm的正弦波。PSO-RBF與CAPSO-RBF 2種控制算法的測(cè)試結(jié)果如下：

(1)8 mm階躍輸入

圖5所示為2種方法的階躍響應(yīng)結(jié)果?？芍杭尤肓嗽谱赃m應(yīng)粒子群算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器的磁懸浮控制系統(tǒng)響應(yīng)速度非?？?，迭代100次時(shí)誤差穩(wěn)定在7%。并且在0.15 s左右就達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)，在快速性上比PSO-RBF快了2倍，并且沒(méi)有超調(diào)。

圖5 階躍響應(yīng)結(jié)果與收斂結(jié)果

(2)周期為1 s峰值為8 mm的方波

圖6所示為2種方法的方波輸入響應(yīng)結(jié)果。可知：云自適應(yīng)粒子群算法控制的系統(tǒng)在對(duì)方波信號(hào)的跟蹤方面也表現(xiàn)得十分出色，當(dāng)方波從+8 mm階躍到-8 mm時(shí)無(wú)超調(diào)量，穩(wěn)定時(shí)間也縮短為0.6 s，迭代60次時(shí)誤差已經(jīng)小于7%，但準(zhǔn)確性指標(biāo)稍欠缺。

圖6 方波輸入響應(yīng)與收斂結(jié)果

(3)周期為1 s峰值為8 mm的正弦波

圖7所示為2種方法的正弦波輸入響應(yīng)結(jié)果?？芍涸谱赃m應(yīng)粒子群算法控制的系統(tǒng)對(duì)正弦波輸入的響應(yīng)較好，輸出完全跟隨輸入，使得系統(tǒng)保持在穩(wěn)定狀態(tài)。

圖7 正弦波輸入響應(yīng)與收斂迭代次數(shù)

云自適應(yīng)粒子群算法結(jié)合RBF網(wǎng)絡(luò)的梯度下降算法全局收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)，能夠有效提高系統(tǒng)控制效果。對(duì)比3種算法在相對(duì)穩(wěn)定下的控制性能，結(jié)果如表2所示。可知：加入云自適應(yīng)算法后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制效果最好。

表2 3種算法控制性能比較

5 結(jié)論

針對(duì)磁懸浮球系統(tǒng)，本文作者設(shè)計(jì)了基于云自適應(yīng)粒子群算法優(yōu)化的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制器。其中，粒子群算法對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)的3個(gè)參數(shù)進(jìn)行了量綱一化，云自適應(yīng)算法改善了粒子群算法的早熟問(wèn)題。采用原有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)梯度下降法、粒子群算法、云自適應(yīng)粒子群算法進(jìn)行訓(xùn)練仿真并與所提方法進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：加入2種智能算法耦合的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器憑借優(yōu)秀的學(xué)習(xí)與自適應(yīng)能力，使得磁懸浮球系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能上有較大的提升。