理清數(shù)學(xué)思想方法，巧學(xué)“代數(shù)式”

文／毛倩倩

一、整體思想

整體思想指的是對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，從宏觀上理解和認(rèn)識(shí)問題；通過全面地觀察和思考，挖掘已有元素在整體結(jié)構(gòu)中的地位與作用，從而找到解決問題的辦法。

例1已知a2-2a=1，求2-3a2+6a的值。

【解析】若先求出字母a的值，再代入求值，比較復(fù)雜，我們以現(xiàn)有的知識(shí)也不具備應(yīng)用這種解法的能力。若能從全局出發(fā)，考慮條件與結(jié)論的整體配合，不難發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式a2-2a與-3a2+6a存在倍數(shù)關(guān)系。

解：由乘法分配律，

得2-3a2+6a=2-3·（a2-2a）。

將a2-2a=1代入，得

2-3a2+6a=2-3×1=-1。

例2已知a2-ab=4，ab-b2=-3，求a2-b2和a2-2ab+b2的值。

【解析】從整體結(jié)構(gòu)考慮，將a2-ab、abb2相加，可以抵消ab，得到代數(shù)式a2-b2；將兩個(gè)代數(shù)式整體相減，則可得到代數(shù)式a2-2ab+b2。

解：因?yàn)閍2-b2=a2-ab+ab-b2=（a2-ab）+（ab-b2），所以將a2-ab=4，ab-b2=-3代入，得a2-b2=（a2-ab）+（ab-b2）=4+（-3）=1。

因?yàn)閍2-2ab+b2=a2-ab-ab+b2=（a2-ab）-（ab-b2），所以將a2-ab=4，ab-b2=-3代入，得a2-2ab+b2=（a2-ab）-（ab-b2）=4-（-3）=7。

二、數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，將數(shù)與形兩種信息按解決策略的需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換，發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)。

例3有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖1所示，請(qǐng)化簡|a-b|+|c-a|-|b-c|。

圖1

例4如圖2，數(shù)軸上4個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)分別為a、b、c、d。若 |a-c|=9，|a-d|=11，|b-d|=7，則 |b-c|的值為________。

圖2

【解析】根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置，判斷它們的大小關(guān)系，從而去絕對(duì)值化簡。

解：根據(jù)數(shù)軸可得a＜0＜b＜c，

所以a-b＜0，c-a＞0，b-c＜0。

所以|a-b|+|c-a|-|b-c|

=b-a+c-a-（c-b）

=b-a+c-a-c+b=2b-2a。

【解析】結(jié)合數(shù)軸，將條件與結(jié)論中出現(xiàn)的“兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值”賦予幾何意義，將其看作兩點(diǎn)之間的距離，即線段的長度，由線段的數(shù)量關(guān)系可解決問題。

解：由圖可知，|a -c|=9指的是表示a的點(diǎn)與表示c的點(diǎn)之間的距離是9，|a -d|=11指的是表示a的點(diǎn)與表示d的點(diǎn)之間的距離是11，所以，表示c的點(diǎn)與表示d的點(diǎn)之間的距離是 |c-d|=2。又因?yàn)?|b-d|=7指的是表示b的點(diǎn)與表示d的點(diǎn)之間的距離是7，所以，表示b的點(diǎn)與表示c的點(diǎn)之間的距離是 | b-c|=5。

三、分類討論

我們研究的問題有時(shí)包含很多種可能，不能一概而論。有的是問題的結(jié)論不是唯一確定的，有的是在解題中一些算式不能以統(tǒng)一的形式出現(xiàn)，還有的是字母的取值會(huì)影響結(jié)果等，這就需要根據(jù)問題的特點(diǎn)和要求，將問題分成若干類，轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小問題來解決。

例5已知a、b是有理數(shù)，試比較代數(shù)式a+b與a-b的大小。

【解析】這里a、b的取值會(huì)影響兩個(gè)代數(shù)式的大小比較，所以需要進(jìn)行分類討論。觀察兩個(gè)代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)都有相同的部分“a”，比較a+b與a-b的大小，就是比較b與-b的大小。

解：根據(jù)“作差法”可得，（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。

當(dāng)b＞0時(shí)，2b＞0，則a+b＞a-b；

當(dāng)b=0時(shí)，2b=0，則a+b=a-b；

當(dāng)b＜0時(shí)，2b＜0，則a+b＜a-b。

例6（1）嘗試：比較下列各式的大小關(guān)系。（用“＞”“＜”“=”“≥”或“≤”填空）。

（2）歸納：觀察上面的數(shù)量關(guān)系，可以得到：|a|+|b |________|a+b（|填“＞”“＜”“=”“≥”或“≤”）。

（3）應(yīng)用：利用上面得到的結(jié)論解決問題：若|m|+|n|=10，|m+n|=4，則m=______。

（4）拓展：當(dāng)|a|+|b|+|c|＞| a+b+c|成立時(shí)，a、b、c應(yīng)滿足的條件是________。

①1個(gè)正數(shù)，2個(gè)負(fù)數(shù)；②2個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)；③3個(gè)正數(shù)；④3個(gè)負(fù)數(shù)；⑤1個(gè)0，2個(gè)正數(shù)；⑥1個(gè)0，2個(gè)負(fù)數(shù)；⑦1個(gè)0，1個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)。

【解析】問題（1）可以通過計(jì)算做出判斷，①②③④分別填＞、＞、=、=。問題（2）可依據(jù)（1）中列舉的具體例子，通過不完全歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律|a|+|b|≥| a+b（|a、b同號(hào)或至少一個(gè)為0時(shí)取等號(hào)）。問題（3）可根據(jù)問題（2）中的結(jié)論予以解決，由|m|+|n|＞| m+n|可知m、n異號(hào)，接下來進(jìn)行分類討論：當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)，m=3或7；當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)，m=-3或-7。問題（4）是問題（2）的拓展，由|a|+|b|+|c|＞| a+b+c|可知a、b、c的符號(hào)需要分為多種情況討論，①②⑦都滿足。