文/許紫珩
例1如圖1,用一個“T”形框在2022年11月的日歷上可以框出5個數。例如,圖中兩個“T”形框中的5個數的和分別是31和92。如果“T”形框在圖1中框出的5個數的和是91,那么這5個數中最大的數是 。
圖1
【解析】由圖1可知,“T”形框分兩種情況。設“T”形框中最小的數為x,用含x的代數式分別表示其余的數,根據圖中框出的5個數的和是91,列出方程,求解即可。
【點評】本題的主要思路是借助整式的加減,探究和表示實際問題中的數量關系。在整式的學習之后,同學們對整式有了基本認識,但對于抽象字母的理解可能還停留在概念和加減運算上。希望同學們在后續(xù)學習中注重加強理論與生活的聯(lián)系,借助“月歷求和”等情景以及學過的知識,慢慢體會從特殊到一般的探究過程。
例2已知是一個三位數,其中a+b+c能夠被9整除,試說明,這個三位數能夠被9整除。
【解析】此題考查了列代數式和整式的加減。將“是一個三位數”“a+b+c被9整除”通過代數式表示出來是第一個難點;運用整體思想,將代數式變形成能被9整除的形式,是本題的第二個難點。
解:由題可知,這個三位數可表示為100a+10b+c。
∵a、b、c的和能被9整除,
∴可設a+b+c=9k,其中k為正整數。
∴100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=99a+9b+9k=9(11a+b+k)。
∵a、b、k均為正整數,
∴11a+b+k為正整數。
∴100a+10b+c能被9整除。
∴這個三位數能夠被9整除。
【點評】用字母a表示百位上的數字,字母b表示十位上的數字,字母c表示個位上的數字,合理運用“用字母表示數”,式子100a+10b+c便具有三位數的一般特點。將多項式進行某種變形,通過整體變換進行求解是該種類型常見的解題思路,即從條件出發(fā),整體考慮,逆向思考,將待求解的式子通過法則湊成已知條件的形式,尋找已知條件和待求解式子之間的關聯(lián),然后進行整體變換。
例3已知a<b,試比較的大小。
【解析】代數式的大小比較,通??梢杂米鞑罘ㄟM行代數推理。而本題中,代數式所表示的數比較特殊,我們也可以通過數形結合的思想,將其直觀地在數軸上表示出來,即可解決問題。
解法二:記a、b在數軸上表示的點分別為A、B。
∵a<b,
∴A、B兩點在數軸上的表示如圖2所示。
圖2
設點C表示的數為則點C是線段AB中點,在數軸上的表示如圖3所示。
圖3
∴點C在點A右邊,即
【點評】我們在利用“作差法”解決這類問題的時候,還可以對代數式具有的幾何意義進行一些思考。雖然我們已經能夠初步理解符號的意義,也能對周圍的事物做出一些較為簡單的概括,但如果我們能夠通過幾何直觀的方式,將代數式與數軸等幾何圖案進行結合,那么我們還可以更為深刻地、直觀地理解一些代數式相關的問題。