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    螞蟻爬行比賽

    2022-11-29 13:36:52文/李
    初中生世界 2022年42期
    關(guān)鍵詞:水杯周長(zhǎng)矩形

    文/李 娜

    在螞蟻王國(guó)舉辦的一次爬行比賽中,5只螞蟻分別從1——5 號(hào)5 個(gè)不同的圓柱體水杯底部點(diǎn)A出發(fā),沿著側(cè)面爬行到指定的點(diǎn)B,因?yàn)槟抢镉忻牢兜姆涿?。假設(shè)螞蟻可以聽(tīng)懂指令,不可以直接沿著圓柱某條高爬行,同時(shí),它們的爬行速度相同,且都是沿著最短的路徑,那么,哪只螞蟻?zhàn)钕鹊竭_(dá)終點(diǎn)呢?

    這5 個(gè)水杯的底面周長(zhǎng)和高標(biāo)注在圖1 上,長(zhǎng)度單位都是cm。螞蟻國(guó)王對(duì)5 只螞蟻有著不同的要求,其中3 號(hào)杯螞蟻需要途徑點(diǎn)C后到達(dá)點(diǎn)B,點(diǎn)C到底面的距離為水杯高的;4 號(hào)杯中,點(diǎn)B到底面的距離為水杯高的;5 號(hào)杯中,點(diǎn)B為CD中點(diǎn)且在杯的內(nèi)部,提醒5 號(hào)螞蟻,別跑錯(cuò)路線,否則看到吃不到。

    圖1

    【分析】為了尋找最短路線,我們需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,把立體圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題。具體操作:首先,把圓柱的側(cè)面沿某條母線展開(kāi);其次,利用兩點(diǎn)之間線段最短,確定路線;最后,利用勾股定理來(lái)計(jì)算。找準(zhǔn)展開(kāi)圖中A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置是本題的關(guān)鍵。

    對(duì)于1 號(hào)杯,圓柱的底面周長(zhǎng)為9cm,高為12cm,側(cè)面展開(kāi)后的矩形如圖2(其中B′為垂直向上爬行的路徑,故舍去。)。因?yàn)椤螩=90°,AC=9cm,BC=12cm,所以AB2=AC2+BC2=92+122=225,所以AB=15cm。因此,螞蟻所爬行的最短路徑是15cm。

    圖2

    對(duì)于2 號(hào)杯,側(cè)面展開(kāi)后的矩形如圖3,點(diǎn)A、B的最短距離即為線段AB的長(zhǎng)。其中∠C=90°,BC=12cm,AC為底面周長(zhǎng)的一半,即9cm,所以AB2=AC2+BC2=92+122=225,所以AB=15cm。因此,螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

    圖3

    對(duì)于3 號(hào)杯,我們要區(qū)分與2 號(hào)杯的不同,知道螞蟻是沿水杯表面爬行1 圈半。因?yàn)槲浵伿墙?jīng)過(guò)點(diǎn)C后再到達(dá)點(diǎn)B,所以類比2號(hào)杯側(cè)面展開(kāi)后的矩形,點(diǎn)C位置位于線段AB上,如圖4。其中∠F=90°,AF=6×1.5=9(cm),BF=12cm,由勾股定理得AB2=AF2+BF2=92+122=225,所以AB=15cm。因此,螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

    圖4

    對(duì)于4 號(hào)杯,如圖5,因?yàn)閳A柱的底面周長(zhǎng)為18cm,AC為周長(zhǎng)的一半,所以AC=9cm。又因?yàn)镻C=16cm,所以BC=PC=12cm。在Rt△ACB中,因?yàn)椤螩=90°,所以AB2=AC2+BC2=92+122=225,所以AB=15cm。因此,螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

    圖5

    對(duì)于5 號(hào)杯,與4 號(hào)杯不同的是蜂蜜在杯子內(nèi)部,所以螞蟻需要翻進(jìn)杯內(nèi)。假設(shè)螞蟻在杯外邊緣某一點(diǎn)P處爬進(jìn)杯內(nèi)壁,那么求線段AP+PB最短便轉(zhuǎn)化成我們熟悉的“將軍飲馬”問(wèn)題了。此時(shí),作點(diǎn)B關(guān)于PC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE,即為所求的爬行最短路線,如圖6。因?yàn)榈走厛A的一半周長(zhǎng)為12cm,即AD=12cm,又因?yàn)辄c(diǎn)B是CD的中點(diǎn),所以CE=CB=3cm,所以DE=9cm。在Rt△AED中,∠ADE=90°,所以AE2=AD2+DE2=92+122=225,所以AE=15cm。因此,螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為15cm。

    圖6

    比較5 個(gè)水杯:1 號(hào)杯需要展開(kāi)圓柱側(cè)面完整周長(zhǎng);2 號(hào)杯與4 號(hào)杯本質(zhì)一樣,側(cè)面展開(kāi)一半周長(zhǎng)即可;3 號(hào)杯需要爬行1 圈半,展開(kāi)周長(zhǎng)的1.5 倍;5 號(hào)杯與4 號(hào)杯要區(qū)別杯內(nèi)壁和外壁。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是,先通過(guò)觀察決定沿著哪條高母線將圓柱側(cè)面展開(kāi),然后分析出發(fā)點(diǎn)A和目的地點(diǎn)B的具體位置是在展開(kāi)圖的同側(cè)還是分居兩側(cè),最終確定爬行的具體路線。計(jì)算發(fā)現(xiàn),原來(lái)螞蟻們圍繞高低粗細(xì)不同的5 個(gè)水杯爬行的距離都是15cm,它們的速度相同,所以爬行時(shí)間也相同,最終,大家同時(shí)吃到了蜂蜜。

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