求解圓錐曲線中最值問題的三個(gè)措施

嚴(yán)國(guó)峰

圓錐曲線中的最值問題具有較強(qiáng)的綜合性，常與三角函數(shù)、不等式、方程、平面幾何等知識(shí)相結(jié)合，雖然求解此類問題的方法較多，但是解題過程中的計(jì)算量大．這令很多同學(xué)感到“頭疼”．本文結(jié)合例題，介紹求解圓錐曲線中最值問題的三個(gè)措施．

一、采用幾何性質(zhì)法

每一種圓錐曲線都有其對(duì)應(yīng)的圖形，因此在求解圓錐曲線中的最值問題時(shí)，可根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)尋找焦半徑之間的幾何關(guān)系；再結(jié)合三角形、梯形、圓、平行四邊形等幾何圖形的性質(zhì)來尋找取得最值時(shí)的臨界情形，建立滿足題意的關(guān)系式，即可求得最值．角形的性質(zhì)：兩邊之差小于第三邊．在解答與距離有關(guān)的最值問題時(shí)，往往可以將問題與圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線聯(lián)系起來，以便運(yùn)用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，將所求的距離轉(zhuǎn)化為求某一條線段的長(zhǎng)，然后根據(jù)平面幾何圖形的性質(zhì)尋找取得最值時(shí)的點(diǎn)、位置，

二、利用基本不等式

在求最值時(shí)，常需用到基本不等式a+b≥√ab（a ，b∈R+）．運(yùn)用基本不等式求圓錐曲線中的最值問題，一般需先根據(jù)圓錐曲線的方程、弦長(zhǎng)公式、幾何性質(zhì)等求得目標(biāo)式；然后將目標(biāo)式進(jìn)行合理的變形，配湊出兩式的和或積的形式；再運(yùn)用基本不等式求目標(biāo)式的最值，

例2．設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，A（2，0），B（O，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y= kx（k>0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值． 運(yùn)用基本不等式求最值，需確保三個(gè)條件成立，即（1）兩式均大于零；（2）兩式的和或積為定值；（3）當(dāng)且僅當(dāng)兩式相等時(shí)等號(hào)成立．在求得最值后，需注意檢驗(yàn)在取等號(hào)時(shí)不等式是否是成立的．

三、運(yùn)用參數(shù)法

參數(shù)法是指在解題的過程中引入一些與題目研究對(duì)象有聯(lián)系的新參數(shù)或變量，以此作為媒介，將問題中所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而求得問題的答案．運(yùn)用參數(shù)法求圓錐曲線中的最值，需先將圓錐曲線或直線用參數(shù)方程表示出來；然后設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入題設(shè)中，建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式；再通過三角恒等變換，將目標(biāo)式化簡(jiǎn)，即可運(yùn)用三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得最值．

雖然圓錐曲線中的最值問題的難度較大，但只要將問題和圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、基本不等式、參數(shù)方程等關(guān)聯(lián)起來，就能運(yùn)用幾何性質(zhì)法、基本不等式法、參數(shù)法快速求得問題的答案．