破解平面向量最值問題的兩個“妙招”

馬小芹

平面向量最值問題一般與動點、參數(shù)有關(guān)．這類問題具有較強的綜合性，通常會考查平面向量的基本定理、共線定理、運算法則、公式，平面幾何圖形的性質(zhì)，本文結(jié)合例題探討一下破解平面向量最值問題的兩個妙招，

一、建立坐標(biāo)系

當(dāng)遇到與等腰三角形、平行四邊形、矩形、圓等規(guī)則平面幾何圖形有關(guān)的問題時，可根據(jù)幾何圖形的特點，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求得各個點的坐標(biāo)，各條線段的方向向量，便可通過向量的坐標(biāo)運算求得目標(biāo)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式等求得目標(biāo)式的最值，即可解題，

解答該題，需根據(jù)已知條件AD⊥ CD，來建立平面直角坐標(biāo)系．求得點A、B、C、D、E的坐標(biāo)，并設(shè)出點E的坐標(biāo)，便可根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得AE-BE的表達式，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值．

二、幾何性質(zhì)法

平面向量具有“數(shù)”“形”兩重身份，因此在解答平面向量問題時，往往可采用幾何性質(zhì)法來求解，可根據(jù)向量的三角形法則、平行四邊形法則，繪制相應(yīng)的幾何圖形，將向量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，靈活運用平面幾何圖形的性質(zhì)，如圓、矩形、三角形、平行四邊形的性質(zhì)，尋找到使目標(biāo)式取最值的臨界情形，從而求得最值，

解答本題，需先根據(jù)平面向量的共線定理證明A、B、C三點共線，根據(jù)圓對稱性得出結(jié)論：AB是圓C的直徑，然后利用向量的模的公式和向量的數(shù)量積公式求得PA-PB的表達式，將求PA-PB的最小值轉(zhuǎn)化為求|PC|的最小值，而c為頂點，P點在直線l上，只需根據(jù)點到直線的距離公式即可求得最小值．

運用幾何性質(zhì)法解答平面向量最值問題，需仔細(xì)研究向量的幾何意義，聯(lián)系直線、中點的向量表達形式，把向量以點和圖形的形式呈現(xiàn)出來，將向量的最值問題等價轉(zhuǎn)化為平面幾何中的距離、角度的最值問題，結(jié)合平面幾何圖形的性質(zhì)來求解，

雖然平面向量最值問題較為復(fù)雜，但是我們只要能根據(jù)圖形的特點建立合適的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的幾何意義構(gòu)造平面幾何圖形，便能通過向量的坐標(biāo)運算，利用平面幾何圖形的性質(zhì)，求得問題的答案，

本文系江蘇省陶研會立項課題《高中生小組合作學(xué)習(xí)下數(shù)學(xué)錯題反思的有效性研究》（課題批準(zhǔn)文號：JSTY624）研究成果