有界線性算子的（R1）性質(zhì)及其攝動(dòng)*

趙小鵬，戴磊，曹小紅

1. 渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 渭南 714099

2. 陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710119

1909 年，Weyl［1］在檢查Hermitian 算子的所有緊擾動(dòng)的譜集時(shí)發(fā)現(xiàn)，自伴算子的Weyl 譜剛好為它的譜集中非孤立的有限維的特征根，此結(jié)論后來被稱為Weyl 定理。20 世紀(jì)90 年代，Weyl 定理備受關(guān)注，國內(nèi)外許多學(xué)者對Weyl定理進(jìn)行了變形和推廣［2-4］。(R1)性質(zhì)是Weyl型定理的一種變形，近期得到廣泛關(guān)注［5-8］。本文主要利用拓?fù)湟恢陆禈?biāo)性質(zhì)研究了有界線性算子的(R1)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

在本文中，用C表示復(fù)數(shù)域，N表示非負(fù)整數(shù)的全體，H表示無限維復(fù)可分Hilbert空間，B(H)表示H上的有界線性算子的全體。設(shè)T∈B(H)，如果值域R(T)為閉集且零空間N(T)的維數(shù)n(T) ＜+∞，則稱T是上半Fredholm 算子；若R(T)的余維數(shù)d(T) ＜+∞，稱T是下半Fredholm 算子；如果n(T) ＜+∞且d(T) ＜+∞，則稱T是Fredholm算子。特別地，如果T是上半Fredholm算子且n(T) = 0，則稱T是下有界算子。上半Fredholm 算子或下半Fredholm 算子統(tǒng)稱半Fredholm 算子。當(dāng)T是半Fredholm 算子時(shí)，定義ind(T) =n(T) -d(T)為T的指標(biāo)。指標(biāo)為零的Fredholm 算子稱為Weyl 算子。算子T的升標(biāo)asc(T)定義為asc(T) =inf{n∈N：N(Tn)=N(Tn+1)}，當(dāng)這樣的整數(shù)不存在時(shí)，記asc(T) = +∞；算子T的降標(biāo)desc(T)定義為desc(T) = inf{n∈N：R(Tn)=R(Tn+1)}，當(dāng)這樣的整數(shù)不存在時(shí)，記desc(T) = +∞. 當(dāng)asc(T)和desc(T)均有限時(shí)，可以證明asc(T) = desc(T). 稱算子T是Drazin可逆的，若asc(T) = desc(T) ＜+∞. 若T是Drazin可逆且n(T) ＜+∞或d(T) ＜+∞，稱T是Browder算子。可以證明T為Browder算子當(dāng)且僅當(dāng)T為上半（或者下半）Fredholm算子且升標(biāo)和降標(biāo)均有限；也可證明T為Browder算子當(dāng)且僅當(dāng)T為上半（或者下半）Fredholm算子且當(dāng)|λ| ＞0充分小時(shí)，T-λI可逆。

設(shè)T∈B(H)，定義T的譜集σ(T)、逼近點(diǎn)譜σa(T)、Browder譜σb(T)、Drazin譜σD(T)分別為σ(T) ={λ∈C：T-λI不可逆}，σa(T) ={λ∈C：T-λI不為下有界算子}，σb(T) ={λ∈C：T-λI不為Browder算子}，σD(T) ={λ∈C：T-λI不為Drazin 可逆的}。記ρ(T) = Cσ(T)、ρa(bǔ)(T) = Cσa(T)、ρb(T) = Cσb(T)、ρD(T) = CσD(T). 令ρa(bǔ)b(T) ={λ∈C：T-λI是 上 半Fredholm 算 子 且asc(T-λI) ＜+∞}. 用σab(T) = Cρa(bǔ)b(T)表示算子T的Browder 本質(zhì)逼近點(diǎn)譜。λ∈ρa(bǔ)b(T)當(dāng)且僅當(dāng)T-λI為半Fredholm 算子且當(dāng)0 ＜|μ-λ|充分小時(shí)，T-μI為下有界算子。

記σc(T) ={λ∈C：R(T-λI)不閉}，令ρc(T) = Cσc(T). 算子T的正規(guī)特征值的全體記為σ0(T) =σ(T)σb(T). 設(shè)E為復(fù)數(shù)集C 的子集，則分別定義isoE，accE，?E和intE為集合E的孤立點(diǎn)的全體，聚點(diǎn)的全體，邊界點(diǎn)的全體和內(nèi)點(diǎn)的全體。

設(shè)T∈B(H)，稱T有(R1)性質(zhì)，如果

其中π00(T) ={λ∈isoσ(T)：0 ＜dimN(T-λI) ＜+∞}. 稱T有(R)性質(zhì)，如果

若λ0∈σ(T) ∩σD(T)，稱λ0為T的極點(diǎn)。易知，如果T-λ0I是Drazin 可逆且n(T-λ0I) ＜+∞，則T-λ0I是Browder算子。

拓?fù)湟恢陆禈?biāo)對算子譜的研究起到重要作用［8-9］。當(dāng)T為上半（或下半）Fredholm算子時(shí)，T有拓?fù)湟恢陆禈?biāo)性質(zhì)。如果T有拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，則T有如下性質(zhì)。

引理1［8-9］設(shè)T∈B(H)，λ∈?σ(T). 如果T-λI有拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，則λ是T的一個(gè)極點(diǎn)。

本文首先利用拓?fù)湟恢陆禈?biāo)性質(zhì)給出了有界線性算子及其函數(shù)有(R1)性質(zhì)的等價(jià)刻畫；其次通過拓?fù)湟恢陆禈?biāo)性質(zhì)，給出了算子函數(shù)有(R1)性質(zhì)的等價(jià)條件；之后，上三角算子矩陣的(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性得到了研究。

2 算子及其函數(shù)的(R1)性質(zhì)的判定

令ρτ(T) ={λ∈C：T-λI有 拓 撲 一 致 降 標(biāo) 性 質(zhì)}. 記στ(T) = Cρτ(T). 易 知ρSF(T) ?ρτ(T)，其 中ρSF(T) ={λ∈C：T-λI為上半或者下半Fredholm算子}. 由引理1得

定理1設(shè)T∈B(H)，則T有(R1)性質(zhì)的充要條件為

證明充分性。由于

故[σa(T)σab(T)]∩σb(T) = ?，即[σa(T)σab(T) ?ρb(T)]，于是σa(T)σab(T) ?π00(T)，即T有(R1)性質(zhì)。

必要性。不妨取λ0∈σ(T)且λ0?στ(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}. 于是λ0∈σa(T). 由λ0?accσa(T)知存在ε＞0 使得當(dāng)0 ＜|λ-λ0|＜ε時(shí)，T-λI均為下有界算子。又由λ0?acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)，分兩種情況討論：

（i）λ0?acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}.

此時(shí)存在ε′＜ε，使得當(dāng)0 ＜|λ-λ0| ＜ε′時(shí)，n(T-λI) ≥d(T-λI). 又由于T-λI為下有界算子，于是當(dāng)0 ＜|λ-λ0| ＜ε′時(shí)T-λI可逆，即λ0∈isoσ(T). 由引理1 可知T-λ0I為Drazin 可逆。又由n(T-λ0I) ＜+∞，故λ0?σb(T).

（ii）λ0?σc(T).

結(jié)合n(T-λ0I) ＜+∞知T-λ0I是上半Fredholm 算子。又由于λ0∈isoσa(T)，于是T-λ0I的升標(biāo)有限，即λ0∈σa(T) ?σab(T). 由條件T有(R1)性質(zhì)，故λ0∈π00(T)，所以λ0?σb(T).

這 樣 我 們 就 證 明 了σb(T) ?στ(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}，反 包 含 顯 然 成 立。于 是σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}. 證畢

在定理1中，將[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]改為{λ∈C：n(T-λI) = 0}，可以有下列結(jié)論：

推論1設(shè)T∈B(H)，則下列敘述等價(jià)：

（i）T有(R1)性質(zhì)；

（ii）σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪{λ∈σ(T)：n(T-λI) = 0}∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}；

（iii）ρτ(T) ?ρb(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪{λ∈σ(T)：n(T-λI) = 0}∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

證明（i）?（ii）。由定理1 知，當(dāng)T有(R1)性質(zhì)時(shí)，σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}. 因ρa(bǔ)(T) ∩σ(T) ?{λ∈σ(T)：n(T-λI) = 0}，所以

反包含顯然成立。于是（ii）成立。

（ii）?（iii）。由（ii）知（iii）顯然成立。

（iii）?（i）。因[σa(T) ?σab(T)]?ρτ(T) 且[σa(T) ?σab(T)]∩[accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪{λ∈σ(T)：n(T-λI) = 0}∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}]= ?，故σa(T) ?σab(T) ?ρb(T)，所以σa(T) ?σab(T) ?π00(T)，即T有(R1)性質(zhì)。 證畢

在定理1和推論1中，將accσa(T)用intσa(T)替換，結(jié)論同樣成立。

推論2設(shè)T∈B(H)，則下列敘述等價(jià)：

（i）T有(R1)性質(zhì)；

（ii）σb(T) =στ(T) ∪intσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}；

（iii）σb(T) =στ(T) ∪intσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪{λ∈σ(T)：n(T-λI)= 0}∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}；

（iv）ρτ(T) ?ρb(T) ∪intσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪{λ∈σ(T)：n(T-λI)= 0}∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

證 明（i）?（ii）。σb(T) ?στ(T) ∪intσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}顯然，只需證明反包含成立。任意λ0?στ(T) ∪intσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}. 不 妨 設(shè)λ0∈σ(T)，于是λ0∈σa(T)，因λ0?intσa(T)且σa(T)是閉集，所以λ0∈?σa(T). 又λ0?acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T). 于是

①λ0?acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}，存在ε0＞0，當(dāng)0 ＜| |λ-λ0＜ε0時(shí)，d(T-λI) ≤n(T-λI). 而λ0∈?σa(T). 任意0 ＜ε＜ε0，存在μ∈B°(λ0，ε)，T-μI是可逆的，因此λ0∈?σ(T)，再根據(jù)n(T-λ0I) ＜+∞且λ0∈ρτ(T)，于是由引理1知λ0∈ρb(T).

②λ0?σc(T)，再結(jié)合n(T-λ0I) ＜+∞，故T-λ0I是上半Fredholm 算子，因λ0∈?σa(T)，則根據(jù)Fredholm算子攝動(dòng)定理知λ0∈isoσa(T)，由定理1證明可知結(jié)論成立。

（ii）?（i）。若（ii）成立，由于intσa(T) ?accσa(T)，易證σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}. 再根據(jù)定理1 可知（i）成立。

（i）?（iii）?（iv）。根據(jù)intσa(T) ?accσa(T)和推論1可證。 證畢

由定理1 可知，當(dāng)σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}時(shí)，T有(R1)性質(zhì)，但是反之不成立。例如：

設(shè)T∈B(?2)定義為

則σa(T) =σab(T) ={λ∈C：|λ| = 1}，π00(T) = ?. 故σa(T) ?σab(T) ?π00(T)，即T有(R1)性質(zhì)。但是σb(T) ={λ∈C：|λ| ≤1}，στ(T) = accσa(T) ={λ∈C：|λ| = 1}，{λ∈C：n(T-λI) = +∞}= ?，即σb(T) ≠στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

推論3 設(shè)T∈B(H)，則T有(R1)性質(zhì)且σ(T) =σa(T)的充要條件為σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

證明 必要性。由定理1 知，當(dāng)T有(R1)性質(zhì)時(shí)，σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]∪[ρa(bǔ)(T) ∩σ(T)]∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}. 因σ(T) =σa(T)， 所 以[acc{λ∈C：n(T-λI) ＜d(T-λI)}∩σc(T)]?accσ(T) = accσa(T)，ρa(bǔ)(T) ∩σ(T) = ?，從而σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

充分性。只需證明σ(T) ?σa(T). 因ρa(bǔ)(T) ∩σb(T) =ρa(bǔ)(T) ∩[στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}]= ?，所以ρa(bǔ)(T) ?ρb(T)，即ρa(bǔ)(T) ?ρ(T). 證畢

下面討論算子函數(shù)的(R1)性質(zhì)。當(dāng)T有(R1)性質(zhì)時(shí)，并不能推出其算子函數(shù)也有(R1)性質(zhì)。例如，設(shè)A，B∈B(?2)定義為

令

則

故σa(T) ?σab(T) ={-2}?π00(T)，即T有(R1)性質(zhì)，但對多項(xiàng)式p(x) =x(x+ 2)，p0(T) =T(T+ 2I)，容易看出0 ∈σa(p0(T)) ?σab(p0(T))，但是p0(T)不是Browder算子，即p0(T)不滿足(R1)性質(zhì)。

定理2設(shè)T∈B(H)，則任給多項(xiàng)式p，p(T)有(R1)性質(zhì)的充要條件是

（i）T有(R1)性質(zhì)；

（ii） 若σ0(T) ≠?，則σ(T) =σa(T).

證明必要性。結(jié)論（i）顯然成立。下證結(jié)論（ii）成立。若結(jié)論（ii）不成立，因σ0(T) ≠?，故存在λ1∈σ0(T)，λ2∈σ(T) ?σa(T). 令p0(T) =(T-λ1I)(T-λ2I)，則0 ＜n(p0(T)) ＜+∞且0 ∈ρa(bǔ)b(p0(T))，于 是0 ∈σa(p0(T)) ?σab(p0(T)). 由 于p0(T) 有(R1)性 質(zhì)，則p0(T) 為Browder 算 子，從 而T-λ2I是Browder 算子，于是n(T-λ2I) =d(T-λ2I) = 0，即T-λ2I為可逆算子，這與λ2∈σ(T) ?σa(T)矛盾。因此結(jié)論（ii）成立。

充分性。設(shè)σ0(T) ≠?. 由T有(R1)性質(zhì)知σa(T) ?σab(T) ?σ0(T) = ?，從而σa(T) =σab(T). 我們知道逼近點(diǎn)譜和Browder 本質(zhì)逼近點(diǎn)譜都滿足譜映射定理，于是任給多項(xiàng)式p，都有σa(p(T)) =p(σa(T)) =p(σab(T)) =σab(p(T))，即σa(p(T)) ?σab(p(T)) = ??π00(p(T))，故p(T) 有(R1) 性 質(zhì)。此 時(shí)σ(T) =σa(T). 任給多項(xiàng)式p，設(shè)μ0∈σa(p(T))σab(p(T))且p(x) -μ0=a(x-λ1)n1(x-λ2)n2…(x-λk)nk，其中λi≠λj（i≠j），于是

則T-λiI為上半Fredholm且asc(T-λiI) ＜+∞，1 ≤i≤k. 所以λi∈ρa(bǔ)(T) ∪[σa(T) ?σab(T)]. 由于σ(T) =σa(T)，我們不妨假設(shè)λi∈σa(T) ?σab(T)，1 ≤i≤k. 由T有(R1)性質(zhì)可得λi∈σ0(T)，1 ≤i≤k. 于是p(T) -μ0I為Browder算子，即μ0∈π00(p(T)). 這樣我們就證明了p(T)滿足(R1)性質(zhì)。 證畢

對算子T∈B(H)，σ(T) =σa(T)當(dāng)且僅當(dāng)σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}，于是有：

推論4設(shè)T∈B(H). 則對任給多項(xiàng)式p，p(T)有(R1)性質(zhì)的充要條件是

（i）T有(R1)性質(zhì)；

（ii） 若σ0(T) ≠?，則σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

由推論3及推論4可知：

推論5設(shè)T∈B(H). 若σb(T) =στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}，則對任意多項(xiàng)式p，p(T)有(R1)性質(zhì)。

在推論5中，反之不成立。例如：設(shè)算子T∈B(?2)定義為

由 定 理2 可 知 任 給 多 項(xiàng) 式p，p(T) 有(R1) 性 質(zhì)。 但 是 通 過 計(jì) 算 可 知σb(T) ≠στ(T) ∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

推論6設(shè)T∈B(H). 若σ0(T) ≠?，則任意多項(xiàng)式p，p(T) 有(R1)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)σb(T) =στ(T)∪accσa(T) ∪{λ∈C：n(T-λI) = +∞}.

根據(jù)定理2 的證明容易看出，當(dāng)σ0(T) = ?時(shí)，對任意多項(xiàng)式p，p(T)有(R1)性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)T有(R1)性質(zhì)。

3 上三角算子矩陣的(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性

下面設(shè)H，K為兩個(gè)無限維復(fù)可分Hilbert 空間，B(K，H)為從K到H上的有界線性算子全體。再設(shè)A∈B(K)，N?K為A的不變子空間，則A可分解成上三角算子矩陣

近年來許多學(xué)者研究過上三角算子矩陣的Weyl 型定理及其變化性質(zhì)［10-14］。接下來我們研究上三角算子矩陣的(R1)性質(zhì)。

設(shè)A∈B(H)，B∈B(K)，記

其中C∈B(K，H). 可以證明：當(dāng)A和B升標(biāo)有限時(shí)，對任意C∈B(K，H)，MC的升標(biāo)都有限；反之，當(dāng)MC升標(biāo)有限時(shí)，A的升標(biāo)也一定有限。

稱T∈B(H)有(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性，如果任給緊算子K，T+K都有(R1)性質(zhì)。

由文獻(xiàn)［7］中定理1.1的證明可以看出下列事實(shí)：

引理2設(shè)T∈B(H). 則T有(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性當(dāng)且僅當(dāng)(T) = ?. 其中(T) ={λ∈C：T-λI為半Fredholm算子且ind(T-λI) ＜0}.

設(shè)T∈B(H)有(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性，則(T) = ?. 對任意的多項(xiàng)式p，由于(p(T)) ?p((T))，于是(p(T)) = ?. 這樣就有下列結(jié)論：

推論7設(shè)T∈B(H). 則T有(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性當(dāng)且僅當(dāng)對任意多項(xiàng)式p，p(T)有(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性。為了研究上三角算子矩陣的(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性，我們先看下列一個(gè)事實(shí)：

引理3設(shè)A∈B(H)，B∈B(K). 若A是上半Fredholm算子且d(A) = +∞，則存在C∈B(K，H)，使得

是上半Fredholm 算子且ind(MC)＜0.

證明若B是上半Fredholm 算子，則任給C∈B(K，H)，MC均為上半Fredholm 算子且ind(MC)=ind(A) + ind(B) = -∞＜0. 若R(B)不為閉集，由文獻(xiàn)［15］中定理2.2知，存在C∈B(K，H)，使得

是上半Fredholm算子。由于B不為下半Fredholm算子，則由

知MC不為Fredholm 算子，故ind(MC)= -∞＜0. 若R(B)為閉集，n(B) =d(B) = +∞，仍由文獻(xiàn)［15］定理2.2知存在C∈B(K，H)，使得MC是上半Fredholm算子，且ind(MC)= -∞＜0.

下設(shè)R(B)為閉集，n(B) = +∞，d(B) ＜+∞.

由B是下半Fredholm 算子知由B不是緊算子，故其共軛算子B*不是緊算子，于是dimN(B)⊥=dimR(B*)= +∞. 設(shè)n(A) =N，取{e1，e2，…，eN+1} 為N(B)⊥=R(B*) 中N+ 1 個(gè) 正 規(guī) 正 交 集。令M=span{e1，e2，…，eN+1}. 由于dim(N(B) +M) = dimR(A)⊥=d(A) = +∞知，存在等距同構(gòu)映射

令

下證MC是上半Fredholm算子且ind(Mc)＜0.

（i）n(MC)=N. 設(shè)

則

由v∈N(B)知Cv=Jv，故由Au= -Cv= -Jv∈R(A)⊥∩R(A)知Au= 0，Jv= 0. 而J可逆，故v= 0，于是N(MC) ?N(A)⊕{0}. 又N(A)⊕{0}?N(MC)，所以N(MC)=N(A)⊕{0}，從而n(MC)=N＜+∞.

（ii）R(MC)閉。設(shè)

即

設(shè)vn=αn+βn，其中αn∈N(B) +M，βn∈[N(B) +M]⊥. 由Aun∈R(A)，Cvn∈R(A)⊥知{Aun}，{Cvn}均為Cauchy 列。而Cvn=Jαn，J可逆，故{αn}為Cauchy 列。于是由Bβn=Bvn-Bαn知{Bβn}為Cauchy 列。又βn∈[N(B) +M]⊥?N(B)⊥，故{βn}為Cauchy 列。從而{vn}為Cauchy 列。設(shè)vn→y0（n→∞）. 由R(A)閉知存在x0∈H使得Aun→Ax0（n→∞），故

所以R(MC)閉。

（iii）n(M*C)=N+ 1. 設(shè)

為正規(guī)正交集，則

由J*可逆及{en}線性無關(guān)知

由上證明知MC是上半Fredholm算子且ind(Mc)= -1 ＜0. 證畢

證明必要性。（i）顯然成立。由引理2和引理3可知（ii）成立。

充分性。由引理3，只需要證明對任意的C∈B(K，H)，(MC)= ?即可。反證法，若不然，設(shè)λ0∈(MC)，由

知A-λ0I為上半Fredholm 算子。由條件（ii）可知，d(A-λ0I) ＜+∞，即A-λ0I為Fredholm 算子。再次由上面的分解知B-λ0I為上半Fredholm 算子。于是M0-λ0I為上半Fredholm 算子且ind(M0-λ0I) =ind(A-λ0I) + ind(B-λ0I) = ind(MC-λ0I) ＜0，即λ0∈(M0)，這就與M0滿足(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定矛盾。

證畢

（ii） {λ∈C：A-λI是上半Fredholm算子，d(A-λI) = +∞}= ?，即σSF+(A) =σe(A).

例1設(shè)A，B∈B(?2)定義為

通過計(jì)算可知

（ii） {λ∈C：A-λI是上半Fredholm算子，d(A-λI) = +∞} = ?，即σSF+(A) =σe(A).于是由定理3，任給C∈B(?2，?2)，MC均滿足(R1)性質(zhì)的穩(wěn)定性。