一類半線性分數(shù)階反應擴散方程解的性質

彭紅玲, 樊明書

(西南交通大學 數(shù)學學院, 四川 成都 610031)

1 簡介

主要研究如下一類半線性分數(shù)階反應擴散方程

(1)

分數(shù)階Laplacian算子的定義有多種,常用的有如下3種定義.

定義 1.2[2-4]假設g:RN→R的速降函數(shù),(-Δ)sg的定義如下:

(-Δ)sg(x)=CN,sP.V.

從定義1.2可以看出,(-Δ)s是以積分形式定義的一個非局部算子,Caffarelli等在文獻[5]中用延拓的方法將非局部的Laplacian算子化為局部可變分的算子,并給出等價定義.

定義 1.3[5]u:RN→R速降函數(shù),U:RN×[0,∞)→R是u的延拓,函數(shù)U滿足

用定義1.3來定義分數(shù)階Laplacian算子.

Cortazar等[6]發(fā)表半線性拋物方程

的爆破問題,其中Ω是RN中的光滑有界凸區(qū)域,M≥0,V是Lipschitz連續(xù)的,φ(x)>0且滿足相容性條件.

Winkler等[7]研究了拋物方程

其中v是?Ω的外法向量.文章指出λ>0時有整體解,也存在爆破正解.

Vázquez等[8]發(fā)表對分數(shù)階多孔介質方程(FPME)

在RN空間中Cauchy問題解的存在性和唯一性,其中0<σ<2,m>0.

Tan等[9]研究了如下半線性分數(shù)階反應擴散方程

近年研究分數(shù)次p-Laplacian算子問題的還有文獻[10-12]等.

下面對方程(1)用Caffarelli-Silvestre的延拓法.令U:Ω×(0,∞)→R是函數(shù)u:Ω→R的延拓函數(shù),記D={(x,y)|(x,y)∈Ω×(0,∞)},D的橫向邊界為?LD=?Ω×[0,∞),可將(1)式化為

(2)

記(-Δ)s=As,(-Δ)s/2=As/2,0

u∈Hs0(Ω).

(4)

受文獻[9,13-16]的啟發(fā),定義

H(U)=h(U)-f(U)-g(U).

對E(U(t))關于t求導,可得

?U·?Utdxdy-

(5)

所以E(U(t))關于t單調遞減,且有

即

勢阱的深度:d=infU≠0}.

本文的主要結果如下.

定理 1.3若U=U(x,y,t;U0)是(2)式的解,且存在t0≥0使得E(U(t0))≤0,則當k<0時,U在有限時間內爆破.

2 整體解和漸進行為

為證明解的整體存在性,先引入4個引理.

H(U)=h(U)-f(U)-g(U)>0}.

令

故

即

(λ-λp)(h(U)-f(U))≥0,

則

而p>1,故

E(λU)>

引理2.2的證明可參見文獻[17-19],此處省去證明.

證明因為

所以

若設

由于a(x)∈[m,M],則

故

ρn(x)=min{|x|2s,n},

γn(u)=min{ku,n},

βn(u)=min{a(x)|u|p-1u,n},

(7)

引理2.4的證明過程用到了Gal?rkin方法,此處省去證明,引理2.4和2.5的證明過程具體可參照文獻[9].接下來給出定理1.1的證明.

I(u0)+ε0

(8)

第一種情況與(8)式矛盾,將第二種情況代入I(un)有

I(udx-

(9)

(10)

由(10)式可得

(12)

對(12)式的左邊,由分數(shù)階Sobolev不等式,當p=2時,有

(13)

其中c>0.結合(11)～(13)式可得

所以方程(2)的解整體存在.

下面給出定理1.2的證明.

定理1.2證明對任意序列tn→∞,令Un=U(x,y,tn;U0).由于自反巴拿赫空間的有界列都是弱緊的,結合引理2.5,存在序列{Un}和函數(shù)U使得:

U

UnUinLp+1(Ω×{0}),

U

令測試函數(shù)

φ(x,y,t)=

其中

ψ∈Hs

由弱解的定義,有

將φ代入上面的式子,可得

對第二項,用分部積分法,結合ρ(0)=ρ(1)=0,有

則

a(x)|U|p-1Uρ(t-tn)ψ+

kUρ(t-tn)ψ)dx]dt=0.

令δ=t-tn,則

a(x)|U(tn+δ)|p-1U(tn+δ)ρ(δ)ψ+

kU(tn+δ)ρ(δ)ψ)dx]dδ=0.

(14)

‖U(tn+δ)-ωδ‖Lp+1(Ω×{0})→0,

‖U(tn)-ω‖Lp+1(Ω×{0})→0.

下證在Ω×{0}中幾乎處處有ωδ=ω.結合能量等式和H?lder不等式,有

因為0≤δ≤1,當tn→∞時‖U(tn+δ)-U(tn)‖L2(Ω×{0})→0,即在Ω×{0}中幾乎處處有ωδ=ω.重新整理(14)式可得

a(x)|U|p-1U(tn)ρ(δ)ψ+

kUρ(δ)ψ)dx]dδ-

?U(tn))ρ(δ)·?ψdxdydδ+

U(tn))kρ(δ)ψdxdδ=0.

由勒貝格控制收斂定理,當tn→∞時,上式等號左端后四項趨近于0,對等號左端第二項有

即U(tn)在弱意義上趨近于(2)式的穩(wěn)態(tài)解.

3 爆破

給出定理1.3的證明.

定理1.3證明(反證法) 若t=∞,令

對t求導，可得

在(2)式的兩邊同乘以U,再在D上積分，有

(15)

在能量等式(6)兩邊同乘p+1 ,再加上(15)式有

(p+1)E(U(t0)),

因為E(U(t0))≤0,k<0,所以對?t≥t0,有

所以

(16)

由H?lder不等式，有

r′(t1)(t-t1)→∞,

由此,當t>t1，可得

兩邊同時積分，可得

r′(t0))2lnr(t)|tt1→∞,

r(t)r″(t)>(1+α)(r′(t))2.

0

J(t3)+J′(t3)(t-t3)→-∞,t→∞,

顯然矛盾,故U在有限時間內爆破.