一道高考試題的母題探究與變式研究

鄭慶剛

(山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué))

本文主要以2021年全國(guó)乙卷的數(shù)列試題為研究對(duì)象,對(duì)該題的母題來(lái)源進(jìn)行分析,并以該題為基礎(chǔ)進(jìn)行變式研究,以期達(dá)到會(huì)一題、通一類的效果.

1 真題分析

2 母題探究

母題1 (2020年全國(guó)Ⅰ卷理17)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).

2021年全國(guó)乙卷的數(shù)列試題在2020年的基礎(chǔ)上增加了難度,但從解析中可以清晰地發(fā)現(xiàn),考點(diǎn)和解決方法完全吻合,第(1)問(wèn)都是以等比數(shù)列為背景,要結(jié)合等差中項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算,列出的式子也是關(guān)于公比的一元二次方程,第(2)問(wèn)都是考查了錯(cuò)位相減法求和.區(qū)別僅在于2021年的試題增加了等比數(shù)列的求和.

母題2 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,且滿足d＝－2,S4＝76.等比數(shù)列{bn}滿足b1＋b3＝10,b2＋b4＝20.

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)cn＝(23－an)bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

分析試題發(fā)現(xiàn)2021 年的全國(guó)乙卷的數(shù)列{bn}和本題的數(shù)列{cn}相對(duì)應(yīng),都是考查了錯(cuò)位相減法求和,題干都是以等差數(shù)列、等比數(shù)列為命題背景,該題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,真題則是考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

3 變式研究

通過(guò)對(duì)真題的分析發(fā)現(xiàn),解決數(shù)列問(wèn)題首先應(yīng)掌握數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),要掌握常見(jiàn)的數(shù)列求和方法.下面以母題為原型,對(duì)該題進(jìn)行深入探究,作出以下變式,供讀者賞析.

變式1 已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為Sn,且a1,a3,a7成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;