考慮軸力作用下盾構(gòu)下穿引起既有隧道變形解析解

喬曉延,齊曉強(qiáng)

(1.中交第二公路工程局有限公司,西安 710065； 2.青島理工大學(xué)土木工程學(xué)院,青島 266033)

引言

隨著城市化進(jìn)程的不斷推進(jìn)，城市地下空間發(fā)展已成為解決城市擁擠的一個(gè)重要途徑。城市新建地鐵線路很大程度上會(huì)對(duì)鄰近結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)，也不可避免地下穿鄰近既有運(yùn)營(yíng)線。對(duì)于如何合理評(píng)估隧道下穿既有線的影響已得到越來越多專家學(xué)者的青睞。

目前研究方法有實(shí)測(cè)分析[1-3]、有限元模擬[4-5]和室內(nèi)實(shí)驗(yàn)[6-7]方法，但理論解析的方法更為簡(jiǎn)潔實(shí)用，可用來初步評(píng)估既有隧道在隧道下穿作用下的響應(yīng)應(yīng)答。該方法主要基于兩階段法，第一階段Loganathan等[8]提出的能夠估算隧道開挖引起周邊土體位移場(chǎng)變化的土體自由位移公式；第二階段將隧道簡(jiǎn)化成梁?jiǎn)卧?，擱置在地基模型上獲得隧道變形控制方程；最后，解析方程獲得隧道變形及其內(nèi)力應(yīng)答。王海濤等[9]基于修正Winkler地基模型[10]，采用兩階段法和傅里葉級(jí)數(shù)的解法獲得新建隧道引起上覆管線變形矩陣解；李海麗等[11]基于Winkler地基模型和兩階段法，通過考慮土體模量對(duì)土與結(jié)構(gòu)相互作用的影響獲得下穿隧道對(duì)上覆既有管線變形的解析解；LIU等[12]考慮土體反力是非線性關(guān)系，并基于Winkler地基模型獲得盾構(gòu)下穿引起上方隧道變形解析解；梁榮柱等[13-14]用Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁模擬隧道單元，并將梁體擱置在Winkler地基模型上，分別獲得下穿隧道引起上覆隧道變形解析解和簡(jiǎn)化計(jì)算方法；甘曉露等[15]采用兩階段法和Winkler地基模型，基于隧道開挖上浮效應(yīng)獲得既有隧道在盾構(gòu)下穿時(shí)變形半解析解。由于Winkler地基模型缺乏考慮土與結(jié)構(gòu)相互作用中土體剪切影響，使得解析理論結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)有所差別。為克服這一缺點(diǎn)，Pasternak提出了Pasternak彈性地基模型[16]來預(yù)測(cè)土與結(jié)構(gòu)相互作用的力學(xué)理論；林存剛等[17]基于Pasternak地基模型和Euler-Bernoulli梁理論，獲得下穿隧道引起上覆非連續(xù)性管線變形簡(jiǎn)化計(jì)算方法；管凌霄等[18]基于Timoshenko梁和Pasternak地基模型，解析獲得隧道下穿引起上覆管線變形； LIANG等[19]引入非線性Pasternak地基模型，利用牛頓迭代法獲得了非線性土體下，上覆隧道在盾構(gòu)下穿作用下的簡(jiǎn)化計(jì)算方法；甘曉露等[20]基于Pasternak地基模型和兩階段法，獲得新建雙隧下穿施工引起上覆隧道沉降變形半解析解。綜上所述，下穿隧道施工引起既有隧道變形響應(yīng)的解析方法大多數(shù)停留在單參數(shù)Winkler和雙參數(shù)Pasternak地基模型，較少有人考慮到精度更高的Kerr地基模型[21]，馮國(guó)輝等[22-23]與ZHANG等[24]均指出Kerr地基模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合較好。

在已有研究基礎(chǔ)上提出了一種新簡(jiǎn)化計(jì)算方法，采用Loganathan公式[8]獲得隧道開挖引起上覆隧道軸線處的土體自由位移，將土體自由位移附加在既有隧道上，將既有隧道簡(jiǎn)化成無限長(zhǎng)的Euler-Bernoulli梁擱置在三參數(shù)Kerr地基模型，并將既有隧道軸力納入考慮的范圍，結(jié)合兩階段法獲得隧道變形響應(yīng)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。通過與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，本文方法計(jì)算結(jié)果較為符合；與本文方法退化解對(duì)比，本文方法的解析結(jié)果更具有優(yōu)越性。隨后系統(tǒng)分析了地層損失率、新建隧道埋深、新建隧道直徑變化對(duì)既有隧道應(yīng)力應(yīng)變的影響。

1 分析過程

1.1 土體自由豎向位移場(chǎng)

1998年Loganathan提出盾構(gòu)開挖引起鄰近土體自由位移場(chǎng)的表達(dá)式如下

(1)

式中，R為隧道半徑；H為隧道軸線深度；x為既有隧道到開挖隧道中心線的水平距離；z為距地表垂直距離；ε為等效地層損失比；υ為土體泊松比。

考慮到實(shí)際工程大部分盾構(gòu)隧道與鄰近隧道軸線不垂直的情況，如圖1所示，當(dāng)隧道軸線與舊隧道軸線存在夾角α?xí)r，式(1)可修正為

S(x，z)=ε0R2×

(2)

圖1 新舊隧道相交示意

1.2 既有隧道受力控制方程建立

如圖2所示，隧道與土體相互作用采用三參數(shù)Kerr地基模型，且隧道和周圍土體共同變形。假定盾構(gòu)下穿引起上覆隧道的附加應(yīng)力為q，由Kerr地基模型特性可知，在該附加應(yīng)力作用下既有隧道豎向撓度為

w=w1+w2

(3)

式中，w1為上層彈簧的變形量；w2為剪切層變形量。假設(shè)既有隧道及剪切層下側(cè)的應(yīng)力分別為

p1=cw1=c(w-w2)

(4)

p2=kw2

(5)

式中，c為上層彈簧剛度；k為下層彈簧剛度。對(duì)于剪切層[16]，有

(6)

式中，G為剪切層剛度。通過式(4)、式(6)，可以得到

(7)

將隧道簡(jiǎn)化成無限長(zhǎng)的Euler-Bernoulli梁擱置在Kerr地基模型上，并將隧道二階軸力效應(yīng)納入考慮的范圍，可獲得其微元段豎向力平衡控制方程為

(8)

式中，w為隧道位移；EI為既有隧道抗彎剛度；N為軸向壓力；D為隧道直徑；q為隧道受到的附加應(yīng)力，其大小為

q=cS(x，z)

(9)

式中，c為Kerr地基模型上層彈簧剛度；S(x，z)可由式(2)得到，其中，z為既有隧道軸線埋深。

結(jié)合式(7)、式(8)可知

(10)

圖2 Kerr地基下隧土相互作用模型

1.3 Kerr地基模型參數(shù)確定

Kerr地基模型參數(shù)的確定對(duì)于計(jì)算結(jié)果的正確性起到關(guān)鍵作用，根據(jù)簡(jiǎn)化彈性空間法可得

c=3k，k=4Es/3z，G=2Esz/9(1+ν)

(11)

式中，Es和ν分別為土體彈性模量和泊松比；z為既有隧道軸線埋置深度。然而，簡(jiǎn)化彈性空間法雖然操作簡(jiǎn)便，但由于引入較多假設(shè)，此時(shí)會(huì)造成計(jì)算精度并不高，故需調(diào)整各個(gè)參數(shù)的取值來滿足實(shí)測(cè)要求。為得到更精確的計(jì)算結(jié)果，馮國(guó)輝等[23]提出了基于有限元方法驗(yàn)證得到的修正地基基床系數(shù)，即

c=7k，k=4Es/3z，G=2Esz/9(1+ν)

(12)

1.4 控制方程的求解

式(10)為6階微分方程，由于其較難獲得解析解，采用差分解獲得其數(shù)值解。將既有隧道離散為m+7個(gè)點(diǎn)(其中兩端存在6個(gè)虛點(diǎn))，相鄰虛點(diǎn)之間間距為l，且l=L/m，其中，L為既有隧道長(zhǎng)度。隧道離散化如圖3所示。

圖3 既有隧道離散

此時(shí)，式(10)可簡(jiǎn)化成

t(6)+χ1t(4)+χ2t(2)+χ3t=χ4

(13)

式中，t(n)為w2的n階導(dǎo)數(shù)；χ1、χ2、χ3、χ4分別為

(14)

根據(jù)實(shí)際兩端邊界條件進(jìn)行簡(jiǎn)化，無限長(zhǎng)隧道兩端受下穿隧道開挖的影響很小，可將既有隧道兩端簡(jiǎn)化成兩個(gè)自由端，這樣便可消去隧道兩端6個(gè)虛擬單元，其矩陣形式為

(15)

式中{t}，[F]表示如下

(16)

[K]可表示為

(17)

此時(shí)，得到為w2(x)位移的半解析解，通過式(7)即可得到隧道縱向位移w(x)。同時(shí)，也可得到隧道彎矩和剪力如下

(18)

(19)

值得注意的是，當(dāng)隧道軸力N=0時(shí)，本文解析將退化成只有附加應(yīng)力作用下的既有隧道變形響應(yīng)(EB-K模型)。當(dāng)軸力N=0且Kerr地基模型中參數(shù)c=0時(shí)，隧道-土之間相互作用將退化成Pasternak地基模型(EB-P模型)。

2 算例驗(yàn)證

2.1 工程概況

JIN等[1]曾報(bào)道過深圳地鐵9號(hào)線雙線隧道下穿既有4號(hào)線隧道的工程案例。取9號(hào)線左線下穿既有隧道的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與本文方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。如圖4所示，新建隧道與既有隧道埋深分別為H=20.5 m和z=12.0 m，兩隧道軸線夾角為α=83°，兩隧道外徑均為6 m，襯砌厚度為30 cm。由文獻(xiàn)[20]可知，既有隧道抗彎模量為EI=1.17×108kN·m，新建隧道引起的地層損失率為ε=0.5%。其土體彈性模量為Es=62.5 MPa[20]，土體泊松比υ=0.3。考慮到既有隧道軸力的影響，根據(jù)文獻(xiàn)[2]，可取既有隧道管片間拼裝軸力為80 MN。

圖4 兩隧之間相對(duì)位置簡(jiǎn)化(單位：m)

2.2 計(jì)算結(jié)果分析與比較

圖5為本文計(jì)算結(jié)果與工程監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比，其監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[1]。由圖5可見，本文方法和本文方法退化解(EB-K模型和EB-P模型)與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果趨勢(shì)一致。既有隧道豎向變形主要發(fā)生在距離隧道中軸線兩側(cè)40 m范圍內(nèi)，與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分布規(guī)律相符合。采用本文方法計(jì)算得到隧道沉降位移為5.4 mm；本文退化EB-K模型(即不考慮本文提出的側(cè)向土體作用時(shí))計(jì)算結(jié)果稍微較大，其位移峰值為5.8 mm；EB-P模型(即將既有隧道簡(jiǎn)化成Euler-Bernoulli梁擱置在Pasternak地基模型上)計(jì)算結(jié)果明顯偏大，隧道最大位移為7.1 mm。造成這一現(xiàn)象的原因在于本文提出的既有隧道軸力作用，使得隧道縱向長(zhǎng)度上管片更加緊密，既有隧道抵抗變形的能力增強(qiáng)，顯然會(huì)減小隧道沉降；此外，Pasternak地基模型未考慮多參數(shù)對(duì)隧道位移預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，其計(jì)算數(shù)值也會(huì)偏大。與本文方法的退化解相比較，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)最大隧道位移為5.3 mm[1]，明顯本文方法計(jì)算結(jié)果更加符合監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。在同等條件下，本文方法可作為一種快速評(píng)價(jià)盾構(gòu)下穿對(duì)既有隧道影響的工具，對(duì)實(shí)際工程具有一定指導(dǎo)意義。

圖5 隧道縱向計(jì)算、有限元及監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比曲線

圖6 隧道縱向內(nèi)力分布對(duì)比曲線

圖6為本文方法及其退化解計(jì)算得到的既有隧道縱向彎矩和剪力對(duì)比曲線。由圖6可知，本文方法計(jì)算結(jié)果與本文退化解EB-K計(jì)算結(jié)果相近，但本文方法結(jié)果偏小，而EB-P模型計(jì)算結(jié)果明顯偏大，這和Pasternak地基模型預(yù)測(cè)隧道變形步調(diào)一致，由于未能考慮到多參數(shù)因素對(duì)土與結(jié)構(gòu)相互作用的影響。因此，本文方法及EB-K模型在預(yù)測(cè)土與結(jié)構(gòu)相互作用時(shí)有很大優(yōu)勢(shì)，進(jìn)一步說明本文方法的合理性。

此外，由圖6還可以看出：隧道彎矩變化曲線沿隧道中心軸線成正對(duì)稱分布，最大正彎矩(隧道下側(cè)受拉)位于隧道中心點(diǎn)處，明顯大于隧道最大負(fù)彎矩值；隧道剪力變化曲線沿隧道中心點(diǎn)成中心對(duì)稱分布，最大剪力出現(xiàn)在離隧道中心點(diǎn)處4 m處。這些內(nèi)力峰值出現(xiàn)的位置均為危險(xiǎn)截面，在實(shí)際工程中需予以重視。

3 參數(shù)分析

為研究隧道應(yīng)力應(yīng)變與關(guān)鍵工程參數(shù)的關(guān)系，建立如下工程案例：既有隧道和開挖隧道直徑均為D=D0=6 m，既有隧道和開挖隧道軸線埋深分別為z=10 m和H=20 m，土體泊松比為υ=0.3，新舊隧道平面夾角為α=90°，土體模量Es=60 MPa，既有隧道抗彎剛度為EI=1.17×108kN·m，新建隧道造成地層損失率為ε=1%。

3.1 地層損失率影響

圖7、圖8分別為不同地層損失率下對(duì)既有隧道縱向位移及彎矩影響曲線。由圖7、圖8可以看出，隧道縱向位移和彎矩變化曲線沿隧道軸線對(duì)稱分布，當(dāng)距離隧道中心線為0時(shí)，隧道縱向位移變形量和彎矩值最大；隨著地層損失率增大，隧道縱向位移量和彎矩均會(huì)隨之增大，說明地層損失率越大，盾構(gòu)下穿既有隧道就越危險(xiǎn)；同時(shí)，隨著地層損失率的線性增大，隧道變形位移及其彎矩也會(huì)出現(xiàn)線性增大；筆者認(rèn)為由于隨著地層損失率的增大，既有隧道軸線處受到的附加應(yīng)力呈線性增大，致使隧道每個(gè)位置處的下沉位移會(huì)與地層損失率線性相關(guān)。還可以看出，隧道中軸線的位移峰值和彎矩峰值最大的，因此，在實(shí)際工程中，應(yīng)盡可能地減小盾構(gòu)開挖對(duì)周邊土體的擾動(dòng)以減小地層損失率，從而從根本上保證既有隧道安全。

圖7 不同地層損失率下隧道位移曲線

圖8 不同地層損失率下隧道彎矩曲線

3.2 新建隧道軸線埋深影響

圖9為不同隧道軸線埋深下隧道縱向最大位移wmax和最大彎矩Mmax變化曲線。由圖9可以看出，新建隧道埋深由18 m增加至28 m過程中，既有隧道縱向位移從15.6 mm逐漸減小到10.3 mm，降幅接近34%，減小速率基本不變。還可以看出，增大新建隧道埋深時(shí)，隧道彎矩從6.7 MN·m逐漸減小至2.0 MN·m，彎矩降幅接近70%。隨著新建隧道埋深增加，盾構(gòu)開挖引起既有隧道軸線處的附加應(yīng)力在土層中逐漸消散，導(dǎo)致隧道縱向位移變形及彎矩均大幅度減小。相比于隧道縱向位移變化，隧道彎矩變化更為敏感，但總的來說，新建隧道埋深變化是引起既有隧道受力變形的敏感參數(shù)，這對(duì)于指導(dǎo)實(shí)際工程具有一定意義，實(shí)際工程中可盡可能增加盾構(gòu)開挖深度來降低對(duì)上覆既有隧道的影響。

圖9 不同新建隧道軸線埋深下隧道最大位移和彎矩變化曲線

3.3 新建隧道直徑影響

圖10為不同隧道軸線埋深下隧道縱向最大位移wmax和最大剪力Qmax變化曲線。由圖10可以看出，隨著新建隧道直徑增大，既有隧道縱向位移從14.6 mm逐漸增大到47.7 mm，增幅高達(dá)2.27倍，增速基本不變。還可以看出，新建隧道直徑從6 m增加至11 m過程中，隧道剪力從0.61 MN逐漸增加至1.91 MN，剪力增幅高達(dá)2.13倍，增速基本不變。隨著新建隧道開挖直徑增大，盾構(gòu)開挖引起既有隧道軸線處的附加應(yīng)力也會(huì)逐漸增大，導(dǎo)致既有隧道縱向位移變形及剪力均大幅度增大，說明新建隧道開挖直徑變化是引起既有隧道受力變形的敏感參數(shù)，在實(shí)際工程中可通過減小盾構(gòu)開挖直徑來保護(hù)既有上覆隧道應(yīng)力應(yīng)變的安全性。

圖10 不同新建隧道直徑下隧道最大位移和剪力變化曲線

4 結(jié)論

(1)基于兩階段方法，采用Loganathan公式獲得盾構(gòu)下穿引起鄰近土體自由位移，將土體自由位移施加在既有隧道上，土與結(jié)構(gòu)相互作用采用三參數(shù)Kerr地基模型，引入軸力對(duì)既有隧道的影響因素獲得既有隧道沉降變形解析。

(2)將收集到既有文獻(xiàn)中的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與本文計(jì)算方法結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的有效性；相比于本文方法可退化的EB-K模型和EB-P模型，本文方法更具有優(yōu)越性。

(3)對(duì)盾構(gòu)開挖下穿引起既有隧道受力變形不同影響因素的研究結(jié)果表明：地層損失率增大會(huì)使得既有隧道位移及其內(nèi)力線性增大；開挖隧道埋深增大會(huì)引起既有隧道位移和內(nèi)力減??；增大開挖隧道直徑會(huì)顯著增大既有隧道的變形及其內(nèi)力。