考慮擁堵指數(shù)的城市群復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型

霍非舟，梅依云，呂 偉 ，董格力

(1. 武漢理工大學 中國應急管理研究中心，湖北 武漢 430070；2. 武漢理工大學 安全科學與應急管理學院，湖北 武漢 430070)

0 引言

近年來，隨著區(qū)域一體化不斷發(fā)展，城市群中的各城市之間存在一定的親密度[1]，城市群中某車站或路段失效往往伴隨著多站點或多路段的失效，因而提高城市群交通網(wǎng)絡的抗毀性對于城市群交通網(wǎng)絡應急管理能力的提高有重要意義。

長期以來，網(wǎng)絡級聯(lián)失效思想不斷演進豐富。級聯(lián)失效思想早期多運用于計算機網(wǎng)絡和電力網(wǎng)絡[2-4]。在復雜信息網(wǎng)絡方面，部分學者對計算機網(wǎng)絡中的層級網(wǎng)絡、無標度網(wǎng)絡中的級聯(lián)失效進行了魯棒性分析[5-6]。Sun等[7]構建了多螺旋供應鏈復雜網(wǎng)絡演化模型，并對級聯(lián)失效進行了魯棒性分析。目前，學者們針對信息網(wǎng)絡中級聯(lián)失效機制及級聯(lián)失效網(wǎng)絡節(jié)點流量恢復策略、負載再分配全局模型、識別網(wǎng)絡級聯(lián)故障中的關鍵節(jié)點進行了大量研究[8-11]。Xu等[12]探究了資源分配對級聯(lián)故障時無標度網(wǎng)絡恢復的影響。梁悼騫等[13]基于節(jié)點容忍負載的能力調整了負載重分配策略。在電力網(wǎng)絡系統(tǒng)方面，針對供電系統(tǒng)、核電力廠，對關鍵級聯(lián)失效場景下的電網(wǎng)經(jīng)濟進行了改造，建立了電力保護系統(tǒng)[14-15]。近年來，將級聯(lián)失效概念應用于復雜交通網(wǎng)絡后，針對級聯(lián)失效后網(wǎng)絡恢復問題提出了多種負載分配方法。Ma等[16]在雙層復雜網(wǎng)絡動態(tài)流量中引入了交付能力分配策略，新的分配策略與平均分配策略相比能顯著提高交通系統(tǒng)抗毀性。王世波等[17]針對交通擁堵問題提出了非線性負載重分配模型。王國娟等[18]基于復雜網(wǎng)絡設計了公交站點失效優(yōu)化方案。王德龍等[19]基于蓄意攻擊研究了機場交通網(wǎng)絡的抗毀性。毛劍楠等[20]考慮城市基礎經(jīng)濟、拓撲網(wǎng)絡結構以及聯(lián)系強度，提出了一種新的城市群綜合節(jié)點重要度識別方法。

綜上所述，目前對于級聯(lián)失效的研究大多是針對計算機信息網(wǎng)絡和電力系統(tǒng)網(wǎng)絡，近幾年許多學者將級聯(lián)失效概念引入城市群復雜交通網(wǎng)絡，進而對復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型有了一定研究成果。但是，現(xiàn)有的復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型沒有考慮道路堵塞對級聯(lián)失效負載分配的影響，所以本研究擬構建城市群復雜交通網(wǎng)絡，考慮擁堵指數(shù)，建立城市群復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型，從而增強城市群復雜交通網(wǎng)絡抗毀性，為城市群復雜交通網(wǎng)絡布局提供參考，保障城市群復雜交通系統(tǒng)的正常運行。

1 城市群復雜交通網(wǎng)絡模型

1.1 建立城市群復雜交通網(wǎng)絡

基于城市交通網(wǎng)絡已有的研究成果[21-23]，為建立城市群復雜交通網(wǎng)絡，將多個獨立交通網(wǎng)絡進行疊加，如圖1所示，具體方法如下：

圖1 城市群復雜交通網(wǎng)絡示意圖

(1)將汽車站作為節(jié)點，若汽車站之間有高速公路直接相連，則2個汽車站相鄰，2個節(jié)點之間有1條連邊。

(2)將火車站作為節(jié)點，若有鐵路直接連接2個火車站，則2個火車站相連，2個點之間有1條連邊。

(3)合并城市里的所有汽車站，由于城市中所有長途客運站的汽車要到達其他相同站點途徑同一條高速公路，所以每個城市只取最大的1個汽車客運站作為汽車站點。

(4)連接同一城市的汽車站和火車站點，若2個點之間有多條線路相連，則合并為1條。

在構建城市群復雜交通網(wǎng)絡時不考慮道路的方向性，城市群交通網(wǎng)絡為無向網(wǎng)絡G=(V,E)，式中V={v1,v2,v3,v4,…,vn}，vn為編號為n的節(jié)點；n為節(jié)點總數(shù)；E={e1,e2,e3,e4,…,em}，em為編號為m的連邊；m為網(wǎng)絡中連邊的總數(shù)；鄰接矩陣A={aij}N×N，其中N為節(jié)點總數(shù)，aij表示為：

式中，i和j為節(jié)點；節(jié)點i的度ki為與i相連連邊數(shù)，記為：

(1)

1.2 攻擊策略

邊介數(shù)指網(wǎng)絡中經(jīng)過該邊的最短路徑數(shù)與總最短路徑數(shù)的比值[24]。具體攻擊策略有以下4種。

(1)隨機節(jié)點攻擊：隨機攻擊定量節(jié)點。

(2)蓄意節(jié)點攻擊：按照節(jié)點度從大到小對節(jié)點依次進行攻擊。

(3)隨機連邊攻擊：隨機攻擊定量連邊。

(4)蓄意連邊攻擊：按照邊介數(shù)從大到小對連邊依次進行攻擊。

假設節(jié)點失效的情況下不考慮連邊狀態(tài)，即在考慮節(jié)點失效時，連邊無初始負載無容量限制；假設連邊失效情況下則不考慮節(jié)點狀態(tài)，即在連邊失效的情況下節(jié)點無初始負載無容量限制。

2 考慮擁堵指數(shù)的復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型

在構建考慮擁堵指數(shù)的城市群復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型時，假設節(jié)點和連邊被攻擊后在試驗期間沒有恢復能力。

2.1 相關變量定義

2.1.1 初始負載

初始負載包括節(jié)點初始負載和連邊初始負載。

(1)節(jié)點初始負載

參考已有研究[25]，重新定義節(jié)點的初始負載：

(2)

(2)連邊初始負載

(3)

式中kj為節(jié)點j的度。

2.1.2 容量

(1)節(jié)點容量

節(jié)點容納負載的能力與初始負載密切相關，所以定義節(jié)點容量：

(4)

式中，Ci為節(jié)點i的容量；β為網(wǎng)絡負載容忍系數(shù)，且β>0。

(2)連邊容量

考慮連邊容量正比于初始負載，定義連邊容量：

(5)

式中Ceij為連邊eij的容量。

2.1.3 擁堵指數(shù)

隨著交通網(wǎng)絡的發(fā)展，日出行量越來越高，交通擁塞影響著人們出行路徑的選擇。針對交通擁塞的衡量，采用擁堵指數(shù)衡量交通擁堵狀態(tài)，具體定義為實際通過路段時間與路段無其他車輛時通過道路時間的比值，表達式為：

(6)

式中，F(xiàn)eij為連邊eij的擁堵指數(shù)；Ta為實際行駛時間；Tf為路段暢通時行駛時間。若節(jié)點vi和vj不相連，或vi和vj之間連邊失效，則Feij=+∞。

2.2 負載重分配模型

負載重分配發(fā)生在城市群復雜交通網(wǎng)絡節(jié)點或連邊失效和級聯(lián)失效之后，原本在節(jié)點和連邊的負載被迫分配到相鄰節(jié)點和連邊。相鄰連邊表示除連邊本身之外與連邊端點直接相連的所有連邊。節(jié)點和連邊負載重分配對復雜交通網(wǎng)絡的抗毀性有很大影響。

圖2為復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效負載分配示意圖。攻擊節(jié)點k從而導致節(jié)點k喪失全部功能，節(jié)點k的全部負載將按比例分別向A1，A2，A3，A4，A5分配，節(jié)點被分配負載較多，則節(jié)點與k連線較粗，節(jié)點被分配負載較少，則節(jié)點與k連線較細。當節(jié)點A1，A2，A3，A4，A5接受來自k的負載后可能會由于過載發(fā)生進一步失效，此時發(fā)生失效的節(jié)點可以視為“暫停節(jié)點”，即可恢復正常的節(jié)點，例如節(jié)點A1和A3。對節(jié)點A1和A3的負載進行分配，將超過容量的負載分配到相連節(jié)點，循環(huán)往復，直到所有節(jié)點恢復，級聯(lián)失效過程結束。當連邊eij的所有負載向相鄰連邊eiA5，eiA8，eiA7，eiA6分配，連邊接受負載后可能處于過載狀態(tài)，例如連邊ejA6。此時發(fā)生失效的連邊稱為“暫停連邊”，即通過重分配多余負載可恢復正常。將連邊ejA6過載的負載分配到相鄰連邊，直至網(wǎng)絡恢復正常，級聯(lián)失效過程結束?；谪撦d重分配時交通擁堵也是影響負載分配的一個重要因素，所以結合剩余容量和網(wǎng)絡擁堵指數(shù)建立負載重分配模型。在t時刻，節(jié)點i被攻擊，若節(jié)點j與i相連，則節(jié)點j接收負載比例表示為：

圖2 級聯(lián)失效負載分配示意圖

(7)

式中，ωi→j為節(jié)點i負載由i→j的比例；Γ為與節(jié)點i相連所有節(jié)點集合；Cj和Lj分別為節(jié)點j的容量和負載；Cm和Lm分別為節(jié)點m的容量和負載；Fj為i→j的擁堵指數(shù)；Fm為i→j的擁堵指數(shù)；σ為剩余容量權重；δ為擁堵指數(shù)權重；σ>0，δ>0且σ+δ=1。所以，節(jié)點j增加的負載ΔLj為：

(8)

式中Li為節(jié)點i的負載。

更新節(jié)點j的負載：

Lj(t+1)=Lj(t)+ΔLj=Lj(t)+Li×

(9)

判斷Lj(t+1)

ΔLj1=(Lj(t+1)-Cj)×ωj→j1，

(10)

式中，ωi→j1為節(jié)點j負載由j→j1的比例，可根據(jù)式(7)可得。按照式(9)更新節(jié)點j1的負載，重復操作直到節(jié)點恢復正常。

假設連邊eij在t時刻發(fā)生失效，那么，相鄰連邊的負載分配比例為：

(11)

式中，ωeij→e1為相鄰連邊e1分配到的負載比例；Λ為與連邊eij的相鄰連邊集合；e1為與失效連邊eij相連的其中1個相鄰連邊；Ce1和Le1分別為節(jié)點j的容量和負載；Fe1和eij→e1分別為節(jié)點m的容量和負載；Fe1為eij→e1的擁堵指數(shù)；Fek為eij→ek的擁堵指數(shù)。

連邊e1增加的負載ΔLe1為：

(12)

式中Leij為邊eij的負載。

更新連邊e1的負載：

Le1(t+1)=Le1(t)+ΔLe1=Le1(t)+Leij×

(13)

若Le1(t+1)>Ce1，則網(wǎng)絡發(fā)生進一步失效，參考式(11)，e1的鄰邊e2增加的負載為：

ΔLe2=(Le1(t+1)-Ce1)×ωe1→e2，

(14)

式中ωe1→e2為e1負載由e1→e2的比例。

按照式(13)更新連邊e2的負載，重復操作直到連邊恢復正常。

2.3 級聯(lián)失效抗毀性評估指標

為衡量節(jié)點或連邊失效對城市群復雜交通網(wǎng)絡的影響，采用級聯(lián)失效規(guī)模來對網(wǎng)絡進行抗毀性評估。表達式為：

(15)

(16)

式中，CFN1和CFN2分別為節(jié)點和連邊級聯(lián)失效規(guī)模；N′為節(jié)點失效導致其他節(jié)點失效的數(shù)目；M′為連邊失效導致其他連邊失效的數(shù)目；M為連邊總數(shù)。

2.4 城市群復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型

圖3為城市群復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效仿真流程圖。具體步驟如下。

圖3 城市群復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效仿真流程圖

Step 1：構建城市群復雜交通網(wǎng)絡。將各城市里的火車站、汽車站視作復雜網(wǎng)絡節(jié)點，2個節(jié)點間若能直接到達則連接2個節(jié)點，構建鄰接矩陣A。

Step 3：確定攻擊策略。攻擊節(jié)點vi或連邊eij，令攻擊的節(jié)點或連邊失效。

Step 4：對失效節(jié)點或連邊進行負載重分配。將失效節(jié)點或連邊的負載按式(7)～(9)分配給相鄰節(jié)點，或按式(11)～(13)分配給相鄰連邊，更新復雜網(wǎng)絡節(jié)點負載或連邊負載，判斷Lj是否大于容量Cj，若是，則進行Step 5，否則轉跳至Step 7。

Step 5：級聯(lián)失效節(jié)點或連邊負載重分配。將級聯(lián)失效節(jié)點或連邊過載部分的負載按式(10)或式(14)分配到相連節(jié)點或連邊。

Step 6：更新負載，判斷是否有新節(jié)點處于“暫停狀態(tài)”。節(jié)點或連邊是否存在Lj>Cj或Leij>Ceij的情況，若存在，則返回Step 5，否則進行Step 7。

Step 7：級聯(lián)失效過程結束。計算級聯(lián)失效規(guī)模變化。

3 實例研究

以長江中游城市群交通網(wǎng)絡為對象，根據(jù)1.1節(jié)建立長江中游城市群復雜交通網(wǎng)絡，得到如圖4所示的網(wǎng)絡拓撲圖，節(jié)點數(shù)N=108，連邊數(shù)M=336。

圖4 長江中游城市群復雜交通網(wǎng)絡拓撲圖

3.1 擁堵指數(shù)權重對城市群交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效影響

3.1.1 隨機節(jié)點攻擊下級聯(lián)失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，在攻擊不同節(jié)點數(shù)下，調整δ進行隨機節(jié)點攻擊下級聯(lián)失效仿真，每個試驗進行50次后取平均值，結果如圖5所示。

圖5 隨機節(jié)點攻擊下?lián)矶轮笖?shù)權重對級聯(lián)失效規(guī)模影響

由圖5可得，隨著失效節(jié)點數(shù)i的增加，級聯(lián)失效規(guī)模也明顯增大。在不發(fā)生道路擁塞的情況下，即σ=1，β=0時，網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模達到最小值，在只考慮道路擁塞的情況下，即σ=1，δ=1時，網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模達到最大值，這表明交通擁堵會導致交通網(wǎng)絡進一步失效。當δ<0.1時，隨著δ的增加，級聯(lián)失效規(guī)模明顯增大；當δ>0.1時，隨著δ的增加，級聯(lián)失效規(guī)模變化較小。因此在隨機節(jié)點失效的情況下，交通擁堵會擴大網(wǎng)絡級聯(lián)失效影響，當擁堵指數(shù)權重到一定閾值，交通擁堵對網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模影響較小。

3.1.2 蓄意節(jié)點攻擊下級聯(lián)失效仿真

為研究在考慮擁堵指數(shù)情況下，城市群復雜交通網(wǎng)絡節(jié)點在蓄意攻擊下級聯(lián)失效規(guī)模變化，令α=4，τ=1.6，β=0.1。仿真結果如圖6所示。

圖6 蓄意節(jié)點攻擊下?lián)矶轮笖?shù)權重對級聯(lián)失效規(guī)模影響

由圖6可得，級聯(lián)失效規(guī)模隨著失效節(jié)點數(shù)i增加而增加，σ=1，δ=0時，網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模最??；σ=0，δ=1時，網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模最大。當δ<0.1時，隨著δ增加，級聯(lián)失效規(guī)模急劇上升；當0.1<δ<0.3時，隨著δ的增加，級聯(lián)失效規(guī)模呈下降趨勢，δ>0.3時，級聯(lián)失效規(guī)模緩慢增加，說明在蓄意節(jié)點失效情況下，擁堵指數(shù)權重存在2個閾值δm和δn(δm<δn)。當δ=δm時，級聯(lián)失效規(guī)模從隨著δ上升轉為隨著δ下降；當δ=δn時，在考慮擁塞時，級聯(lián)失效規(guī)模從下降轉為隨著δ上升。這表明擁堵指數(shù)權重到一定程度會使級聯(lián)失效規(guī)模下降。同時與隨機節(jié)點失效相比，蓄意節(jié)點失效造成的后果更嚴重，對網(wǎng)絡影響范圍更廣泛。

3.1.3 隨機連邊攻擊下級聯(lián)失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，探究在隨機連邊攻擊下，擁堵指數(shù)權重和級聯(lián)失效規(guī)模的關系，每組試驗進行50次后對級聯(lián)失效規(guī)模求均值，得到如圖7所示結果。

圖7 隨機連邊攻擊下?lián)矶轮笖?shù)權重對級聯(lián)失效規(guī)模影響

從圖7可以看出，當δ<0.2時，CFN2為0，復雜網(wǎng)絡不發(fā)生級聯(lián)失效，失效連邊數(shù)和δ對級聯(lián)失效規(guī)模沒有影響；當δ>0.2時，隨著δ的增大，級聯(lián)失效規(guī)模不斷上升，直至δ=1，級聯(lián)失效規(guī)模達到最大值。這表明在隨機連邊失效情況下，當δ小于0.2時，擁堵對CFN2無影響；當δ>0.4時，i越大，CFN2越大，且當δ增大時，級聯(lián)失效規(guī)模變化較快，說明擁堵指數(shù)權重達到一定程度后，隨著擁堵指數(shù)權重的增加，級聯(lián)失效規(guī)模也不斷增加。對比圖4，級聯(lián)失效規(guī)模比隨機節(jié)點攻擊下要小，這是由于連邊的相鄰連邊個數(shù)多于節(jié)點相連邊個數(shù)，在負載分配時接受分配的連邊越多，越不容易發(fā)生級聯(lián)失效。

3.1.4 蓄意連邊攻擊情況下級聯(lián)失效仿真

為研究在連邊蓄意攻擊情況下，擁堵指數(shù)權重和級聯(lián)失效規(guī)模的關系，令α=4，τ=1.6，β=0.1，結果如圖8所示。

由圖8可得，蓄意連邊失效比隨機連邊失效產(chǎn)生的后果更嚴重，這是因為蓄意失效的連邊是介數(shù)較大的邊，所以需要分配的負載就更多，導致連邊更容易發(fā)生級聯(lián)失效。擁堵指數(shù)權重δ存在閾值δc，當δ<δc，網(wǎng)絡不發(fā)生級聯(lián)失效，i越大δc越小，例如當i=10時，δc=0.6，當i=40時，δc=0.3，但i=50時，不存在閾值δc，這是由于失效連邊數(shù)足夠大時，復雜交通網(wǎng)絡越易發(fā)生級聯(lián)失效，δ越大，CFN2越大。δ=0時CFN2達到最大值，i越大級聯(lián)失效規(guī)模越大。

對比圖5～圖8可知，節(jié)點失效比連邊失效對交通網(wǎng)絡的級聯(lián)失效影響更大，因此，對于大型城市群交通網(wǎng)絡，要注意維護重要節(jié)點的正常運行，在交通擁堵情況下，調整擁堵指數(shù)權重，使得剩余容量和擁堵指數(shù)保持相對平衡可以減少級聯(lián)失效規(guī)模。

3.2 節(jié)點和連邊重要性評估

為研究長江中游城市群交通網(wǎng)絡節(jié)點和連邊的重要性，令α=4，τ=1.6，β=0.1，σ=0.5，δ=0.5，假設每個節(jié)點或者連邊單獨失效，研究城市群交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效過程，得到如圖9和圖10所示結果。

圖9 節(jié)點單獨失效對級聯(lián)失效規(guī)模影響

圖10 連邊單獨失效對級聯(lián)失效規(guī)模影響

從圖9和圖10可得長江中游城市群復雜交通網(wǎng)絡中的重要節(jié)點和連邊。并且可得交通網(wǎng)絡節(jié)點級聯(lián)失效規(guī)模平均值為4.094 39×10-4，交通網(wǎng)絡連邊級聯(lián)失效規(guī)模平均值為2.851 65×10-5，所以，節(jié)點失效相比于連邊失效對于網(wǎng)絡級聯(lián)失效影響更大。取最易發(fā)生級聯(lián)失效前5個節(jié)點和最易發(fā)生級聯(lián)失效前5條路段，如表1所示。

由表1可看出，在對長江中游城市群復雜交通網(wǎng)絡日常維護和管理時，要特別注意武昌站、武漢汽車站、武漢站、漢口站、咸寧汽車站、長沙站、長沙南站、九江汽車站等9個站點的狀態(tài)，保證復雜交通網(wǎng)絡系統(tǒng)正常運行。天門南站—仙桃西站、孝感北—孝感汽車站、咸寧汽車站—南昌站、仙桃汽車站—天門汽車站、潛江汽車站—潛江站、天門汽車站—孝感汽車站、武昌站—襄州站、襄陽站—襄州站、黃石北—黃石客運站、大治北站—黃石站等50個路段需要重點關注和管理，防止這些路段失效導致交通網(wǎng)絡發(fā)生嚴重的級聯(lián)失效。

表1 長江中游城市群重要站點和路段

4 結論

基于城市群交通復雜網(wǎng)絡，提出了考慮擁堵指數(shù)和剩余容量的級聯(lián)失效負載重分配模型，構建了城市群復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型。分析了擁堵指數(shù)權重與城市群交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模的關系，并對復雜網(wǎng)絡中的節(jié)點和連邊重要性進行評估，確定了長江中游城市群重要站點和路段。主要結論如下：

(1)失效節(jié)點越多，級聯(lián)失效規(guī)模越大。交通擁堵會導致復雜網(wǎng)絡發(fā)生進一步的級聯(lián)失效，在不發(fā)生擁堵時，即所有路段均暢通情況下，網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模最小。

(2)隨機節(jié)點失效下，交通擁堵到一定程度，交通擁堵對復雜網(wǎng)絡級聯(lián)失效影響較?。恍钜夤?jié)點失效下，存在1個最佳的擁堵指數(shù)權重，使得復雜網(wǎng)絡級聯(lián)失效規(guī)模較小。

(3)隨機和蓄意連邊失效下，擁堵指數(shù)權重存在閾值，擁堵指數(shù)權重小于閾值時復雜網(wǎng)絡不發(fā)生級聯(lián)失效，大于閾值時擁堵指數(shù)權重越大復雜網(wǎng)絡級聯(lián)失效越嚴重。但蓄意連邊失效比隨機連邊失效造成的后果更嚴重，因此要保護邊介數(shù)較大的連邊，并且控制復雜交通網(wǎng)絡擁堵指數(shù)權重不超過其閾值。

(4)確定長江中游城市群9個重要站點和50個重要路段，并且節(jié)點失效相較于連邊失效對于復雜交通網(wǎng)絡影響更大。

本研究不僅可為長江中游城市群交通網(wǎng)絡規(guī)劃提供參考，促進長江中游城市群交通運輸系統(tǒng)發(fā)展，提高交通網(wǎng)絡管理水平，并且提出的級聯(lián)失效模型可準確地判定關鍵站點和路段。后續(xù)研究工作將考慮根據(jù)乘客目的地的差異性構建復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型，進一步研究、優(yōu)化復雜交通網(wǎng)絡級聯(lián)失效模型。