一類線性二次時(shí)間不一致控制問題*

計(jì) 偉

(貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息管理學(xué)院，貴州 貴陽 551400)

0 引言

我們從線性二次最優(yōu)控制問題的敘述開始。設(shè)T>0和U?Rm，定義

D[0，T]={(s，t)∈[0，T]×[0，T]│0≤s≤t≤T}

和

u[t，s]=L2([t，s]；Rm)≡{u：[t，s]→

對(duì)固定y0∈Rn，考慮以下線性控制系統(tǒng)：

(0.1)

其中，C(·)∈L∞([0，T]；Rn×n)，D(·)∈L∞([0，T]；Rn×m)，顯然，對(duì)?u(·)∈u[0，T]，控制系統(tǒng)存在唯一解：

性能指標(biāo)為：

〈M(s，s)u(s)，u(s)〉]ds

(0.2)

其中，L∈L∞(D[0，T]；Sn)，M∈L∞(D[0，T]；Sm)。這里Sn表示n×n階實(shí)值對(duì)稱矩陣全體。最優(yōu)控制問題為：

問題(LQ)。對(duì)于系統(tǒng)(0.1)，在控制集u[0，T]中求控制函數(shù)，使得性能指標(biāo)(0.2)最小化。即：

問題(LQ)最顯著的特征是時(shí)間一致性，也就是對(duì)固定的初始對(duì)(0，y0)，求得最優(yōu)解后，沿著最優(yōu)軌道，在任意時(shí)刻對(duì)應(yīng)的控制都是最優(yōu)控制。但是，由于社會(huì)環(huán)境的復(fù)雜變化和決策者決策心態(tài)的改變，現(xiàn)實(shí)問題并不是如此簡(jiǎn)單和完美，往往表現(xiàn)為時(shí)間不一致性。事實(shí)上，時(shí)間不一致問題遠(yuǎn)多于時(shí)間一致問題，并且時(shí)間一致問題可以看著是時(shí)間不一致問題的一個(gè)特例[1]。時(shí)間不一致控制問題的例子可見文獻(xiàn)[2，3]。

關(guān)于時(shí)間不一致控制問題里程碑似的研究工作是Strotz[4]于1955年對(duì)時(shí)間不一致控制問題的數(shù)學(xué)公式化。在這之后，由于時(shí)間不一致控制問題具有重要的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，大量數(shù)學(xué)家和金融學(xué)家對(duì)其展開研究，尤其是近年來，取得了豐碩的研究成果[5-15]。但是，正如著名行為金融學(xué)家周迅宇教授指出：關(guān)于時(shí)間不一致問題的研究遠(yuǎn)未成熟，現(xiàn)尚處于初期探索階段。

1 數(shù)學(xué)模型和預(yù)備知識(shí)

對(duì)?(t，y)∈[0，T]×Rn，考慮以下線性控制系統(tǒng)：

(1.1)

以及如下性能指標(biāo)：

(1.2)

考慮如下的控制問題：

問題(TILQ)。對(duì)于系統(tǒng)(1.1)，在控制集u[0，T]中求控制函數(shù)，使得性能指標(biāo)(1.2)最小化，即：

因?yàn)閱栴}(TILQ)對(duì)初始時(shí)間t的依賴性，這意味著隨著控制的進(jìn)行，問題(TILQ)的性能指標(biāo)甚至控制系統(tǒng)會(huì)因?yàn)闀r(shí)間t的變化而變化。因此，對(duì)問題(TILQ)的優(yōu)化問題并不是簡(jiǎn)單地優(yōu)化一個(gè)問題，而是優(yōu)化一族問題，顯然，問題(TILQ)不同于經(jīng)典問題(LQ)。

對(duì)?t∈[0，T]，ε>0和v∈U。其中，

我們引入如下假設(shè)條件：

(L1)：設(shè)L：D[0，T]→Sn和M：D[0，T]→Sm連續(xù)，并且對(duì)某個(gè)常數(shù)δ>0有：

L(t，s)≥0，M(t，s)≥δI，(t，s)∈D[0，T]

存在一個(gè)常數(shù)l>0，使得：

|L(t1，s)-L(t2，s)|+|M(t1，s)-M(t2，s)|≤l|t1-t2|，?t1，t2，s∈[0，T]

2 主要結(jié)果

命題2.1 設(shè)(L1)成立，對(duì)任意給定的初始對(duì)(t，y)∈[0，T]×Rn，則方程組：

(2.1)

存在解φ∈C([0，T]；Rn)。

(2.2)

(2.3)

因?yàn)閠固定，方程組(2.3)顯然可解(文獻(xiàn)[16])，這意味著方程組(2.1)至少存在一個(gè)解，不妨記為：

其中，

定理2.2 設(shè)(L1)成立，設(shè)y0∈Rn固定，則問題(LQ)的最優(yōu)控制是問題(TILQ)的均衡控制。

(2.4)

由(2.1)式，我們有：

又因?yàn)镸是正定矩陣，所以：