數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)視角下高中生思維敏捷性的培養(yǎng)策略

唐 蕾 唐笑敏

(湖州師范學(xué)院教師教育學(xué)院 313000)

1 引言

數(shù)學(xué)是一門高度形式化、抽象性和精準(zhǔn)性的學(xué)科，同時也具有廣泛的應(yīng)用性，所以數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維方式層面．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)和思維品質(zhì)之間有著密切聯(lián)系，兩者的培養(yǎng)和發(fā)展是相輔相成的．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)[1]，反映了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所需的六種關(guān)鍵能力[2]．?dāng)?shù)學(xué)思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動中個體差異性的體現(xiàn)[3]，即數(shù)學(xué)思維水平、關(guān)鍵能力的差異，同時也能體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展水平的差異[4]．?dāng)?shù)學(xué)思維是學(xué)生分析、理解數(shù)學(xué)現(xiàn)象，解決數(shù)學(xué)問題的著力點，以課堂教學(xué)為平臺來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，本質(zhì)上也是從思維層面系統(tǒng)而完整地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[5]．因此，在教學(xué)中可以將思維品質(zhì)作為突破口，通過培養(yǎng)和塑造學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

在課堂教學(xué)和平時練習(xí)中，教師和學(xué)生往往容易輕視存在于運算中的阻礙，但“不會算”和“算不對”通常是導(dǎo)致學(xué)生最終無法解決問題的關(guān)鍵因素．?dāng)?shù)學(xué)運算素養(yǎng)的發(fā)展并不是簡單機(jī)械的技能訓(xùn)練，而是運算技能和邏輯思維的有效整合[6]，所以在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的過程中不能忽略思維的作用，其中最為關(guān)鍵和直接的就是思維敏捷性．

2 數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與思維敏捷性

圖1

數(shù)學(xué)運算可以用于解決各類數(shù)學(xué)問題．高中階段的運算過程遠(yuǎn)不是加減乘除那樣簡單，它涉及到知識的綜合運用、數(shù)據(jù)處理的方法和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神等，學(xué)生在經(jīng)歷了這一系列數(shù)學(xué)化的活動之后所積淀和升華的產(chǎn)物就是數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)[7]．目前數(shù)學(xué)教育將其界定為在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1]．?dāng)?shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路和求得運算結(jié)果．思維敏捷性是指在思維過程具有減縮性、快速性的同時，也要能夠保證思維結(jié)果的準(zhǔn)確性．它不僅是對思維速度的衡量，也是對思維效度的要求，并能夠在數(shù)學(xué)運算中起到至關(guān)重要的推動作用(圖1)．

2.1 理解運算對象：捕捉關(guān)鍵信息

理解運算對象是運算的基礎(chǔ)，即明確在問題中需要對誰進(jìn)行運算，包括了解運算對象的背景、理解運算對象的本質(zhì)、掌握相關(guān)數(shù)學(xué)思想以及具有關(guān)聯(lián)性的概念等．高中階段數(shù)學(xué)運算對象不僅類型多，而且難以理解，更需要學(xué)生反應(yīng)迅速，“數(shù)感”靈敏，抓住問題的關(guān)鍵，才能理解為什么要這樣做．

有時候?qū)W生無法解得正確答案，不是因為沒有解題思路，而是對運算對象內(nèi)涵的理解出現(xiàn)偏差，浮于表面．例如，若存在大于零的常數(shù)T，使得函數(shù)y=f(x)滿足f(2x+T)=f(2x)，求函數(shù)y=f(2x)的一個正周期．許多學(xué)生的答案是T，出現(xiàn)這樣錯誤的原因在于沒有真正理解周期函數(shù)的定義．教材對周期函數(shù)的定義為“對函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)稱作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．”這里的關(guān)鍵信息是x，即它所代表的自變量．思維敏捷性較強(qiáng)的學(xué)生能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)這一要點，在處理函數(shù)y=f(2x)時，依然能夠確保自變量為x，而非2x．

2.2 掌握運算法則：及時反思內(nèi)化

運算法則是數(shù)學(xué)運算的根本，決定運算過程的繁簡和結(jié)果的正誤．?dāng)?shù)學(xué)運算法則的表達(dá)形式和使用方式并非一成不變，不能生搬硬套，所以應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生領(lǐng)會其本質(zhì)，在充分理解和掌握的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用．思維敏捷性較好的學(xué)生會及時反思，這對學(xué)習(xí)主體深化認(rèn)知是非常重要的，并且能將反思結(jié)果付諸于實踐，以達(dá)到調(diào)節(jié)控制的目的．反思的過程并不會暫緩思考的進(jìn)程，反而會使得思路更加暢通．

2.3 探究運算思路：鎖定最佳方案

運算思路是運算操作的指示圖，本身應(yīng)當(dāng)具備邏輯性．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)運算思路的重要性，并將其與程序思想相結(jié)合，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，要求能夠設(shè)計、理解運算程序，并運用程序思想理解和表達(dá)問題．

當(dāng)前教學(xué)由于時間所限，通常會采用“包辦”式教學(xué)模式，導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生的運算思路受到限制，缺少自主探究的機(jī)會．思維敏捷性可以幫助學(xué)生在遇到問題時，將與問題有關(guān)的數(shù)字信息自動聯(lián)結(jié)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，形成通暢的思維“通道”，甚至是非常規(guī)的路．這不僅可以避免思路的停滯不前，還省去繁瑣的邏輯推理過程，從而保證思維快速、高效運轉(zhuǎn)．例如，求解方程tanx+ cotx=1.5，可以繞過繁瑣的三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換與計算，而從等式本身的矛盾出發(fā)解決問題．因為tanx和cotx在定義域內(nèi)互為倒數(shù)，而一個正數(shù)與其倒數(shù)之和不小于2，一個負(fù)數(shù)與其倒數(shù)之和不大于-2，所以tanx+cotx=1.5無解，從而省去復(fù)雜的計算過程．

2.4 求得運算結(jié)果：綜合能力素養(yǎng)

數(shù)學(xué)運算的最終目的是得到準(zhǔn)確結(jié)果，這需要多方因素的合力促成．所以數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是一種綜合性素養(yǎng)，其內(nèi)在是知識、能力、思維以及情感態(tài)度的綜合體，而外在又以其他素養(yǎng)為依托．例如，可以通過數(shù)據(jù)分析或數(shù)學(xué)建模對問題中的運算對象進(jìn)行分析，在設(shè)計運算思路時必然會用到邏輯推理等．同樣，思維敏捷性并不完全獨立存在，而是以其他思維品質(zhì)為必要前提，也是其他思維品質(zhì)高度發(fā)展的體現(xiàn)．例如，思維深刻性和廣闊性為思維活動能夠觸及到的目標(biāo)問題拓展了空間，批判性體現(xiàn)了思維活動較強(qiáng)的自我認(rèn)識和監(jiān)控能力，靈活性和批判性使學(xué)生在擁有廣闊思維方向的同時又能篩選出新穎的最佳方案．在整個思維活動過程中，由于這些思維品質(zhì)的共同作用，思維的減縮性、快速性和準(zhǔn)確性得以體現(xiàn)，所以思維敏捷性也并不表現(xiàn)為一個獨立的過程[4]．因此，思維敏捷性可以幫助調(diào)動和協(xié)調(diào)運算過程所需的多種因素，以得到最終準(zhǔn)確的結(jié)果．

例如，在求sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°的值時，通過觀察和簡單嘗試可以發(fā)現(xiàn)已知的特殊三角函數(shù)值并不能直接解決這一問題，關(guān)鍵在于度數(shù)的變化，需利用二倍角公式、和差化積公式等探尋原式的內(nèi)涵關(guān)系．

在解題過程中，學(xué)生要擁有足夠的知識儲備，熟悉此類題型的解題技巧以及較強(qiáng)的運算能力，通過敏捷性靈活調(diào)控，完成解題過程．

3 培養(yǎng)策略

3.1 思維起點：加快思維啟動速度

運用數(shù)學(xué)運算解決問題要從搜集和整合信息開始，一方面要在問題中尋找突破口，另一方面要在大腦中提取相關(guān)內(nèi)容．學(xué)生對問題信息的反應(yīng)速度是體現(xiàn)思維敏捷性的重要標(biāo)志．要使學(xué)生的思維在面對眾多信息時能夠快速啟動，這需要培養(yǎng)學(xué)生抓住關(guān)鍵、提綱挈領(lǐng)的能力．

首先，關(guān)鍵信息是反映數(shù)量關(guān)系的“紐帶”，是解決問題的突破口．面對問題時，學(xué)生的思維要“輕裝上陣”，精簡思緒，集中注意力于關(guān)鍵信息．教師可以引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成勾畫關(guān)鍵信息、人為突出重點的習(xí)慣，也可以利用數(shù)形結(jié)合或構(gòu)建數(shù)量圖表的方式，直觀反映數(shù)量之間的關(guān)系．其次，要想做到快速提取，就要優(yōu)化學(xué)生的知識存儲結(jié)構(gòu)，在教學(xué)中要有意識地指導(dǎo)學(xué)生用結(jié)構(gòu)圖、思維導(dǎo)圖、程序圖以及表格等多種形式來對所學(xué)的知識進(jìn)行系統(tǒng)的整理，使知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化[8]．這不僅要注意知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，還要把握知識之間的層次邏輯關(guān)系，并給知識網(wǎng)絡(luò)留下延伸的空間．例如，求解數(shù)列求和問題的一般方式是通過變形，轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題，或轉(zhuǎn)化為其他常見的、已知公式的數(shù)列問題．最基本的方法就是直接利用公式求和，還有分組求和法、裂項相消法、錯位相減法等．在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生理解這些方法的本質(zhì)和特性以及這些方法間的聯(lián)系，在解決問題中善于總結(jié)所用方法，并在實踐與解決問題的過程中探索新方法．

3.2 思維路徑：開辟思維多向通道

學(xué)生反應(yīng)遲鈍，解決問題緩慢，常常表現(xiàn)在對問題無從下手、思維局限、沒有思考的方向．學(xué)生有“法”可循，有“路”可行，方有敏捷性可言．選擇一條正確合適的思維路徑，一是需要有創(chuàng)新意識，沒有一種方法是可以一勞永逸解決所有問題的．例如，通過一題多解的訓(xùn)練，可以開拓學(xué)生的思路，教師在教學(xué)中可以給學(xué)生預(yù)留部分空間和時間，讓學(xué)生自主探究和生成，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性解決問題的能力．二是需要在思考過程中做出判斷，及時調(diào)整策略，通過反思不斷優(yōu)化思維過程．反思監(jiān)控是一種思維能力，更是一種情感態(tài)度，讓學(xué)生養(yǎng)成監(jiān)控運算過程的習(xí)慣，不僅能有效提高學(xué)生的思維敏捷性，更能幫助學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)求實、一絲不茍的科學(xué)精神．

例如，設(shè)(x2-x+1)6=a12x12+a11x11+…+a1x+a0，求a12+a10+…+a2+a0的值．觀察題目信息，直接將(x2-x+1)6展開，按要求進(jìn)行計算可得到答案，但計算量、計算難度和式子的復(fù)雜程度對學(xué)生的能力都是極大考驗，并不能稱之為最佳方法．在“算不下去”的情況下，引導(dǎo)學(xué)生思考所給等式左右兩端有什么特點？能否給x賦予特殊的值，使式子變得簡單？撇開之前的方法，開啟新的思路，不難發(fā)現(xiàn)所要求的式子是以和的形式出現(xiàn)的偶數(shù)次冪的項的系數(shù)，可以將其看作一個整體來求值，沒有必要得出各自的值再相加，依據(jù)條件，通過給x賦特殊的值，可以得到a12,…,a0的不同的等量關(guān)系．

3.3 思維進(jìn)程：縮短思維運轉(zhuǎn)時間

思維過程通常會出現(xiàn)許多轉(zhuǎn)換點，影響思維進(jìn)程快慢曲折的關(guān)鍵就是這些轉(zhuǎn)換點．在數(shù)學(xué)活動中思維敏捷性表現(xiàn)為能縮短運算環(huán)節(jié)和推理過程，“直接”得出結(jié)果．這一方面體現(xiàn)在學(xué)生思維的熟練程度上，另一方面體現(xiàn)在學(xué)生的概括能力上．

思維定向訓(xùn)練不等同于形成思維定勢．它通過訓(xùn)練讓學(xué)生在遇到問題時善于思考，并能夠?qū)⑦^程中的要點進(jìn)行分析，整理已知條件，盡快形成明確的解題思路，以提升學(xué)生解決問題的熟練程度．思維定向訓(xùn)練猶如航行中的地圖，讓學(xué)生預(yù)先了解在這段思維進(jìn)程中，哪里有“彎道”，哪里有“陷阱”，哪里有“捷徑”，從而略過簡單機(jī)械的步驟，避免可能出現(xiàn)的錯誤，縮短思維運轉(zhuǎn)時間．例如，求解排列組合應(yīng)用問題的基本思想是先對問題分類，然后在每一類中分步，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，計算各類的數(shù)目，最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理計算總數(shù)目．對較為復(fù)雜的排列組合題目，要對問題進(jìn)行分解，應(yīng)用加法原理或乘法原理來解決，一般遵循“先組合后排列”的原則．

4 總結(jié)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生主要依靠數(shù)學(xué)思維來思考和解決問題．?dāng)?shù)學(xué)思維品質(zhì)就是思維主體在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出的個性差異．因而個體的思維品質(zhì)必然會影響到個體本身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．在這種情況下，可以通過對學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，達(dá)到促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的目的．?dāng)?shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)活動不可或缺的重要組成部分，思維敏捷性助力于數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的發(fā)展，在理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結(jié)果等環(huán)節(jié)中起到了重要作用．為了培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性，需要遵循思維展開的過程，從思維起點、路徑和進(jìn)程入手，有針對性地進(jìn)行訓(xùn)練，使思維達(dá)到快速、減縮、準(zhǔn)確的要求．無論是素養(yǎng)的發(fā)展還是思維的培養(yǎng)都是一個長期的過程，都需教師細(xì)心栽培，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為學(xué)生的全面發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)．