2021年以色列秋令營(yíng)一道不等式試題的探究

鄧學(xué)忠

(山東省東營(yíng)市第二中學(xué) 257000)

2021年以色列秋令營(yíng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有如下一道不等式試題：設(shè)a,b,c≥0，a+bc=2，求證：

不等式①的左邊含有三個(gè)變量，右邊只含有一個(gè)變量，兩邊極不對(duì)稱.對(duì)此可考慮將左邊第一項(xiàng)移到右邊，使相同的變量在同一邊，由此可以打開(kāi)解題思路．

由已知易知0≤a≤2，由此可知不等式③成立，從而不等式①成立．

點(diǎn)評(píng)對(duì)不等式②的處理，按照減元策略，容易想到從左邊入手，通過(guò)“先通分，再變形，后放縮”的方法，使左邊含有兩個(gè)變量的式子放縮為只含有一個(gè)與右邊相同變量的式子，從而將三元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的根本性轉(zhuǎn)變．

將上述賽題推廣，可得到

當(dāng)我們將目光再次聚焦到不等式①，考慮將左邊各個(gè)分母去平方項(xiàng)后進(jìn)行放縮，并與右邊加以比較，就會(huì)產(chǎn)生如下新的問(wèn)題．

問(wèn)題1設(shè)a,b,c>0，a+bc=2，求證：

由已知條件易知0≤a≤2，由此可知不等式⑧成立，從而不等式⑦成立．

考慮到不等式①的下界問(wèn)題，經(jīng)過(guò)探究得到：

問(wèn)題2設(shè)a≥1，b,c≥0，a2+b2+c2=3，求證：

由已知條件易知1≤a2≤3，由此可知不等式成立，從而不等式⑨成立．

點(diǎn)評(píng)不等式⑨看似復(fù)雜，但是根據(jù)已知條件，容易想到利用柯西不等式對(duì)左邊后兩項(xiàng)的和進(jìn)行放縮，由此轉(zhuǎn)化為一元不等式問(wèn)題，再通過(guò)合理的去分母與分解因式，轉(zhuǎn)化為不等式就水落石出了．

由賽題可知，在已知條件下，不等式①的左邊小于等于1是不可能的，如果改變已知條件，這種結(jié)果會(huì)成立嗎？由此得到：

問(wèn)題3正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc(a+b+c)≥3，求證：

證明去分母后，不等式等價(jià)于a2b2c2+a2b2+c2a2+b2c2≥4，等價(jià)于(ab+bc+ca)2+a2b2c2≥4+2abc(a+b+c)．

由舒爾不等式可知，(ab+bc+ca)3+9a2b2c2≥4abc(a+b+c)(ab+bc+ca)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為4abc(a+b+c)(ab+bc+ca)+3a2b2c2(ab+bc+ca)≥12(ab+bc+ca)+9a2b2c2．

點(diǎn)評(píng)與賽題比較，問(wèn)題3的條件變復(fù)雜了，而要證明的不等式卻變簡(jiǎn)單了，但是由于條件發(fā)生了改變，因此不能將不等式左邊第二、三項(xiàng)的和進(jìn)行放縮了，只能采用“笨辦法”去分母轉(zhuǎn)化為整式不等式，因?yàn)槭绞且粋€(gè)非齊次的不等式，轉(zhuǎn)化為不等式后利用舒爾不等式則是一種較為有效的解決途徑，否則思路會(huì)就此擱淺．

數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，是一個(gè)知識(shí)和方法不斷深化的過(guò)程.因?yàn)樗伎疾庞辛诵聠?wèn)題，因?yàn)閯?dòng)手做才有了解決問(wèn)題的途徑，所以我們?cè)跀?shù)學(xué)解題的過(guò)程中，要不忘思考的初心，方得做題的始終，才能切實(shí)提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力．