互動(dòng)式數(shù)學(xué)科普設(shè)計(jì)與實(shí)踐
——以素?cái)?shù)與密碼為例

劉新 楊曉英 文 陽(yáng) 李盤潤(rùn)

（四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 廣元 628040）

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)和國(guó)家重大技術(shù)創(chuàng)新發(fā)展的基礎(chǔ)，已成為航空航天、國(guó)防安全、信息、人工智能、先進(jìn)制造等領(lǐng)域不可或缺的重要支撐[1]。自十八大以來(lái)，習(xí)近平總書記在很多場(chǎng)合強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的重要性。2020年9月，習(xí)近平總書記在科學(xué)家座談會(huì)上強(qiáng)調(diào)“要加強(qiáng)特別是要把原始創(chuàng)新能力提升擺在更加突出的位置，努力實(shí)現(xiàn)更多‘從0到1’的突破。基礎(chǔ)研究是科技創(chuàng)新的源頭。人才是第一資源。”[2]要加強(qiáng)數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)學(xué)科建設(shè)，吸引基礎(chǔ)拔尖學(xué)生投身基礎(chǔ)研究。2019年，教育部、科技部、中國(guó)科學(xué)院和國(guó)家自然科學(xué)基金委聯(lián)合印發(fā)《關(guān)于加強(qiáng)數(shù)學(xué)科學(xué)研究工作方案》[3]（以下簡(jiǎn)稱“方案”），凸顯了國(guó)家對(duì)于數(shù)學(xué)的重視。2020年，教育部發(fā)布了《教育部關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》，也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”[4-5]，主要是為了選拔基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等相關(guān)專業(yè)招生。國(guó)家對(duì)基礎(chǔ)學(xué)科的重視落到了實(shí)處。培養(yǎng)優(yōu)秀數(shù)學(xué)人才首先要培養(yǎng)中小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，除了常規(guī)的教育教學(xué)之外，數(shù)學(xué)科普也是十分重要的方式，扮演著重要的角色。在《方案》中也特別指出支持高校開展數(shù)學(xué)科普工作和數(shù)學(xué)文化建設(shè)。

1 廣元市數(shù)學(xué)科普現(xiàn)狀

廣元市作為欠發(fā)達(dá)地區(qū)，近年來(lái)以“科技之春”科普月、全國(guó)科技活動(dòng)周、“科普大篷車”等形式開展了形式多樣的科普活動(dòng)，全市各類科普基地已達(dá)到34個(gè)，每年服務(wù)10萬(wàn)余人次，在提升全民科學(xué)素質(zhì)方面起到積極的促進(jìn)作用。但科普活動(dòng)多以環(huán)保、航空、消防、自然保護(hù)、博物館等類別為主，而針對(duì)數(shù)學(xué)的科普?qǐng)?bào)道較少。

2 國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)科普現(xiàn)狀

隨著國(guó)家重視度的提高和《方案》的發(fā)布，數(shù)學(xué)科普尤其是線上數(shù)學(xué)科普活動(dòng)近年來(lái)顯著增加，以中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)、中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)、運(yùn)籌學(xué)會(huì)、中科院等國(guó)家級(jí)機(jī)構(gòu)單位為主。目前國(guó)內(nèi)主要的科普形式有兩種：

第一種是科普講座。科普專家在線講、學(xué)生在線聽(tīng)，內(nèi)容以數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)家的故事、經(jīng)典數(shù)學(xué)知識(shí)講解為主，優(yōu)點(diǎn)是科普主講人都是院士、教授和數(shù)學(xué)科研工作者，他們對(duì)數(shù)學(xué)歷史和未來(lái)趨勢(shì)了解透徹，講解也比較通俗易懂、深入淺出。但是缺點(diǎn)也很明顯：（1）由于宣傳力度不夠，科普覆蓋度不夠；（2）中小學(xué)生學(xué)習(xí)期間無(wú)法使用手機(jī)或電腦，甚至一些學(xué)生沒(méi)有智能設(shè)備，加之學(xué)校沒(méi)有進(jìn)行合理的統(tǒng)籌規(guī)劃，所以大部分學(xué)生沒(méi)有時(shí)間和渠道觀看了解這些科普講座；（3）欠發(fā)達(dá)地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施不完善，而且接觸院士、教授講座的機(jī)會(huì)非常少，也進(jìn)一步制約了學(xué)生了解數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)和對(duì)數(shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)；（4）線上講座，一瞬而過(guò)，學(xué)生只能快速了解，難以加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

第二種科普形式是創(chuàng)建數(shù)學(xué)科普館或數(shù)學(xué)科普展示室。以實(shí)物的形式進(jìn)行操作，輔以講解員的講解，實(shí)物大相徑庭，主要有方輪自行車、孔明鎖、勾股定理、最速下降線、單葉雙曲面、橢圓焦點(diǎn)等。此類科普形式的優(yōu)點(diǎn)是有實(shí)物，學(xué)生們可以操作；而缺點(diǎn)有：（1）實(shí)物設(shè)備數(shù)量少，不能滿足更多學(xué)生操作；（2）講解員數(shù)量少，不能照顧到大多數(shù)學(xué)生；（3）實(shí)物設(shè)備的更新率低，設(shè)備購(gòu)買費(fèi)用是大多數(shù)學(xué)校無(wú)法承擔(dān)的；（4）受場(chǎng)地的局限，每次參觀的學(xué)生人數(shù)比較少。

最后，我們通過(guò)2022年春季學(xué)期數(shù)學(xué)科普活動(dòng)的開展，也認(rèn)識(shí)到欠發(fā)達(dá)地區(qū)中小學(xué)對(duì)科普和科普重要性的認(rèn)識(shí)不夠，甚至于聞所未聞，這也在一定程度上制約了教育對(duì)原始基礎(chǔ)理論創(chuàng)新的貢獻(xiàn)度。

鑒于以上原因，四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)應(yīng)用研究中心的老師們發(fā)揮專業(yè)特長(zhǎng)和數(shù)學(xué)研究的優(yōu)勢(shì)，在廣元市中小學(xué)開展了“互動(dòng)式數(shù)學(xué)科普”活動(dòng)，將素?cái)?shù)與密碼、3D打印、搜索引擎等與生產(chǎn)生活密切相關(guān)的技術(shù)領(lǐng)域結(jié)合，通過(guò)互動(dòng)游戲融入科普活動(dòng)中，學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)的“無(wú)用之用、方為大用”，積極參與互動(dòng)游戲中，引導(dǎo)學(xué)生開拓創(chuàng)新的意識(shí)，受到學(xué)校師生的普遍歡迎。做“不走的”廣元數(shù)學(xué)科普?qǐng)F(tuán)隊(duì)。

3 素?cái)?shù)與密碼科普設(shè)計(jì)與實(shí)施

素?cái)?shù)與密碼是團(tuán)隊(duì)一直構(gòu)思的科普主題。習(xí)近平總書記指出“沒(méi)有網(wǎng)絡(luò)安全就沒(méi)有國(guó)家安全”。網(wǎng)絡(luò)安全首先要做到密碼安全，密碼學(xué)自然成為重要的學(xué)科，而數(shù)學(xué)與密碼學(xué)密不可分，這里我們介紹其中的一類：公鑰密碼學(xué)。

隨著信息時(shí)代的飛速發(fā)展，互聯(lián)網(wǎng)互聯(lián)互通已成為現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展方式，那么通訊保密就成為互聯(lián)互通的基礎(chǔ)，即信息安全問(wèn)題。1976年美國(guó)年輕數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家棣弗（W.Diffe）、赫爾曼（M.Hellman）提出一種全新的公開密鑰體制。1977年美國(guó)麻省理工學(xué)院的羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）[6-7]依據(jù)棣弗和赫爾曼設(shè)想提出了一種具體的公開密鑰體制，后稱其為RSA加密算法[8]，該算法于2002年獲得“圖靈獎(jiǎng)”。

RSA公開密鑰密碼體制的原理是：根據(jù)數(shù)論，尋求兩個(gè)大素?cái)?shù)比較簡(jiǎn)單，而將它們的乘積進(jìn)行因式分解卻極其困難，那么可以將乘積公開作為加密密鑰[9-11]。而RSA算法依賴的另外一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是“中國(guó)剩余定理”。

基于以上背景，我們將素?cái)?shù)、大數(shù)分解、中國(guó)剩余定理、摩斯密碼、RSA算法等元素融入“素?cái)?shù)與密碼”主題科普中。具體流程如下：

第一，以QQ、游戲登錄需要什么引入“密碼”主題，然后通過(guò)愛(ài)國(guó)影片《永不消逝的電波》中的片段說(shuō)明密碼系統(tǒng)的重要性，強(qiáng)調(diào)國(guó)家安全包括網(wǎng)絡(luò)安全，就需要建立自己國(guó)家的密碼安全體系，以保證國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)和社會(huì)穩(wěn)定發(fā)展。

第二，以小模型輔助科普講解。密碼是人們既熟悉又相對(duì)陌生的概念，如何讓學(xué)生更好地了解它、熟悉它呢？我們將影片主人翁“李俠”使用的發(fā)報(bào)機(jī)和摩斯密碼融入科普中，通過(guò)微型發(fā)報(bào)機(jī)的操作介紹摩斯密碼，通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生親身體驗(yàn)并掌握摩斯密碼的操作，快速引起學(xué)生的興趣。

第三，實(shí)物演示增進(jìn)理解。通過(guò)主講老師操作發(fā)報(bào)機(jī)，學(xué)生破譯老師所發(fā)送的信息，提升了同學(xué)對(duì)摩斯密碼的了解；再邀請(qǐng)學(xué)生實(shí)際操作發(fā)報(bào)機(jī)，然后其余同學(xué)破譯，提升了同學(xué)們的參與度，大家在互動(dòng)游戲中了解了戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期我黨情報(bào)人員的基礎(chǔ)工作，增強(qiáng)他們的責(zé)任感、自豪感。

第四，介紹素?cái)?shù)。素?cái)?shù)也稱質(zhì)數(shù)，是小學(xué)五年級(jí)的知識(shí)點(diǎn)，所以無(wú)論高年級(jí)的小學(xué)生還是中學(xué)生都能理解，而將一個(gè)大數(shù)分解為兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積以及與之相關(guān)的中國(guó)剩余定理是同學(xué)們不了解的知識(shí)。如果僅僅通過(guò)PPT介紹，則過(guò)程偏理論、較為枯燥，所以我們將大數(shù)分解和摩斯密碼結(jié)合在一起，融入此環(huán)節(jié)的互動(dòng)游戲中：（1）主講老師通過(guò)給定一些由易到難的大數(shù)，讓學(xué)生們進(jìn)行分解，逐漸熟悉大數(shù)分解的過(guò)程，進(jìn)而理解隨著大數(shù)位數(shù)的增加，將其分解成兩個(gè)素?cái)?shù)的難度逐漸增大；（2）設(shè)計(jì)游戲“百寶箱”：老師通過(guò)微型發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)送一個(gè)大數(shù)，學(xué)生通過(guò)摩斯密碼本破譯出老師發(fā)送的大數(shù)，然后進(jìn)行整體思考完成大數(shù)分解，再將分解出的素?cái)?shù)組合成一個(gè)密碼，最后學(xué)生使用自己的密碼嘗試打開寶箱，獲得箱中的“寶藏”。根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，我們也可以增加難度，由一組學(xué)生自行設(shè)置寶箱密碼，小組商議一個(gè)可以分解為兩個(gè)素?cái)?shù)乘積的大數(shù)，翻譯成摩斯密碼形式，再通過(guò)微型發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)送，其余小組接收破譯大數(shù)，進(jìn)行大數(shù)分解，然后使用分解的素?cái)?shù)組合成密碼，嘗試打開寶箱。此過(guò)程完全發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。

通過(guò)此游戲?qū)⑺財(cái)?shù)分解與摩斯密碼結(jié)合在一起，以“寶藏”作為獎(jiǎng)勵(lì)，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生深度參與游戲的積極性，更加深了他們對(duì)素?cái)?shù)分解的理解。

第五，思政點(diǎn)融入。素?cái)?shù)分解后，主講教師將引入“中國(guó)剩余定理”介紹素?cái)?shù)分解的歷史淵源。中國(guó)剩余定理，也稱孫子定理，是中國(guó)古代求解線性同余式組的方法，是數(shù)論中的一個(gè)重要定理。一元線性同余方程組問(wèn)題最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期（距今1600多年）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，其中記載的“物不知數(shù)”問(wèn)題是中國(guó)剩余定理的一個(gè)典型算例。通過(guò)此知識(shí)點(diǎn)的介紹可以拓展中小學(xué)生對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)偉大成就的了解，增強(qiáng)他們的文化自信。

而RSA加密算法則依賴于線性同余方程組的求解。什么是同余呢？給定一個(gè)正整數(shù)m，稱之為模。如果用m去除任意兩個(gè)整數(shù)a與b所得的余數(shù)相同，那就稱a,b對(duì)模m同余，記作a≡b(modm)[12-13]。

RSA算法的簡(jiǎn)潔描述如下[14-15]：

1.任意選取兩個(gè)不同的大素?cái)?shù)p和q計(jì)算乘積n=pq，及歐拉函數(shù)φ(n)=(p-1)(q-1)。

2.任意選取一個(gè)大整數(shù)e，滿足e與φ(n)互質(zhì)，整數(shù)e用做加密鑰。

3.確定解密鑰d，滿足(de)modφ(n)=1，即de=kφ(n)+1,k≥1是一個(gè)任意的整數(shù)。

4.公開整數(shù)n和e，秘密保存d。

5.將明文m（m＜n是一個(gè)整數(shù)）加密成密文c，加密算法為

c=E(m)=memodn

6.將密文c解密為明文m，解密算法為

m=D(c)=cdmodn

因?yàn)橹桓鶕?jù)n和e是無(wú)法推算出d的，所以RSA算法是安全有效的。

通過(guò)通俗易懂的語(yǔ)言讓學(xué)生了解高深的知識(shí)，感受“小知識(shí)大用處”，并鼓勵(lì)他們保持好奇心和獨(dú)立思考的習(xí)慣，一定可以做出偉大的成績(jī)。

第六，點(diǎn)到面的升華。此時(shí)我們將提及著名密碼學(xué)家——王小云院士。2004年8月15日，在美國(guó)召開的國(guó)際密碼大會(huì)，來(lái)自山東大學(xué)的王小云宣布團(tuán)隊(duì)破解了MD5算法[16]，這是密碼學(xué)領(lǐng)域的重大發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了密碼學(xué)界的極大關(guān)注，不久她與團(tuán)隊(duì)再次宣布破解SHA-1密碼算法，再一次震驚世界，但是面對(duì)國(guó)外眾多研究機(jī)構(gòu)的邀請(qǐng)，王小云院士不為所動(dòng)，帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)的哈希函數(shù)SM3現(xiàn)為國(guó)家密碼算法標(biāo)準(zhǔn)[17]，已在金融、交通、國(guó)家電網(wǎng)等重要經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域廣泛使用，為我國(guó)的網(wǎng)絡(luò)安全做出了突出貢獻(xiàn)。

4 結(jié)語(yǔ)

推動(dòng)科技創(chuàng)新，就必須更加重視基礎(chǔ)研究。同時(shí)我們也深知基礎(chǔ)研究實(shí)力的提升是一件久久為功的事，需要各個(gè)環(huán)節(jié)通力配合、協(xié)同推進(jìn)，這一過(guò)程中，科學(xué)普及是深化人民群眾對(duì)基礎(chǔ)研究、科技創(chuàng)新認(rèn)識(shí)的重要方式之一。數(shù)學(xué)研究是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，更需要我們加大科學(xué)普及，讓學(xué)生們喜歡數(shù)學(xué)、愛(ài)好數(shù)學(xué)，培養(yǎng)他們從事基礎(chǔ)研究的興趣；讓廣大教師、人民群眾意識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)于國(guó)家繁榮富強(qiáng)的重要性，形成全社會(huì)重視數(shù)學(xué)的氛圍，這都有利于早日實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)的目標(biāo)。