以猜想與驗證發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維
——以《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》一課教學(xué)為例

陳明達(dá)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對課程目標(biāo)提出明確要求：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法?！辈孪肱c驗證是指學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時，根據(jù)已有的經(jīng)驗和知識，做出符合一定規(guī)律的猜測和假設(shè)等推理判斷，然后通過多種途徑和方法驗證猜想是否正確，并在不斷驗證的過程中完善自己的猜想，最后總結(jié)歸納出一定規(guī)律的過程。［1］筆者以人教版五年級下冊第四單元《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》一課的教學(xué)為例，談?wù)勅绾谓柚孪牒万炞C，啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生思維能力。

一、實踐，經(jīng)歷猜想與驗證的過程

大部分學(xué)生都具備將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為除法進(jìn)行計算的經(jīng)驗，那么是否能將教學(xué)的起點設(shè)在學(xué)生現(xiàn)有的發(fā)展水平上，直接呈現(xiàn)學(xué)生嘗試過程中的錯誤資源，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)呢？為此筆者設(shè)計了三個重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。

其一是“觀察—類比—發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)家高斯說過：“數(shù)學(xué)中許多方法與定理是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補行的手續(xù)而已?！笔紫?，筆者向?qū)W生呈現(xiàn)了一組冰墩墩分西瓜的故事，先引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和思考：三次分瓜有什么相同和不同之處？第一次分西瓜，雪融融得到西瓜的，冰墩墩得到。第二次分西瓜，讓學(xué)生在涂色卡上涂一涂，表示出冰墩墩和雪融融各得到和。第三次分西瓜讓學(xué)生在數(shù)軸上描點找出和，然后筆者再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，并嘗試進(jìn)行歸納，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三組分?jǐn)?shù)大小相等，就大膽提出猜想：是不是每個分?jǐn)?shù)都有和它相等的分?jǐn)?shù)呢？和它相等的分?jǐn)?shù)會有幾個？有的學(xué)生躍躍欲試，在自己的課堂練習(xí)本上涂畫，尋找有沒有別的答案。

數(shù)學(xué)概念的形成和法則的概括以及解題應(yīng)體現(xiàn)出歸納思想，教師要盡量讓學(xué)生通過直觀圖形的觀察，或讓學(xué)生自己動手借助于實物進(jìn)行實驗，在有了豐富感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上提出猜想，進(jìn)而歸納出相應(yīng)的法則、性質(zhì)和公式。［2］學(xué)生的猜想并不是憑空想象而來的，必定是要經(jīng)過了觀察—類比—發(fā)現(xiàn)的過程。而有了這樣的猜想以后，學(xué)生的好奇心和探求欲被激發(fā)出來，接下來教師就可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考與驗證。使學(xué)生思之有法，思之有據(jù)，擴展思維的時空，使思維逐步靈動而深刻。

其二是“猜想—推理—結(jié)論—驗證”的學(xué)習(xí)過程。根據(jù)零散的信息進(jìn)行綜合的判斷，屬于典型的智慧技能。智慧技能指學(xué)生能綜合運用知識，進(jìn)行綜合分析、判斷、分類與評價，進(jìn)行問題分析與應(yīng)對決策的技能。［3］智慧技能的培養(yǎng)對學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義。

筆者進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“形成猜想”到“推理驗證”的過程。引導(dǎo)學(xué)生以為例，找出與的相等的分?jǐn)?shù)。這里教師要給予學(xué)生學(xué)習(xí)支架，為學(xué)生提供若干張大小相同的正方形紙片和圓形紙片，以及數(shù)軸圖、白紙、剪刀、畫筆等工具，并提出活動要求：一是找出與相等的分?jǐn)?shù)；二是利用提供的材料說明找到的分?jǐn)?shù)與是相等的；三是4人小組交流并上臺匯報。給學(xué)生動手實踐的工具就是學(xué)習(xí)的拐杖，明確活動要求就是在給學(xué)生學(xué)習(xí)的支架，這個環(huán)節(jié)筆者放手讓學(xué)生大膽操作，去驗證自己的猜想并上臺匯報，在這樣的活動中，不僅學(xué)生的思維水平得到了提升，語言表達(dá)能力也得到進(jìn)一步的提高。有的學(xué)生是通過將兩張大小相同的圓形紙片對折，折出了和，發(fā)現(xiàn)和表示的部分是一樣大的；有的學(xué)生是直接剪一剪兩個大小相同的正方形紙片，也發(fā)現(xiàn)相同的道理；還有的學(xué)生懂得利用數(shù)軸圖，在數(shù)軸上找到的位置是相同的，所以它們都是相等的。這時筆者順勢引導(dǎo)，學(xué)生自然而然就得到關(guān)系式：。之后筆者繼續(xù)請學(xué)生聯(lián)系所學(xué)知識說理由，有的學(xué)生就能利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，得出

這樣循序漸進(jìn)、層層剝繭式地引導(dǎo)學(xué)生直達(dá)核心知識的本質(zhì)，就實現(xiàn)了化“新”為“舊”，讓學(xué)生全程參與猜想與驗證的過程，在操作中又采用了觀察、分析、聯(lián)想、類比等學(xué)習(xí)方法，增強了學(xué)生的思辨能力，提高了運用辯證思維進(jìn)行統(tǒng)籌、分析的能力。

其三是“二次推理—二次結(jié)論—二次驗證”的學(xué)習(xí)過程。筆者最后請學(xué)生仔細(xì)觀察關(guān)系式：，并思考每一組等式中，分?jǐn)?shù)的分子和分母變了嗎？是怎樣變化的？從這里開始，筆者就是在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行二次推理。有學(xué)生會往加的方向去思考，但大部分學(xué)生都能從商不變的規(guī)律加以判斷，發(fā)現(xiàn)分子與分母加上不同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小并不是有規(guī)律的變化，所以加法這個方向是不對的。學(xué)生繼續(xù)觀察、對比與分析，在討論中不斷小結(jié)，在變與不變中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變，但是在數(shù)學(xué)上僅憑個例就得出的結(jié)論并不嚴(yán)謹(jǐn)，現(xiàn)在學(xué)生只能在這樣的猜想后面繼續(xù)打一個問號，筆者還要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行二次推理及驗證猜想，讓學(xué)生不斷提出更多的例子，而且舉的例子要盡量具有全面性，才更加有說服力。

要發(fā)展學(xué)生的思維，必須設(shè)計出有助于學(xué)生反思的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生在不斷反思和實踐中發(fā)展思維。在上述由“結(jié)論形成”到“探索規(guī)律”的學(xué)習(xí)過程中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的自我反思，不斷喚醒學(xué)生已有的知識，然后教師又提出新的問題，引發(fā)學(xué)生新的思考，推導(dǎo)新的解決問題的方法。

二、后測，遷移猜想與驗證的方法

當(dāng)學(xué)生掌握了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之后，筆者出示了“練習(xí)十四中的第13題”：一個分?jǐn)?shù)的分母不變，分子乘3，這個分?jǐn)?shù)的大小有什么變化？這道題能反應(yīng)學(xué)生對猜想驗證思想的理解情況。筆者鼓勵學(xué)生進(jìn)行合情推理，自己嘗試并選擇合適的數(shù)據(jù)以便于研究，如選用，根據(jù)題意得；把與進(jìn)行比較，分?jǐn)?shù)的大小擴大到原來的3倍，然后再舉例再驗證，結(jié)果是相同的。全班43名學(xué)生有38人能選擇合適的方法和數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，有2人是計算出錯算不出來，另外3人是因為選擇了太復(fù)雜的數(shù)據(jù)沒算完。

后測反饋表明，大部分學(xué)生均能夠掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，但仍有少部分學(xué)生沒能很好地體會猜想驗證的方法，于是筆者繼續(xù)將學(xué)生對該題的做法作為教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：哪些方法是正確的？選擇數(shù)據(jù)的時候怎么選更合理？再一次經(jīng)歷對比與分析，大部分學(xué)生不僅逐步理清了猜想與驗證的方法，更明白了在證明的過程中應(yīng)盡量滿足準(zhǔn)確性與簡便性。課堂上的實時后測，更具有時效性，能更好地檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力。

只有猜想而無法得到驗證，那猜想只能是空想，只有自主探究、動手實踐才可以讓猜想的生命力得到進(jìn)一步延續(xù)和驗證，助力學(xué)生不斷提升數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的趣味和魅力。