重傳承 顯規(guī)范 消疑惑
——以“線段的長短比較”為例*

劉清清 黃建福

(安徽省肥西縣上派初級中學(xué) 231200)

1 問題提出

圖1

AD

AD

AB

BD

AD

AC

CD

AD

AB

BD

AD

AC

CD

2 原生態(tài)課堂

該教師在講解線段的比較、線段的和差、線段的倍分時(shí)，提出以下幾個(gè)問題.

問題1 圖2中兩條線段AB，CD的大小關(guān)系怎樣表示？

圖2 圖3

生1：根據(jù)疊合法可知AB>CD，或是CD

問題2 圖2中疊合后的圖形如圖3，則圖3中有幾條線段？它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

生2：共有三條線段，分別是AC，BC，AB.它們?nèi)咧g滿足AB=AC+BC，AC=AB-BC，BC=AB-AC.

問題3 點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，可能會(huì)出現(xiàn)一種特殊的位置，你知道是什么嗎？

生3：是線段AB的中點(diǎn).

3 “癡傻”現(xiàn)象剖析

以下將從兩個(gè)方面闡述“癡傻”問題產(chǎn)生的客觀因素.

3.1 知識認(rèn)知層面

本節(jié)課看似教師充當(dāng)著引導(dǎo)者，所有的問題都具有引導(dǎo)性、啟發(fā)性，但是從知識層面來看，這些問題跨度大、思維深，問題之間銜接不流暢、轉(zhuǎn)折僵硬，沒有體現(xiàn)出探究知識的邏輯性與必要性，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)心理和思想上的巨大分歧.

首先，本節(jié)課的難點(diǎn)之一就是要求學(xué)生會(huì)將圖形語言轉(zhuǎn)化成形如AD=AB-BD的幾何語言，而在此之前，學(xué)生對幾何語言知之甚少，甚至對幾何語言的認(rèn)知是空缺的.在“線段的長短比較”之前，學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了點(diǎn)、線段、射線、直線的相關(guān)知識，從未涉及用幾何語言表示線段的數(shù)量關(guān)系.因此，突兀地提問“線段的數(shù)量關(guān)系”已然超出學(xué)生理解和認(rèn)知的范疇.在文[1]中，作者采用了“留白”的方式：先讓學(xué)生自己解答，列出算式，通過活動(dòng)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)失去了幾何語言的“幫助”，單純的算式就變得死氣沉沉、毫無意義.自然而然，學(xué)生會(huì)發(fā)覺幾何語言的必要性.事后，筆者也故意“留白”，讓學(xué)生大開腦洞，自由選擇符號、字母等表示AB，AC，BC三者長度之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生會(huì)給出各種新奇的表示，如AB=AC⊕BC，AB=ACvBC.筆者認(rèn)為，只要學(xué)生能夠理解各自選擇符號的含義、熟練地使用符號表達(dá)圖形就是合情合理的.但是，為什么最終選擇AB=AC+BC的形式來表示圖3的圖形語言呢？因?yàn)樵诼L的數(shù)學(xué)發(fā)展史中，數(shù)學(xué)家為了研究問題的方便，更是為了傳播數(shù)學(xué)文化知識，統(tǒng)一使用了形如AB=AC+BC的形式來表達(dá)圖3，這體現(xiàn)了知識的繼承性和傳承性，對后人快速建立知識體系、繼承與發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)知識起到了不可替代的作用.而學(xué)生具有個(gè)人特色的符號僅限于個(gè)體理解，不便于他人傳閱，這就是為什么最終選用=、+、-等符號來表達(dá)AB，AC，BC三者的數(shù)量關(guān)系.這種表示體現(xiàn)了繼承與發(fā)展，有著嚴(yán)格的規(guī)范性，理應(yīng)由教師作出示范性的解說，而非是由學(xué)生一說了之.教師是數(shù)學(xué)知識的傳播者，親自解說具有權(quán)威性與示范性，更具有說服力，可以減少學(xué)生的疑惑與質(zhì)疑.

3.2 課堂問題層面

除此之外，原生態(tài)課堂中教師提出的三個(gè)問題跳躍性很大，也是學(xué)生產(chǎn)生“癡傻”問題的一個(gè)原因.針對問題2，根據(jù)學(xué)生已有的知識，可以輕易獲得圖3有三條線段，但是三者的數(shù)量關(guān)系對學(xué)生來說卻是質(zhì)的轉(zhuǎn)變.在問題1中，學(xué)生剛剛認(rèn)知了線段長短比較的簡記方法，但是問題2中，由兩條線段飛躍成三條線段，由不等的數(shù)量關(guān)系生成相等的數(shù)量關(guān)系，不能生硬地、人為地“生成”，更不能由學(xué)生的回答草草收場，還需要巧妙的過渡與引導(dǎo)，問題3就是典型的人為(教師)“誘導(dǎo)”.從數(shù)學(xué)知識的邏輯性來看，問題1、問題2、問題3之間缺乏關(guān)聯(lián)，存在著邏輯的斷層，教師亦不能對這種斷層給出合情合理的講解，僅僅用學(xué)生的回答匆忙結(jié)束，難免讓學(xué)生心生疑竇.

4 再生態(tài)課堂

以上簡述了學(xué)生“癡傻”問題產(chǎn)生的原因，據(jù)此，在課堂上試圖讓學(xué)生與教師達(dá)到思想共鳴，這需要在原有的教學(xué)理念下“修復(fù)”原生態(tài)課堂，對接學(xué)生思想，讓課堂問題做到最大限度的合情合理、自然連貫.

問題① 請用疊合法比較圖2中線段的長短.哪條線段的長度較長，哪條線段的長度較短？

生4：根據(jù)疊合法可知，線段AB的長度比較長，線段CD的長度比較短.

師：像線段AB和CD長度的長短關(guān)系，我們可以用AB>CD表示，它既表示線段AB與線段CD的長度比較的結(jié)果，又可以表示線段的長短關(guān)系.你還能寫出類似的式子嗎？

生5：CD

師：在問題1中，兩條線段疊合的圖形如圖3，請你觀察，圖中有幾條線段？

生6：共有三條線段，分別是線段AB、線段AC和線段BC.

問題② 線段AB比線段AC長了多少？

生7：根據(jù)疊合法可知，線段AB比線段AC長了線段BC.

師：我們可以用BC=AB-AC表示這種圖形語言.你可以寫出類似的式子嗎？

生8：AC=AB-BC，AB=AC+BC.

問題③ 在圖3中，若點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，線段AC，BC，AB三者的數(shù)量關(guān)系如何？線段AC與線段BC的大小關(guān)系又發(fā)生怎樣的變化？

生9：無論點(diǎn)C如何運(yùn)動(dòng)，線段AC，BC，AB始終滿足AB=AC+BC，AC=AB-BC，BC=AB-AC.但是線段AC與線段BC的大小關(guān)系隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而變化，先是AC>BC，接著AC=BC，最后AC

師：點(diǎn)C在線段AB上自左向右運(yùn)動(dòng)的過程中，出現(xiàn)了AC>BC，AC=BC和AC

生(眾)：AC=BC.

師：像這樣的點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn).請你用自己的語言嘗試描述中點(diǎn)的定義.

5 原生態(tài)問題解決

5.1 再生問題1

在講解“AB>CD”時(shí)，再生態(tài)課堂采用的問題是“哪條線段的長度較長，哪條線段的長度較短”，替代了“兩條線段AB，CD大小關(guān)系怎樣表示”，注重了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ).在此問題的回答中，再生態(tài)課堂是教師首先示范了“線段AB比線段CD長”用“AB>CD”表示，再明晰AB>CD表示的兩種含義：既表示線段長度比較的結(jié)果，又可以表示線段的長短關(guān)系.這里，不是借助學(xué)生的回答告知全體學(xué)生，而是教師本人直接講授.學(xué)生可能會(huì)回答出“AB>CD”，但是對其蘊(yùn)含的兩種含義不能深入地領(lǐng)悟，這種深層次的理解與表達(dá)需要教師的講解.

5.2 再生問題2

學(xué)生在初學(xué)線段的和差關(guān)系時(shí)，僅僅知道線段AB，AC，BC三者長度之間的數(shù)量關(guān)系，但是不知道如何用式子表示.在課堂上，我們不排除有學(xué)生會(huì)想到用“AB=AC+BC”的形式表示，但是這只是一部分學(xué)生，并不能代表全部的學(xué)生均認(rèn)可這種表示方法.若是在初學(xué)時(shí)，教師沒有示范和規(guī)范圖3的幾何語言，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生心理上認(rèn)同而思想上質(zhì)疑的現(xiàn)象.因此在再生態(tài)課堂中，教師提問“線段AB比線段AC長了多少”，替換了原生態(tài)的問題2(它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？)，將幾何語言揉碎成學(xué)生能夠理解的文字語句，接著教師再規(guī)范板書“線段AB比線段AC長了線段BC”可以用式子“BC=AB-AC”表示.教師在此處講授的作用不僅僅是強(qiáng)調(diào)式子的規(guī)范性，更是用學(xué)生的認(rèn)知語言解釋了式子的書寫，達(dá)到了獲取新知與學(xué)生認(rèn)知的統(tǒng)一.

5.3 再生問題3

原生態(tài)的課堂中，問題3的提出略顯生硬和刻意，線段上特殊位置或特殊點(diǎn)繁多，而本節(jié)課為什么要研究中點(diǎn)，中點(diǎn)的存在性和唯一性沒有解釋透徹，學(xué)生完美無瑕的回答是對教師違心地“迎合”.將問題3改換成問題③，利用“線段AC與線段BC的大小關(guān)系”讓中點(diǎn)的存在性和唯一性曝光在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，通過運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)解釋了中點(diǎn)的客觀性、特殊性和學(xué)習(xí)的必要性.

6 教學(xué)反思

6.1 對原生態(tài)的反思

在教學(xué)中，我們時(shí)常會(huì)遇到與學(xué)生不能達(dá)到感情與思想共鳴的情況，教師認(rèn)為顯而易見的問題，是容易理解或不需要解釋的內(nèi)容，偏偏學(xué)生就是不理解、不能領(lǐng)悟.這時(shí)，我們當(dāng)以初學(xué)者的眼光閱讀課本，去發(fā)現(xiàn)問題的根源.翻閱課本時(shí)便會(huì)發(fā)現(xiàn)，“線段的長短比較”一節(jié)中有一個(gè)詞因反復(fù)出現(xiàn)而顯得特別醒目.課本在講解線段的長短比較時(shí)是這樣描述的：當(dāng)點(diǎn)D在線段AB內(nèi)部時(shí)，線段AB大于線段CD，記作AB>CD；在講解線段的和差時(shí)，表述如下：點(diǎn)D在線段AB上，那么線段AD就是AB與BD的差，記作AD=AB-BD[2].諸如此類的表述還有很多，這里“記作”二字意味著“約定俗成”，類似于“三角形ABC”可以記作“△ABC”.因此此處應(yīng)該由教師規(guī)范書寫，闡述知識的傳承性與統(tǒng)一性，不能由學(xué)生替代教師的示范作用，以免引發(fā)不必要的誤會(huì)，從而引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生“癡傻”問題.

6.2 對再生態(tài)的反思

透過“原生態(tài)問題解決”環(huán)節(jié)，可以探知“癡傻”問題產(chǎn)生的客觀原因，因?yàn)榻虒W(xué)過程中，教學(xué)問題跨度大、臺階高，教師過高地預(yù)估了學(xué)生的認(rèn)知，過多依賴于看似能夠自主學(xué)習(xí)的學(xué)生，沒有正確認(rèn)知教師的主導(dǎo)地位.在再生態(tài)課堂中，教師充分研讀學(xué)情，準(zhǔn)確評價(jià)學(xué)生的學(xué)情(問題①)，作出正確示范(問題②)，將本節(jié)課的難點(diǎn)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于理解的方式表達(dá)(問題③)，探索了學(xué)習(xí)知識的必要性和特殊性(問題③)，從而引導(dǎo)認(rèn)知與獲取的和諧，避免學(xué)生產(chǎn)生思想質(zhì)疑與心理認(rèn)同的不協(xié)調(diào)，防止癡傻問題的產(chǎn)生.

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程其實(shí)就是學(xué)生繼承先人遺志并發(fā)揚(yáng)光大，而先人遺志的播撒者就是教師.因此，我們倡導(dǎo)學(xué)生主體性并非是“一刀切”和盲目的，當(dāng)遇到需要教師作出規(guī)范性講解時(shí)，不能由學(xué)生代勞.教師應(yīng)該將知識掰開了、揉碎了，使用學(xué)生的認(rèn)知語言將知識講解透徹，才能盡可能減少“癡傻”問題的提出.因?yàn)槔^承與發(fā)展對學(xué)生來說，不是一時(shí)的熱情，而是持久的恒溫，“癡傻”問題的背后是對約定俗成的未知以及教師規(guī)范性講解的欠缺，恰恰這份“癡傻”是學(xué)生繼續(xù)探究知識的不竭動(dòng)力和永久“保鮮劑”.