一道教材習題引發(fā)的教學思考*

唐 毅 劉曉麗

(江蘇省鎮(zhèn)江第一中學 212016)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》要求“提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界，會用數(shù)學思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界．”“提倡獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式．”[1]“讀-研-寫”能夠很好地讓學生在用數(shù)學眼光觀察世界的基礎上，用數(shù)學思維思考并用數(shù)學語言表達，可以有效地豐富學生的學習活動，讓深度學習發(fā)生，進而發(fā)展學生的核心素養(yǎng)．

解三角形是高考中的基本考點之一，難度適中，常與三角恒等變換、平面幾何、向量、基本不等式等相關知識交匯與綜合，能較好地考查學生的數(shù)學運算素養(yǎng)、建模求解能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想．而破解三角形問題的關鍵是尋找切入點，借助已有知識、經(jīng)驗，激活思維，落實四基，培育素養(yǎng)．特別是高三備考階段，對于難度系數(shù)不大的模塊，如何改變“枯燥無味”的課堂環(huán)境？如何營造積極的課堂氛圍？本文以一道教材習題的教學為例進行闡釋．

1 習題呈現(xiàn)

圖1

此題三角形外形簡潔，內(nèi)涵豐富，思考空間大．

2 背景

高三備考中“回歸教材”必不可少．上題出現(xiàn)在單元檢測中，從學生的解答情況來看，大部分學生選擇使用正、余弦定理的常規(guī)解法；從得分率來看，本班得分率只有89.93%，對于基礎較好的班級來說，這樣的基礎題得分并不理想．究其原因是部分學生的方法過于單一，缺少對問題的追根溯源和對基本解題活動經(jīng)驗的積累．但此時如果教師繼續(xù)講解原題，大部分學生并不感興趣，對于此題筆者的處理是“不詳解”，但課堂上作變式訓練，對解題視角進行多維度的探究與思考，以激發(fā)全體學生學習的積極性，營造良好的課堂氛圍．從課堂效果來看，超出了筆者的預期，課堂上學生積極思考，認真傾聽，追根溯源，詳細記錄．

3 變式探究

圖2

本題考查解三角形問題，題目平和簡潔，蘊含的數(shù)學知識、方法、技能豐富，是一道值得深入探究的題目，與上述教材習題相似度較高．課堂實踐具體如下：

視角1——正、余弦定理

圖3

評析由于所給的已知條件是一些邊角關系，大部分學生首選常規(guī)思路——正弦和余弦定理．解法1巧用中點，借助余弦定理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸，求得AD的長．解法2巧用“互補角”，“互補角”在教材11.1節(jié)的例6證明角平分線定理時使用過．再結(jié)合正、余弦定理，解方程求得AD．但AD的兩解需要綜合三角形邊角關系“大邊對大角，小邊對小角”的原理進行取舍，是學生的難點和易錯點．利用正、余弦定理建立邊角關系，有利于培育學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．

視角2——坐標化

圖4 圖5

視角3——等面積

評析由于中點的出現(xiàn)，兩個小三角形面積相等，利用斜三角形面積公式得AB=2，再結(jié)合大三角形面積，算兩次，可以求得AD的長．這里有助于學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)的發(fā)展．

視角4——平面向量

評析向量集“數(shù)”與“形”于一身，是溝通幾何、三角、代數(shù)的天然橋梁．蘇教版教材中余弦定理的獲得也是基于平面向量的背景，這里可以將三角形中的邊角關系還原到向量背景中探究，簡化運算．將三角形問題轉(zhuǎn)化為平面向量，能培育學生的數(shù)形結(jié)合思想，促進直觀想象數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展．

視角5——平面幾何

圖6 圖7

評析處理平面幾何問題時經(jīng)常要引入輔助線，這對學生邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)要求較高．倍長中線以及構造直角三角形，都是學生初中研究的重點內(nèi)容．解法7倍長中線再結(jié)合正弦定理一步到位求得AD長．解法8通過平面幾何知識構造直角三角形，借助三角形全等求得AD長；也可以分別過B和D作AC的垂線(或者分別過C和D作AB的垂線)，“斜化直”構造直角三角形．關注幾何圖形，可以避開復雜運算，有助于培育學生的邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)．

圖8

一節(jié)課愉快且充實地度過，學生再次詳細地經(jīng)歷了解三角形問題的常見突破視角(圖8)的思考過程．下課時部分學生觸類而通，興奮地告訴筆者，對于教材的第14題他還有很多解法，如利用互補角、坐標化、平面幾何等等，課堂效率明顯提高．

4 幾點思考

教學實踐中，筆者經(jīng)歷了“青澀—成熟—骨干”的成長過程，也遇見過“迷茫”，迷茫于面對高考的重壓，學生總想著“節(jié)約”時間多做題，“節(jié)約”甚至到了課堂，主要體現(xiàn)在：老師講評作業(yè)(或練習)，學生不想“浪費”時間聽，特別是自己做對的題目．面對這樣一種“課堂現(xiàn)象”，筆者反復思考，如何改變學生“不聽講”的狀態(tài)？如何讓學生主動思考？通過數(shù)學課堂學生到底獲得了什么？如何讓學生自然生成解法？[2]

(1)多傾聽，再激活

解題不僅僅要“解答正確”，還要追求思路清晰、推理嚴謹、表達流暢、過程簡捷．適當優(yōu)化課堂教學活動，從不同角度審視題目，多視角、多層面地思考與探究，激活舊知，開拓思路，掌握規(guī)律，積累解題經(jīng)驗，完善數(shù)學學習過程．解題切入口也要適合學情，順應學生的思維自然地開展，讓學生感受到自己的思考是有效的，增強學生學習數(shù)學的自信心．從學生的已有知識積累和解題經(jīng)驗出發(fā)，從“淺層次”著手，層層遞進，不斷“喚醒”學生，不斷地把數(shù)學知識與技能轉(zhuǎn)化為分析問題、解決問題的能力，提升數(shù)學素養(yǎng)．

(2)常反思，勤總結(jié)

高三學生對解三角形題目往往不屑于深究，但從整體來看，并沒有達到應有的學習結(jié)果．試想，如果本節(jié)課筆者仍在原題上切入互補角、坐標化、平面幾何、向量等解三角形的常用方法，大部分學生會覺得自己已經(jīng)做對了，不需要再繼續(xù)研究了，可能一節(jié)課下來學生的知識增長幾乎為零．數(shù)學知識的內(nèi)部縱橫交錯，即使問題成功解決也需要反思回顧，加強對問題的深層研究，為數(shù)學思維和數(shù)學交流創(chuàng)造機會．

(3)重過程，育素養(yǎng)

本文的例題解答方法較多，但不同方法之間所用的思維、運算、表述、時間、書寫等成本大不相同．對比不同的解決方案，能優(yōu)化解題思路、提高解題效率，同時發(fā)展核心素養(yǎng)．當然，核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，它貫穿于每一個教學環(huán)節(jié)之中，教師的每一次教學活動都應該為發(fā)展學生的核心素養(yǎng)做出應有的貢獻．我們要學習課程標準，研讀教材，揭示數(shù)學知識內(nèi)部規(guī)律、聯(lián)系，明晰訓練方向，研究學生得失，提升學生能力；調(diào)整課堂教學策略，優(yōu)化課堂教學環(huán)節(jié).

數(shù)學教學“讀-研-寫”在行動，具體地說就是：引領學生學會主動思考，學會傾聽和閱讀老師或同伴的想法及過程，并以此為契機深入研究，將數(shù)學理解、解題回顧和方法反思等用自己的語言形成文字表達，及時總結(jié)研究成果．后期學生通過閱讀自己的寫作內(nèi)容，能很快地進行思維上的銜接和聯(lián)系，有助于延續(xù)性學習，促進深度學習．本文提及的問題不難，但仍需我們從中反思，希望能為數(shù)學教學提供一點借鑒．