精準診斷破抽象 有效拓展提素養(yǎng)

潘光勇 (浙江省青田縣中學 323900)

在網(wǎng)絡信息發(fā)達的今天，各地的高考模擬試題如雨后春筍般冒出來，“好題”不斷，給一線的數(shù)學教師提供了很多可以拓展的知識素材，也為各種“秒殺技”提供了肥沃的土壤．利用某些特殊的二級結論(即一些拓展知識)可以在解題過程中實現(xiàn)“秒殺”，在追求“秒殺”的過程中教師總是主動(或被動地)進行各種“秒殺”知識的拓展．這些拓展知識除了讓學生聽得“云里霧里”、似懂非懂外，也極大地影響著教師對知識拓展方向和拓展深度的判斷，嚴重影響高三數(shù)學復習課的教學質(zhì)量．同時也增加了學生的學習負擔，學生總覺得有學不完的數(shù)學知識；打擊了學生學好數(shù)學的自信心，對學生基礎知識和基本技能的落實以及數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)產(chǎn)生不可估量的負面影響，實在是得不償失．對于一線高三數(shù)學教師來說，對某些重要的學科主干知識進行拓展延伸是一件正常的事，但在復習教學時要拓展什么內(nèi)容、拓展到什么程度、按什么邏輯順序進行拓展，這些問題卻讓很多教師糾結、迷茫，很多教師只是“隨卷而動”“隨題拓展”，盲目跟風．

本文以2020年11月浙江省衢州、麗水、湖州三地市教學質(zhì)量檢測試卷第21題解析幾何題為例，從案例展現(xiàn)、拓展有理，真題研磨、拓展有向，反思教學、拓展有法三個方面出發(fā)，談談如何在高三數(shù)學教學時進行知識的有效拓展．

1 案例展現(xiàn)，拓展有理

(1)當點G在橢圓T上時，求GF的值；

(2)如圖1，過點G的直線l1與橢圓T交于P,Q兩點，與拋物線M交于A,B兩點，且G是線段PQ的中點，過點F的直線l2交拋物線M于C,D兩點．若AC∥BD，求l2的斜率k的取值范圍．

圖1

1.1 數(shù)據(jù)查因，精準診斷

筆者對學生答題情況和后臺數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學生只能完成第(1)小題的解答，對第(2)小題無從下手或者解題思維混亂，平均得分為5.86分，解析幾何相關的數(shù)學素養(yǎng)欠缺明顯．通過對學生答卷重新進行面批以及對答題數(shù)據(jù)進行分析，學生的錯誤原因初步診斷如下．

診斷1 圖形復雜直線多，起步艱難缺方法．學生畏難情緒嚴重，靜不下心來分析試題中各幾何元素間的關系．

診斷2 在已知中點的情況下，不會求弦l1的斜率，說明學生對重要知識的掌握不嫻熟，數(shù)學素養(yǎng)有待提高．

診斷3 對試題中的直線與橢圓、直線與拋物線的關系不清晰，沒能從直線AC與直線BD平行這一條件找到解題的化簡目標．

從整個改卷情況看，多數(shù)學生對解析幾何涉及的基礎知識、基本方法、基本技能的掌握還不到位，沒有明確的解題目標，缺少積極的思維心態(tài)和數(shù)學素養(yǎng)．

1.2 理清關系，破解難點

本例中涉及的圖形有橢圓、雙曲線、過點G的直線、過點F的直線．點G是橢圓弦PQ的中點，由點差法可以求出弦PQ所在直線l1的斜率，故可以求出l1的方程．由AC∥BD知，兩直線的斜率相等，必然涉及到A,B,C,D四個點的坐標，必須要讓直線l1,l2分別與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理找出坐標間的關系，從而實現(xiàn)順利求解．

1.3 再現(xiàn)基礎，順勢拓展

1.4 靈活應用，簡化運算

從本例的解析可以看出，對橢圓的中點弦問題進行知識拓展顯得非常必要．抓住問題的結構特征，運用已掌握的拓展知識，簡化直線l1方程的求解，對本題的順利求解起到非常重要的作用．

2 真題研磨，拓展有向

“磨刀不誤砍柴功”，在高三的數(shù)學復習教學中明確復習方向，才能讓知識拓展“有的放矢”．然而，高中數(shù)學知識點中可以拓展的知識點多，僅圓錐曲線中可以拓展的“二級結論”就多達上百條，如此多的“二級結論”全部拓展一遍，不僅耗時耗力，學生也掌握不了．對于如何把握知識拓展內(nèi)容和拓展方向，教師可以從以下幾個方面進行操作．

2.1 重做真題，拓展有向

比如，引例中出現(xiàn)的拓展知識點：橢圓中的“垂徑定理”，在高三的復習教學中，有沒有必要對此進行拓展、拓展到什么程度，這樣的拓展能否有助于學生解決相關試題？我們可以通過研磨歷年的浙江高考數(shù)學真題，從中尋找答案．

圖2

圖3

從近五年浙江高考卷的解析幾何題中我們可以發(fā)現(xiàn)，橢圓中的“垂徑定理”這一拓展知識的運用還是比較常見的．對于涉及橢圓中點弦的相關問題，學生容易運用這一結論簡化運算、理清解題思路，尋找試題的解決方向和目標，避免繁雜的運算．像這種在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的知識，我們進行重點知識拓展是非常必要的，而且是必須的．這種知識拓展不僅不會增加學生的負擔，還能優(yōu)化運算，何樂而不為？

2.2 寬度拓展，發(fā)展素養(yǎng)

橢圓中具有這樣精美的結論，那么雙曲線、拋物線中否也具有相似的結論呢？

這樣拓展操作，我們可以輕松實現(xiàn)從知識“點”到知識“面”的拓展，圍繞著“中點弦問題”這個知識“點”作縱深的挖掘，起到鞏固和發(fā)展的作用．這樣的拓展既讓學生有興趣又有挑戰(zhàn)性，更方便架構知識的網(wǎng)絡．因此，教師要根據(jù)高考考試要求，善于對知識點進行適度拓展，引導學生深入思考．

3 反思教學，拓展有法

“數(shù)學教學要著重培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，讓學生學會從數(shù)學的角度分析問題，用數(shù)學的思想方法解決問題．”因此，數(shù)學教學中教師要善于適度拓展，豐富、創(chuàng)新教學方式，讓學生真正掌握學習數(shù)學的方法，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升．

3.1 “鏈”式追問，“單點”拓展

在精選試題、立足基礎、優(yōu)化運算、找準拓展知識點后，教師通過對問題的引申、層層遞進，對問題涉及的知識點進行分析討論，引向深入，重點突出，自然拓展．可以通過“問題鏈”的形式，精心設計“問題鏈”，從易到難，層層深入，引導學生從知識拓展的深度出發(fā)，不斷深化對拓展知識點的認知．這樣的設計有力地牽引著學生正確迅速地掌握新知、理清知識脈絡．可以緊扣教學重點，輕松地化解了學生理解中的難點，不僅關注了學生對基礎知識和基本技能的掌握，也關注學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)以及意志品質(zhì)的磨練，還能實現(xiàn)“做一題、會一類”的教學目標，擺脫題海，提升效率；同時提升學生的思維深刻性、靈活性、廣闊性．

3.2 找準“標靶”，“串聯(lián)”拓展

數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，知識的邏輯體系決定了知識間的聯(lián)系，這種內(nèi)在聯(lián)系為學生掌握新知架起了橋梁，實現(xiàn)各知識點間的“串聯(lián)”拓展．為了提高各知識間的有效“串聯(lián)”，我們可以在問題猜想處進行知識點的“串聯(lián)”拓展，主動拓展探究空間，引導學生主動探索，使學生真正成為探索創(chuàng)造者．認知心理學指出：人的認知結構是平衡的，一旦出現(xiàn)不平衡就會自然產(chǎn)生一種趨力去力求改變這種狀態(tài)，重新恢復認知系統(tǒng)的內(nèi)在平衡，即恢復其內(nèi)在的一致性．因此我們還可以在主要知識概念的矛盾處進行“串聯(lián)”拓展，拓展學生的積極思維空間．此外，學生學習數(shù)學只有通過自身的操作活動和主動參與去做才能產(chǎn)生效果．所以我們還可以在教學關鍵處進行“串聯(lián)”拓展，讓學生去主動學習，自主建構概念．總之，對學科知識進行拓展的方法是多樣的、靈活的，教學時應抓住教學目標，根據(jù)課堂教學的需要，在知識拓展的寬度、深度方面靈活設計各類問題，營造一種探究式的數(shù)學場景，激發(fā)學生的學習興趣，引導學生主動探索，達到培養(yǎng)學生數(shù)學思維、發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的目標．

知識的拓展沒有固定的方法與模式，教師作為教學的直接推進者和課堂決策的制定者，應在研究高考試題的基礎上，明確主干知識的拓展方向.在知識拓展的方法上，可以根據(jù)課堂的預設與生成，通過各種檢測數(shù)據(jù)的積累和綜合分析，科學準確地診斷學生知識掌握的優(yōu)劣，精準剖析問題錯因，靈活地在核心知識概念的形成、限用范圍、深度提升等方面進行拓展，精心設計各種“問題鏈”，鞏固基礎知識和基本技能，破解教學難點，以幫助學生提升數(shù)學學科素養(yǎng)．