美英早期代數教科書中的一元二次不等式

狄 邁 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

高考綜合改革制度下《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《標準》)將原課標位于“必修五”的“不等式”置于必修模塊“主題一：預備知識”，要求幫助學生通過類比理解等式與不等式的異同，更進一步地從函數觀點看一元二次不等式[1]．在“雙新”背景之下，“一元二次不等式”作為初升高“預備知識”，正處于學生知識結構銜接的核心地位，這時要幫助學生體會數學語言的抽象性以及思維方式從感性到理性的躍遷，使學生順利地跨越斷層，完成初高中數學學習的過渡．[2]

另一方面，《標準》重視數學文化的作用，提出“通過高中數學課程的學習，認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值”[1]，數學不僅是一些知識，而且是一種素質；當然數學也不僅是一門科學，更是一種文化；在“課程結構”中指出，“把數學文化融入課程內容中”．數學史是數學文化的重要組成部分．實踐表明，在數學教學中，數學史可以揭示知識之諧，呈現方法之美，營造探究之樂，達成能力之助，展示文化之魅，實現德育之效[3]．

研究表明，對于剛學習不等式知識的學生來說，有較為明顯的歷史相似性[4]．學生在求解一元二次不等式過程中常出現將解方程代替解不等式、將解方程方法遷移到不等式等錯誤[5]．考慮到學生的先驗知識，教師必須遵循教材編排順序進行教學，但是新入學的學生常會產生如下疑惑：等式與不等式在求解上有何異同？為何要用函數的方法對不等式進行求解？不等式的各種求解方式有何聯系？為了回答這些問題，我們對美英早期教科書中有關一元二次不等式的內容進行考察，以期從中獲取思想的啟迪，為教學提供有益的參考．

2 早期文獻中的不等式性質

公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得(Euclid)在《幾何原本》中提出公理——“整體大于部分”，在此基礎上，借助不等式的基本性質證明了許多涉及不等關系的命題．

如卷一命題17：“任意一個三角形，其兩內角的和總小于兩個直角．”歐幾里得的證明如下：如圖1，因∠ACD>∠ABC，故∠ACD+∠ACB>∠ABC+∠ACB，因此，∠ABC+∠ACB小于二直角．這里，歐幾里得運用了不等式的性質：若x>y，則x+z>y+z．

圖1

19世紀30年代，美英代數教科書中已經出現了不等式(Inequality)及其簡單的運算規(guī)則．Davies總結了不等式的以下性質[7]：

(1)在不等式兩端增加或減去相同的數量，所得到的不等關系不變．

(2)將相同意義(不等號相同)的兩個不等式兩端分別相加，所得到的不等關系不變．如，若a>b,c>d,e>f，則a+c+e>b+d+f；但兩端分別相減時，結果不一定成立，如9>10，8>6，但9-8<10-6．

(3)不等式兩端同乘一個正數，所得到的不等關系不變．如，由a>b可得3a>3b；不等式兩端同乘一個負數，所得到的不等關系反向，如，由8>7，兩端同乘-3，得-24<-21．

(4)正數之間的不等式兩端各取平方值，不等關系不變．

(5)當不等式兩端有一負數時，無法在執(zhí)行運算之前知道結果是什么．

該書對不等式的基本性質進行了介紹，指出不等式的變形與等式變形是類似的．

Edgerton等人敘述了不等式變形的七條法則，指出：若不等式兩端的值均為正，則兩端取相同次冪或相同次方根，不等關系不變，并且可以像等式那樣對不等式進行變形[8]．

我們看到，古希臘時期數學家借助幾何圖形得到不等式的基本性質．到后來，數學家們均提出“像等式變形那樣，對不等式進行變形”，所提出的變形規(guī)則也依據等式的變形規(guī)則而來再加以完善．換句話說，一切依賴于不等式變形的不等式求解，與其相應的等式變形與求解過程是一體同心的．

3 一元二次不等式的求解

直到19世紀末，代數教科書中終于出現了一元二次不等式及其解法，其解法一定程度上借鑒了一元二次方程的求解方式．

3.1 配方法

與一元二次方程的情形類似，對于一元二次不等式，人們最先想到的解法也是配方法．但與方程情形不同的是，在求解不等式時，人們并沒有借助于幾何圖形．

Smith給出了一元二次不等式的第一種解法——配方法[9]．例如，對于不等式x2-4x+3>-1，將不等式左邊進行配方，得x2-4x+3=(x-2)2-4+3．因此，不等式變?yōu)?x-2)2-1>-1，故得不等式的解集為{x|x∈R,且x≠2}．

Rouse也運用配方法對一元二次不等式進行求解[10]．對于不等式k2-8k>0，不等式兩端分別加16，得到k2-8k+16>16，(k-4)2>16，由此可得k-4<-4，或k-4>4，于是得k>8或k<0．因此，不等式的解集為{k|k>8或k<0}．

Smith的例子較為特殊，經移項，不等號左邊原本就是完全平方，并且運算大多涉及不等號左邊的恒等變形，并未脫離等式的配方法．Rouse運用不等式的基本性質，通過不等號兩邊加上同一常數進行配方，將等式的某些結論遷移至不等式，展現了不等式配方法本身的特點．

3.2 因式分解法

歐拉(L. Euler, 1707-1783)在其《無窮分析引論》中指出，將整式函數分解成因式，其性質就變得很明顯，一眼就可以看出變量取何值時函數值為零[11]．通過因式分解，一元二次不等式也可以更直接地看出滿足要求的x的取值范圍．

Fisher 等人利用因式分解法來解一元二次不等式．例如，對于不等式x2+5x>-6，將-6移至左邊，得x2+5x+6>0，進而得(x+2)(x+3)>0．為了使得(x+2)與(x+3)乘積為正，則兩個乘數需同時為正或同時為負．當x>-2時，(x+2)與(x+3)同時為正；當x<-3時，兩者同時為負．因此，滿足該不等式的x的取值范圍為x>-2或x<-3．[12]

可見，早期人們用因式分解法來解一元二次不等式時，大多借助于代數運算法則，通過因子相乘后的符號來推斷每一個因子的符號，進而得出x的取值范圍，是一種以代數為導向的求解方式．

Miller等人對于一元二次不等式的求解提出了三種不同方式，其中包括因式分解法[13]．以不等式x2+x+6>0為例，將其寫成(x-2)(x+3)>0，根據乘積正負與因子正負的關系，得表1．

表1 (x-2)(x+3)正負與各因子正負的關系

20世紀初，教科書開始采用因式分解法來解一元二次不等式，通過乘積正負與因子正負的關系，判斷未知數x的取值范圍，隨后代入特殊數值加以檢驗．顯然，此時人們尚未將不等式與函數聯系在一起，而只局限于代數算法規(guī)則本身，自然不會出現利用圖象“穿針引線”的直觀方法．

3.3 求根法

求根法是指運用一元二次方程的求根公式，先考察判別式Δ=b2-4ac的正負情況，若滿足Δ≥0，則求出對應一元二次方程的根，再根據二次項系數a的正負性確定x的取值．

Hawkes在《高等代數》中首次借助一元二次方程，對一般的一元二次不等式解的情況進行了討論．

當一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有相同實根或虛根的時候，相對應的一元二次不等式的符號取決于二次項系數a的符號；如果方程有兩個不同的實根，x的取值介于兩根之間還是兩側，也取決于系數a的符號．具體如表2所示：

表2 Hawkes對一元二次不等式解的判斷[14]

明確將一元二次方程的根與一元二次不等式的解集聯系在一起，是這個時期教科書所實現的巨大飛躍，它與上文中的因式分解法的區(qū)別在于更加直接地肯定了求方程根的重要作用．可以說，求根法充分利用了一元二次方程本身的性質，從等式出發(fā)探索不等關系，將等式的相關知識與結論運用于不等式．但是，教科書并未解釋清楚系數a的正負與x取值介于兩根之間抑或是兩側的關系，只是將它們之間的對應關系進行了簡單的概括．

3.4 函數圖象法

函數思想在中學數學學習中占有重要地位．今日教科書中，解一元二次不等式的主流方法就是函數法．簡單地說，函數法是指將原有一元二次不等式化為一元二次函數，根據函數的性質繪制相應的函數圖象，通過數形結合得到未知數取值范圍的方法．

Hedrick首次借助函數圖象解決不等式問題，總結出一元二次方程的根、其代表的函數圖象與不等式解集之間的關系．

以不等式x2+2x-8>0為例，求解滿足該不等式的未知數x的取值范圍．首先，令l(x)=x2+2x-8>0，繪制其圖象(圖2)．可以得出，l>0等價于函數圖象位于x軸上方，當x取值位于x= -4左側或x=2右側時成立．x=-4與x=2兩個實數點可以通過解方程l(x)=0，即x2+2x-8=0得到．類似地，方程x2+2x-8=0的兩個根分別為x1=-4,x2=2，由圖得出，滿足不等式x2+2x-8<0的x的值介于兩根x1=-4,x2=2之間，即-4

圖2 l(x)的圖象

Hedrick指出：類似地，在任何情況下，我們都可以用圖象表示不等號的左右兩側，看看何時一方超過另一方．從圖上可以明顯地看出，我們首先應該找出當兩邊相等時，使得其成立的點就是兩個圖象的交點[15]．

Hedrick的方法點明了不等式中“相等”的重要性，“相等”是“不等”的邊界．另外，此種借助圖象來求解一元二次不等式的方式不局限于一元二次不等式，還可以推廣到任何不等式的求解．通過移項，繪制不等式兩側代數式所代表的函數的圖象，觀察比較兩側函數值的大小，得到對應的自變量x的取值范圍就是不等式的解集．在該書中，作者雖用函數的圖象來求解不等式，也沒有明確提及用函數來解決不等式的問題，但是其中蘊含了今日的函數思想．

Edgerton等人明確提出用函數來解不等式：將不等式進行移項，左邊的代數式轉化為函數f(x)，繪制函數圖象，當函數圖象位于x軸上方時，函數值為正，即滿足不等式f(x)>0[8]．

Davis給出了一般一元二次不等式的函數解法．對于一般一元二次不等式ax2+bx+c>0 (其中a,b,c均為常數，若不等號為“<”則兩端同乘-1，得到“>”)，我們繪制以x為自變量的函數y=ax2+bx+c的圖象．如果函數圖象全部位于x軸上方，那么不等式ax2+bx+c>0對于一切x均成立；相反地，如果函數圖象全部位于x軸下方，那么不等式對于任何x都不成立，即無解．如果介于中間的情況，有部分值滿足y>0這一條件．顯而易見的是，滿足條件的x的值介于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根之間，或小于較小的根、大于較大的根[16]．

至此，一元二次不等式與函數終于難舍難分，此后幾乎所有有關一元二次不等式的求解均會提到“函數圖象解法”．

Hart將函數解法稱為“不等式的圖象解法”，將求解的重點放于對函數圖象的觀察與解釋．他指出：一元不等式可以通過變形化為f(x)>0或f(x)<0的形式．對變形后的不等式的求解步驟為：(1)畫出函數f(x)的圖象；(2)使得f(x)圖象位于x軸上方的x的取值，即為滿足不等式f(x)>0的x的取值；使得f(x)圖象位于x軸下方的x的取值，即為滿足不等式f(x)<0的x的取值[17]．

4 一元二次不等式求解方法的演變

根據早期代數教科書中相關敘述，以20年為一單位，呈現了“一元二次不等式”求解方法的演進過程(圖3)．

圖3 求解方法演進過程

早期一元二次不等式的求解方式呈現出由單一走向多樣，最后回歸單一的趨勢．

20世紀前，人們單純將等式求解遷移到不等式，“配方法”是求解一元二次不等式的主流．20世紀初，“函數圖象法”出現，在后續(xù)的幾十年中迅速占據重要地位，究其原因，其一，分析理論的逐漸完善促進了“函數思想”的發(fā)展；其二，20世紀初，F.克萊因(F.C. Klein, 1849—1925)提出了“米蘭大綱”，發(fā)表自己對數學教育的看法，主張“函數是中學數學教育的基石”，加強函數思想的教學，使得函數在數學課程之中地位提高．

5 教學啟示

綜上所述，歷史上出現了一元二次不等式的多種求解方法，為今日不等式教學提供了諸多啟示．

其一，注重知識之間的普遍聯系．在早期教科書對于“一元二次不等式”的求解過程中，表現出對“方程思想”“函數思想”的運用；某些教科書習題[18]中也將行列式的計算與不等式的求解聯系在一起，溝通不等式與其他數學知識．因此，在復習課中，可以基于“一元二次不等式”設計問題串，使用“1+X”教學模式，將不等式與方程、函數、解析幾何等知識聯系在一起，形成知識網絡，構建知識之諧，展現方法之美．

其二，嘗試跨學科教學．跨學科學習可以幫助學生在學習某一學科知識時，從促進知識的理解起步，再到對知識或學科內容的個性化建構，然后能結合實際中的生活問題進行創(chuàng)新或創(chuàng)造[19]．Rouse基于物理中的“上拋運動”[10]設計了“一元二次不等式”的相關問題，將其與物理、實際生活聯系在一起．在教學過程中，教師可以基于該知識設計項目式學習活動，尋找生活中的“一元二次不等式”，溝通數學與現實，打破學科之間的壁壘，使數學真正地服務于生活，讓學生體會數學文化．

其三，通過技術實現由靜到動的轉變．中國教育信息化已步入了融合創(chuàng)新、智能引領的新時代——教育信息化2.0 時代[20]．當下需要實施能有效變革課堂教學結構的創(chuàng)新教學模式[21]，發(fā)展與深入研究適合學科的信息技術，促進學生的認知與交流．高一學生對“函數”的認識多停留于靜態(tài)，其與“不等式”的聯系重點是“動態(tài)”的實現．因此，教師可通過幾何畫板的動態(tài)展示，引導學生自主地將二次函數與方程、不等式的解聯系在一起，從具體的動畫中抽象出數學概念，實現能力之助．

其四，比較方程與不等式的異同．學生由初中到高中，解不等式的過程中常常會“生搬硬套”，產生負遷移．早期教科書中所說的“像求解等式那樣求解不等式”[7]，或許也是造成某些錯誤的一部分原因．現行教學中也多出現方程與等式對等的情況，這常常使得學生將等式(方程)求解過程直接遷移至不等式，因此在教學過程中，教師有必要強調方程與不等式的異同．