彭 剛 陳映彤 (廣西師范大學數學與統(tǒng)計學院 541004)
東京大學是日本最頂尖的綜合性大學,匯聚了日本一流的人力資本和學術資源[1].在日本 近代數學的發(fā)展中,東京大學扮演了舉足輕重的角色——1877年日本東京數學會和東京大學 理學部成立,日本現代數學研究正式拉開帷幕.曾獲菲爾茲獎和沃爾夫獎的著名數學家小平邦彥(Kunihiko Kodaira,1915—1997)就曾在東京大學工作過.時至今日,東京大學仍是日本最重要的數學研究機構.
與日本其他著名高校一樣,東京大學每年通過大學入學考試為其選拔大批優(yōu)秀后備人才,不斷增強本校數學研究的力量.日本著名大學入學考試作為選拔高水平人才的得力方式,其試題的設置方式與內容均值得我們借鑒.本文對東京大學2021年數學入學考試試題進行解析,希望對當前中國實施的“強基計劃”提供參考.
日本國公立大學的選拔一般由兩場考試構成——學生首先需通過全國統(tǒng)一的大學入學考試,成績合格后才有資格參加國家公立大學自主組織的入學考試.東京大學自主組織的入學考試數學試題分為理科卷和文科卷,本文介紹的即為2021年東京大學入學考試中的理科數學試題.
依據日本最大的教育輔導社河合塾提供的數據,2021年東京大學理科數學試題的總體難度與2020年持平,較2019年有所上升.試題中的題目均為解答題,共6大題(每個大題都包含若干個小題),總分為120分,考試總時長為150分鐘.從內容方面來看,這些題目涉及的知識領域包括初等數論、初等代數、解析幾何以及微積分.下面我們對這6道問題進行解析.
第1題已知a,b為實數,平面直角坐標系中有拋物線C:y=x2+ax+b,它與拋物線y= -x2有兩個交點,且兩個交點的橫坐標分別滿足x1∈(-1,0),x2∈(0,1).
(1)在平面直角坐標系中表示出點(a,b)的范圍;
(2)在平面直角坐標系中表示出拋物線C的范圍.
圖1
(2)設(1)中點(a,b)的范圍為D,拋物線通過的范圍設為E,(x,y)為E中任意一點,則(x,y)滿足的條件為:在xOy平面上,滿足y=x2+ax+b且(a,b)在D中;這等價于:在aOb平面上,直線b=-xa+y-x2與D有公共點.
令g(a)=-xa+y-x2,可分為以下四種情況討論:
綜上可知,E的邊界為y=x2-2x,y=x2+2x,y=x2-2,進一步可得到直角坐標系中E的圖形,如圖2.
圖2
點評本題主要考查平面內兩條拋物線的位置關系,內容屬于“解析幾何”,難度層次為“標準”①(1)①河合塾將試題難度分為“易”“較易”“標準”“較難”和“難”五個等級,日本高校理科類數學試題大多集中在“較易”“標準”和“較難”這三個等級..本題分為兩小問,第(1)問較為常規(guī),本質上是關于一元二次方程根的分布問題,解決策略是將其轉換為一元二次函數的圖象與x軸的交點情況來處理.第(2)問要求動拋物線的移動范圍,此類問題在我國高考和競賽中都較為少見,其解決策略是“反客為主”,把(a,b)視為動點,從而將動拋物線與定拋物線的相交問題轉化為動直線與定區(qū)域的相交問題,具有一定的挑戰(zhàn)性.
第2題已知f(z)=az2+bz+c(a,b,c為復數),i為虛數單位.
(1)設α,β,γ為復數,且f(0)=α,f(1)=β,f(i)=γ時,請用含α,β,γ的式子表示a,b,c;
(2)當f(0),f(1),f(i)均為區(qū)間[1,2]中的實數時,請在復平面內表示f(2)的范圍.
(2)設f(2)=4a+2b+c=ω,將(1)的結果代入f(2)中,有
=α(-1-2i)+β(3+i)+γ(-1+i),
其中,α,β,γ是滿足1≤α≤2,1≤β≤2, 1≤γ≤2的實數.
設-1-2i=z1,3+i=z2,-1+i=z3,則當1≤α≤2且1≤β≤2時,由復數加法的幾何意義可知,αz1+βz2的范圍為一個平行四邊形(圖3).
圖3 圖4
假設這個平行四邊形的邊界及內部為D,D中的各點再加上γz3(1≤γ≤2),便可得到ω即f(2)的范圍(圖4).
點評本題主要考查復數的運算及其幾何表示,內容屬于“初等代數”,難度層次為“較難”.本題有兩問,第(1)問求a,b,c的表達式,為常規(guī)計算.第(2)問求f(2)的范圍,涉及三個變量,難度較大;此問的解題策略是“逐步推進”——先研究兩個變量的情況,然后在此基礎上研究三個變量.就表達方式而言,求解第(2)問時既可以利用復數加法的幾何意義,也可以轉換成向量的加法,二者本質上是相通的.
(1)若C與l只存在一個與點A不同的交點,求該點的橫坐標;
下面使用換元法來計算I2和I3.
點評本題主要考查切線方程求解及定積分的計算,屬于“微積分”的內容,難度層次為“標準”.本題中的求導運算和積分運算均比較常規(guī),但對計算的準確性提出了較高的要求.
第4題回答以下問題:
(1)若正奇數K,L和正整數A,B滿足KA=LB,且K與L除以4的余數相同,證明:A與B除以4的余數也相同;
解(1)由于4|(K-L),令K-L=4n(n為整數),則K=L+4n.又KA=LB,故(L+4n)A=LB,即L(A-B)=-4nA,而L為奇數,所以A-B是4的倍數,從而得到A與B被4除的余數相同.
(2)依題可知,
令r0=4a(4a-4)·…·(4a-4b+4),
r1=(4a+1)(4a-3)·…·(4a-4b+1),
r2=(4a-2)(4a-6)·…·(4a-4b+2),
r3=(4a-1)(4a-5)·…·(4a-4b+3),
以及t0=4b(4b-4)·…·8·4,
t1=(4b+1)(4b-3)·…·5·1,
t2=(4b-2)(4b-6)·…·6·2,
t3=(4b-1)(4b-5)·…·7·3,
(3)易知r1≡t1(mod 4),r3≡t3(mod 4),又2|(a-b),故4|(2a-2b),即2a≡ 2b(mod 4),從而有(2a-1)(2a-3)·…·(2a-2b+1)≡(2b-1)(2b-3)·…·(2b-2b+1)=(2b-1)(2b-3)·…·3·1(mod 4).
點評本題主要考查整除和同余理論,內容屬于“初等數論”,難度層次為“較難”.本題共有4個小問,并且它們環(huán)環(huán)相扣,問題的設計很精妙.本題引入了組合數,因而增加了題目的難度,解題者需要根據(1)中的結論,將組合數展開中的諸多整數按照模4的余數進行分類,并通過換元來簡化運算,具有很強的技巧性.
第5題已知α為正實數,關于θ的函數f(θ)為平面上A,P兩點距離的平方,這兩點的坐標分別為A(-α,-3),P(θ+sinθ,cosθ)(0≤θ≤π).
(1)證明:當0<θ<π時,存在唯一的θ使得f′(θ)=0;
解(1)依題可知f(θ)=AP2=(θ+sinθ+α)2+(cosθ+3)2,則
f′(θ)=-4sinθ+2(θ+α)cosθ+2(θ+α),
f″(θ)=-2(θ+α)sinθ-2cosθ+2,
f?(θ)=-2(θ+α)cosθ.
由f?(θ)的正負可得到f″(θ)的單調性,如下表所示:
θ00,π2 π2π2,π πf?(θ)-0+f″(θ)0↘2-π-2α↗4
由f″(θ)的正負繼續(xù)可以得到f′(θ)的單調性,如下表所示:
θ0(0,β)β(β,π)πf″(θ)-0+f'(θ)4α↘f'(β)↗0
因為f′(θ)在(β,π)內單調遞增,所以f′(β)
(2)由f′(θ)的正負可以得到f(θ)的單調性,如下表所示:
θ0(0,γ)γ(γ,π)πf'(θ)+0-0f(θ)f(0)↗f(γ)↘f(π)
點評本題主要考查零點定理、函數的導數與函數的單調性之間的關系,屬于“微積分”的內容,難度層次為“標準”.本題有兩小題,其中第(1)題十分有特色,解答過程中涉及多個存在性問題.與第3題主要考查計算不同,本題帶有濃厚的“分析”味道,解題者既需要清晰的邏輯思維,又需要有較強的直覺能力.
第6題已知b,c,p,q,r為常數,下式為關于x的一個恒等式:
x4+bx+c=(x2+px+q)(x2-px+r).
(1)當p≠0時,用p,b表示q,r;
故滿足條件的一組整式f(t)與g(t)為f(t)=t2+1,g(t)=(t2+1)(t+2)2.
②當p≠0時,由(2)知p滿足
[p2-(a2+1)][p4+(a2+1)p2+(a2+1)(a+2)2]=0,
點評本題主要考查代數式的運算,內容屬于“初等代數”,難度層次為“較難”.本題具有較強的綜合性,解題步驟也較多,對解題者的計算準確性要求很高.此外,本題涉及較多的字母(除了主元x外,還有6個表示常量的字母a,b,c,p,q,r),因而解題者需要具備較強的信息處理能力.
2020年1月,中國教育部頒布文件《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》[2].該文件聚焦國家重大戰(zhàn)略需求,決定從2020年起取消高校自主招生考試,在試點的36所高校實施“強基計劃”,以提升基礎學科人才選拔和人才培養(yǎng)質量.
通過對中國2020年“強基計劃”中部分大學的試題與東京大學的入學試題的對比,不難發(fā)現兩國的試題各具特點.中國實施“強基計劃”的部分著名高校試題題目數量較多,比如北京大學和清華大學的試題都是20道,復旦大學的試題有33道,并且題型均為選擇題[3]-[5],因而考查的知識面比較廣;而東京大學的自主招生考試題目較少,但均為解答題,因而能更深入地考查學生的數學思維和數學表達能力.此外,東京大學入學試題對微積分這一內容的要求很高;事實上,微積分這一內容是日本各大高校入學考試中的重要考查對象,相對而言我國的高校在這方面則要求不高.東京大學等日本頂級大學的入學數學試題為當前中國數學資優(yōu)生的培養(yǎng)與選拔提供了重要參考.