函數(shù)性質中的數(shù)學抽象在問題解決與設計中的應用

201299 上海市新川中學 姚志青

2017年版《普通高中數(shù)學課程標準》給出了普通高中數(shù)學學科的核心素養(yǎng)要求，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六個方面.數(shù)學發(fā)展所依賴的思想在本質上有三個，即抽象、推理、模型，其中抽象是核心.數(shù)學抽象作為一種數(shù)學思想滲透在數(shù)學學科的各個知識點之中，筆者對如何在函數(shù)性質中體現(xiàn)數(shù)學抽象以及如何應用數(shù)學抽象進行問題設計展開實踐與研究.

一、 數(shù)學抽象在函數(shù)性質中的體現(xiàn)

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學的一條主線，數(shù)學抽象在函數(shù)問題中的應用非常廣泛，以2021年上海高考的數(shù)學壓軸題為例.

原題如果對于任意的x1,x2∈R，當x1-x2∈S時，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關聯(lián).

(1)判斷并證明f(x)=2x-1是否是[0,+∞)關聯(lián)？是否是[0,1]關聯(lián)？

(2)已知f(x)是{3}關聯(lián)，且x∈[0,3)時，f(x)=x2-2x，解不等式2≤f(x)≤3.

(3)求證：“f(x)是{1}關聯(lián)，且是[0,+∞)關聯(lián)”的充要條件是“f(x)是[1,2]關聯(lián)”.

這個問題是一個函數(shù)的定義型問題，它定義了“f(x)是集合S關聯(lián)的概念”，通過函數(shù)性質的應用考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng).函數(shù)性質的應用體現(xiàn)了其源于教材中的形式，需要將函數(shù)的性質在文字語言、符號語言、圖像表述三個方面進行內化，以理解函數(shù)性質的本質特征.這個內化的過程可以體現(xiàn)在數(shù)學抽象方面，所謂數(shù)學抽象就是能夠根據(jù)一類數(shù)學對象抽取或歸納出其本質特征的思維過程.筆者結合上述具體的步驟，分析問題中涉及數(shù)學抽象的三個方面.

小問(1)解：由f(x)=2x-1，得f(x1)-f(x2)=2(x1-x2).

當x1-x2∈[0，+∞)時，f(x1)-f(x2)∈[0,+∞)，所以f(x)是[0,+∞)關聯(lián)；當x1-x2∈[0,1]時，f(x1)-f(x2)∈[0,2]，所以f(x)不是[0,1]關聯(lián).

(一)數(shù)學抽象需要類比抽象

由題中f(x1)-f(x2)的形式容易類比聯(lián)想到教材中的形式，在函數(shù)單調性中，通過f(x1)-f(x2)來作差比較f(x1)，f(x2)大小，從而確定f(x)的單調性.解題過程中“由f(x)=2x-1得到f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)，則當x1-x2∈[0，+∞)時，f(x1)-f(x2)∈[0,+∞)”的本質就是“當x1≥x2時，都有f(x1)≥f(x2)”，類比聯(lián)想到函數(shù)的單調遞增的性質(非嚴格單調)，所以可以通過類比的方法抽象得到f(x1),f(x2)的性質.類比抽象就是通過類比的方法抽象出數(shù)學對象的形式或性質，它包括兩個方面，一個是類比，一個是抽象.類比本身是非常重要的數(shù)學思想方法，數(shù)學中的類比是基于對兩類數(shù)學對象的共性比較得出它們可能具有的其他形式或者性質的方法.

小問(2)解：f(x)是{3}關聯(lián)，所以當x1-x2=3時，恒有f(x1)-f(x2)=3成立.

由f(x1)-f(x2)=x1-x2，得f(x1)-x1=f(x2)-x2，令F(x)=f(x)-x，有F(x1)=F(x2)，得到F(x2+3)=F(x2)，即對任意x∈R，都有F(x+3)=F(x).

故F(x)是一個周期為3的函數(shù)，且x∈[0,3)時，F(xiàn)(x)=x2-3x.

(二)數(shù)學抽象需要表征抽象

表征抽象就是以數(shù)學對象的呈現(xiàn)特征抽象構建出其形象化的特征結構.譬如由f(x1)-x1=f(x2)-x2的呈現(xiàn)特征，令F(x)=f(x)-x，為使f(x)-x的性質表征更加明顯，需要抽象構建出函數(shù).解不等式2-x≤F(x)≤3-x的過程中，代數(shù)方法解決不等式問題比較復雜，利用數(shù)形結合的思想，可以用幾何圖像解決不等式問題，作出F(x)=x2-3x，g(x)=2-x，h(x)=3-x的圖像滿足F(x)在g(x)，h(x)之間的部分.對于表征抽象而言，關鍵在于結構特征的研究和歸納表述.對于同一個問題，表征抽象的觀察點不同，抽象得到的性質特征也會不同，譬如上述“當x1-x2=3時，恒有f(x1)-f(x2)=3成立”還可以抽象到“對任意的實數(shù)x∈R，恒有f(x+3)=f(x)+3成立”.

小問(3)解：

必要性：已知f(x)是{1}關聯(lián)，且是[0,+∞)關聯(lián)，

由f(x)是{1}關聯(lián)知f(x+1)-f(x)=1，即f(x+1)=f(x)+1，

由f(x)是[0,+∞)關聯(lián),可知對任意x1-x2≥0，都有f(x1)-f(x2)≥0，即x1≥x2時，都有f(x1)≥f(x2)，所以，當x1-x2≥1時,x1≥x2+1,f(x1)≥f(x2+1),則有f(x1)≥f(x2)+1，f(x1)-f(x2)≥1.

當x1-x2≤2時，x1≤x2+2，有f(x1)≤f(x2+2)，則f(x1)≤f(x2+1)+1=f(x2)+2，f(x1)-f(x2)≤2.

因此，當x1-x2∈[1,2]時，都有f(x1)-f(x2)∈[1,2]，即f(x)是[1,2]關聯(lián).

(三)數(shù)學抽象需要強、弱抽象

上述解題過程中將“f(x)是{1}關聯(lián)推出對任意的x1-x2=1，都有f(x1)-f(x2)=1”理解為當自變量相差1的時候都有相應的函數(shù)值也相差1，這樣的表述雖然弱化了對于定義描述的嚴謹性，但便于記憶表述.在應用過程中，又可以進一步加強為“對于任意的實數(shù)x，都有f(x+1)-f(x)=1”，這樣的描述是嚴謹?shù)?，而且便于理解表?在概念教學中，數(shù)學抽象需要體現(xiàn)出不拘于形式的內化理解，這個內化理解根據(jù)實際情況的需要可以對研究對象進行弱化或強化的表述，也就是強抽象和弱抽象.滬教版新教材中關于增函數(shù)的定義為：“對于定義在D上的函數(shù)y=f(x)，設區(qū)間I是D的一個子集，對于區(qū)間I上的任意給定的兩個自變量的值x1,x2，當x10都有f(x+ε)>f(x)成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上為嚴格增函數(shù)”.用強抽象可以將上述圖形特征抽象為“函數(shù)f(x)圖像上的任意兩個不同的點，都有右邊的點高于左邊的點，則函數(shù)f(x)圖像為嚴格增函數(shù)圖像”.強抽象即通過在原型中引入新特征，使原型內涵增加，結構變強，從數(shù)學對象的關鍵屬性或特征中強化其特征屬性.

二、 應用數(shù)學抽象進行問題設計

從顯性來看，數(shù)學抽象是學生在觀察、思考、表達三個方面的能力，通過數(shù)學抽象進行問題設計是幫助學生實現(xiàn)問題解決和提升數(shù)學抽象能力的有效途徑.在高三函數(shù)性質的復習課中，根據(jù)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求，筆者對如何通過數(shù)學抽象進行問題設計展開教學實踐的研究和分析(如圖2所示).

問題設計1對于任意的x1,x2∈R，當x1-x2∈S時，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關聯(lián).求證:如果f(x)是{1}關聯(lián)，那么f(x)是{2}關聯(lián).

解題反饋1學生解題情況統(tǒng)計結果顯示，參加解題的十位學生都不能給出完整的證明過程，但是證明過程中的第一步基本都能表述出來，即寫到如下證明步驟后證明思路就戛然而止.

解：由f(x)是{1}關聯(lián)，則對任意的x1,x2∈R，當x1-x2=1時，都有f(x1)-f(x2)=1.

解題難點分析：由“對任意的x1,x2∈R，當x1-x2=1時，都有f(x1)-f(x2)=1”推理得到“對任意的x1,x2∈R，當x1-x2=2時，都有f(x1)-f(x2)=2”的邏輯關系缺乏直觀想象，而且推出關系的表述存在較大困難.在教材中，經(jīng)常用一個變量x的特征形式來表示函數(shù)f(x)的性質，學生對于理解x1-x2=1中兩個變量x1,x2之間的關系存在一定的困難.

難點突破策略：通過數(shù)學抽象，在保持函數(shù)性質不變的前提下，可以將問題抽象轉化為熟悉的形式.譬如，將“對任意的x1-x2=1，都有f(x1)-f(x2)=1”進行適當?shù)膹姟⑷醭橄?通過弱抽象表述為“當自變量增大1個單位時，函數(shù)值增大1個單位”，通過強抽象表述為“對任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1”.通過數(shù)學抽象之后，將問題進行再設計.

問題設計2對于任意的x1,x2∈R，當x1-x2∈S時，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關聯(lián).

(1)求證：如果f(x)是{1}關聯(lián)，那么對任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1.

(2)求證：如果f(x)是{1}關聯(lián)，那么f(x)是{2}關聯(lián).

解題反饋2學生解題情況統(tǒng)計結果顯示，參加解題的十位學生都能完成小問(1)的證明，完成小問(2)證明的學生只有五位.對比問題設計1中的解題情況反饋，通過數(shù)學抽象得到“任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1”的形式后，學生可以明顯體會到數(shù)學抽象的思想和方法，由表征抽象將“f(x1),f(x2)的關系”抽象到“f(x+1),f(x)的關系”.對于小問(2)，有五位學生能夠獨立應用表征抽象將“f(x1),f(x2)的關系”抽象到“f(x+2),f(x)的關系”后得到f(x)是{2}的關聯(lián)，這五位學生在這個問題中表現(xiàn)出已經(jīng)逐步達到了應用數(shù)學抽象解決問題的素養(yǎng)要求.完成全部證明過程學生的解題過程歸納如下.

小問(1)解：由f(x)是{1}關聯(lián)，則對任意的x1,x2∈R，當x1-x2=1時，都有f(x1)-f(x2)=1.由x1-x2=1，得x1=x2+1，代入f(x1)-f(x2)=1得f(x2+1)-f(x2)=1，故f(x2+1)=f(x2)+1，即f(x+1)-f(x)=1.

小問(2)解：由小問(1)得對任意的x∈R,都有f(x+1)-f(x)=1，同理f(x+2)-f(x+1)=1，上述兩式相加得f(x+2)-f(x)=2，即f(x)是{2}關聯(lián).

解題難點分析：小問(2)中，“f(x)是{2}關聯(lián)”的充要條件為“對任意的x1,x2∈R，當x1-x2=2時，都有f(x1)-f(x2)=2”，需要繼續(xù)通過數(shù)學抽象表述為“對任意的x∈R，都有f(x+2)-f(x)=2”，數(shù)學抽象是邏輯推理和表述過程的前提.

難點突破策略：通過數(shù)學抽象的表征抽象將“f(x)是{2}關聯(lián)”抽象為“f(x+2)-f(x)=2”.

問題設計3對于任意的x1,x2∈R，當x1-x2∈S時，恒有f(x1)-f(x2)∈S成立，則稱f(x)是S關聯(lián).

(1)求證：如果f(x)是{1}關聯(lián)，那么對任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1.

(2)如果任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1，求證：f(x+2)-f(x)=2.

(3)求證：如果f(x)是{1}關聯(lián)，那么f(x)是N*關聯(lián).

解題反饋3問題設計3中的小問(2)是主要針對在問題設計2中沒能完成解答的五位學生進行的教學對比實驗，其主要變化是將原先的條件“f(x)是{2}關聯(lián)”替換為“f(x+2)-f(x)=2”.統(tǒng)計結果顯示這五位學生對小問(2)都給出了正確的證明，還有學生對小問(3)進行了嘗試證明.對小問(3)的解題過程歸納如下.

小問(3)解：由f(x)是{1}關聯(lián)，可知對任意的x∈R，都有f(x+1)-f(x)=1，f(x+1)=f(x)+1，所以對n∈N*，有f(x+n)=f(x+n-1)+1=f(x+n-2)+2=…=f(x)+n，即f(x+n)-f(x)=n，所以f(x)是N*關聯(lián).

解題難點分析：小問(3)的問題設計是由“f(x)是{1}關聯(lián)”的特征類比抽象到“f(x)是{2}關聯(lián)”，進而由特殊到一般的思想，繼續(xù)通過類比抽象得到問題“f(x)是N*關聯(lián)”.由問題中的數(shù)字運算拓展到字母運算，其難點在于邏輯關系的導出與描述.

難點突破策略：通過由“f(x)是{1}關聯(lián)”推理出“f(x)是{2}關聯(lián)”的邏輯關系，不難得出“f(x)是{3}關聯(lián)，{4}關聯(lián)……”類比這樣的遞推關系，可以聯(lián)系到數(shù)列中的遞推關系，因此可以通過類比抽象的思想，應用數(shù)列中遞推關系的表述方法來證明f(x)是N*關聯(lián).

在函數(shù)的性質中，函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性等性質都可以嘗試通過數(shù)學抽象達到理解內化的過程.以函數(shù)的奇偶性為例，關于偶函數(shù)定義中“對于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)”的理解，通過弱抽象可以表述為“定義域內的任意兩個互為相反數(shù)的自變量，它們對應的函數(shù)值相等”，通過強抽象可以表述為“對于任意的x1,x2∈D，當x1+x2=0時，都有f(x1)=f(x2)”，這種抽象到x1,x2來定義的形式，可以與函數(shù)單調性的定義形式統(tǒng)一起來.用相同的x1,x2來定義不同的函數(shù)性質可以幫助學生體會這些性質的共性以及本質特征，啟發(fā)學生的抽象思維.函數(shù)的性質本質上是由自變量和因變量的變化特征所體現(xiàn)出來，所以在表征抽象之后可以通過弱抽象幫助學生理解函數(shù)的本質，通過強抽象幫助學生用不同方式嚴謹而準確地表述函數(shù)性質.學生對于學習內容掌握的關鍵在于能夠將所要研究的數(shù)學對象抽象到能夠理解內化的文字語言、符號語言和圖像語言.關于數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模，史寧中教授給出這樣的理解：通過抽象，在現(xiàn)實生活中得到數(shù)學的概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學與外部世界的聯(lián)系.可以看出，無論是由現(xiàn)實生活到數(shù)學概念的抽象，還是在數(shù)學問題解決過程中的數(shù)學抽象思維，都體現(xiàn)了數(shù)學抽象作為數(shù)學素養(yǎng)的核心價值.