簡論基于教材習(xí)題的變式訓(xùn)練

201399 上海市南匯第二中學(xué) 潘 春

《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(以下簡稱“課標(biāo)”)指出：數(shù)學(xué)課程不僅應(yīng)該重視教學(xué)的內(nèi)容和要求，更應(yīng)該充分關(guān)注課程中的學(xué)習(xí)過程，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生、教師發(fā)揮主體性和創(chuàng)造性的條件.要遵循認(rèn)知心理發(fā)展的規(guī)律，合理組織教學(xué)內(nèi)容；要展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的過程；要為學(xué)生探索求知創(chuàng)設(shè)合適的情景，重視從問題出發(fā)、設(shè)計(jì)以解決問題的活動為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)認(rèn)識過程；要建立合理的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練系統(tǒng)；要向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，使學(xué)生的認(rèn)知過程提升.

在日常的教學(xué)實(shí)踐中,教師講解的內(nèi)容多為教材上的習(xí)題，教材習(xí)題應(yīng)該怎樣講解？是照著教材直接搬給學(xué)生嗎？近幾年的中考試卷中不少試題靈感源于教材，難度又高于教材.習(xí)題是數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.一道普通的教材習(xí)題可能蘊(yùn)藏著豐富的教學(xué)功能，教師應(yīng)重視教材習(xí)題的講解與變式訓(xùn)練.由一道題引申出一串題，由單向練習(xí)發(fā)展為多向練習(xí)，挖掘源于教材習(xí)題又高于習(xí)題的變式練習(xí)，促使學(xué)生思維靈活應(yīng)變，由表及里、層層深入，拓展學(xué)生思維，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識和自主學(xué)習(xí)的能力.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，闡述教學(xué)過程中的幾種“變法”.

一、 變條件或結(jié)論，提高學(xué)生的類比、歸納能力

很多學(xué)生習(xí)慣于機(jī)械式、呆板地解題，如果略微改變條件或結(jié)論，解題就會出現(xiàn)問題，究其原因是學(xué)生思維僵化，沒有真正掌握知識的本質(zhì)，不善于聯(lián)想類比.如果能在教材的習(xí)題中通過改變條件或結(jié)論進(jìn)行變式訓(xùn)練，形成題組，對易誤解的概念、性質(zhì)、結(jié)論進(jìn)行類比，讓學(xué)生清晰地認(rèn)識到知識的本質(zhì)，會有更好的教學(xué)效果.

學(xué)生在七年級第二學(xué)期學(xué)習(xí)等腰三角形時，形如例1(滬教版七年級第二學(xué)期練習(xí)冊習(xí)題14.5填空題)的題型經(jīng)常出現(xiàn).如果略微改變例1的條件，學(xué)生解題就很容易出錯.在課堂上將例題與變式放在一起，形成一個題組，能讓學(xué)生進(jìn)行明確的比較，更容易記住并掌握等腰三角形的性質(zhì).

例1如果等腰三角形的一個底角為34°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

變式1如果等腰三角形的一個內(nèi)角為34°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

變式2如果等腰三角形的一個內(nèi)角為100°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

變式3如果等腰三角形的一個外角為140°，那么與這個外角不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為多少？

六年級第二學(xué)期教材第50頁中有一道關(guān)于環(huán)形跑道的例題，在這道例題的教學(xué)中，可以改變例題的結(jié)論，使得題目變得更具探索性.其變式2需要進(jìn)行分類討論，考查了學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

例2小杰和小麗在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步和競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一起點(diǎn)同向出發(fā)，幾分鐘后兩人第一次相遇？

變式1小杰和小麗在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步和競走，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一起點(diǎn)反向出發(fā)，幾分鐘后兩人第一次相遇？

變式2小杰和小麗在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步和競走(各自跑完一圈就停下)，小杰每分鐘跑320米，小麗每分鐘走120米，兩人同時由同一起點(diǎn)反向出發(fā)，幾分鐘后兩人相距100米？

在七年級第一學(xué)期公式法因式分解的教學(xué)中，可對公式中的a和b不斷進(jìn)行變式，先將公式中的a和b變換為單個字母或數(shù)字，再換成單項(xiàng)式，再到多項(xiàng)式，形成有梯度的題組，使學(xué)生逐步掌握從易到難的公式法因式分解.這一過程中題目由淺入深，有梯度的變式能讓學(xué)生達(dá)到熟練運(yùn)用公式的效果.

例3a2-b2=(a+b)(a-b).

變式1x2-1=(x+1)(x-1).

變式24x2-1=(2x+1)(2x-1).

變式34x2-9=(2x+3)(2x-3).

變式44x2-9y2=(2x+3y)(2x-3y).

變式54(x-1)2-1=[2(x-1)+1]·[2(x-1)-1].

變式64(x-1)2-9(y+1)2=[2(x-1)+3(y+1)][2(x-1)-3(y+1)].

上述三道例題改變教材中習(xí)題的條件或結(jié)論，讓學(xué)生練習(xí)在知識、方法上有關(guān)聯(lián)而在形式上又不同的題目組成的題組，使學(xué)生加深對一些基本知識、公式及重要的數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會，達(dá)到觸類旁通的境界,并且拓展了學(xué)生思維的深度和廣度，使學(xué)生克服思維中的絕對化，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的數(shù)學(xué)能力.

二、 變圖形，提高學(xué)生的邏輯思維能力

很多學(xué)生自開始學(xué)幾何起數(shù)學(xué)成績就有所下降，這是因?yàn)樗麄兊膸缀芜壿嬎季S能力還不夠，解答幾何題時沒能深入了解圖形間的變化規(guī)律或知識點(diǎn)間內(nèi)在的聯(lián)系.變式訓(xùn)練是提高學(xué)生邏輯思維能力、提高解幾何題目能力的方法之一.在課堂上可以改變教材習(xí)題的圖形，在圖形的變化中使學(xué)生更加深入地掌握當(dāng)堂課所要學(xué)習(xí)的性質(zhì)、定理，也可以使學(xué)生更靈活地將所學(xué)知識運(yùn)用到更多題目中.這樣的變式訓(xùn)練能有效提高教學(xué)效率，提高學(xué)生的邏輯思維能力.

例4(滬教版八年級第二學(xué)期教材第98頁)

求證：順次聯(lián)結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.

變式1求證：順次聯(lián)結(jié)矩形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是菱形.

變式2求證：順次聯(lián)結(jié)菱形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是矩形.

變式3(滬教版八年級第二學(xué)期練習(xí)冊第50頁) 已知：如圖1-1，梯形ABCD中，AD平行于BC，AB=CD，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC，AB，DC的中點(diǎn).求證：四邊形MENF是菱形.

(1)將從知網(wǎng)中導(dǎo)出的81篇文獻(xiàn)利用CiteSpace中的data Import/Export功能轉(zhuǎn)換為可用于CiteSpace分析的數(shù)據(jù)格式，存儲在“Data”文件夾中。

變式4已知：如圖1-2，四邊形ABCD中，AC=BD，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC，AB，DC的中點(diǎn).求證：四邊形MENF是菱形.

圖1-1圖1-2

變式5已知：如圖1-3，四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC，BD，AC的中點(diǎn).求證：四邊形MENF是平行四邊形.

變式6已知：如圖1-4，四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別是線段AD，BC，BD，AC的中點(diǎn)，且AB=CD，求證：四邊形MENF是菱形.

圖1-3圖1-4

例4和變式3分別是教材和練習(xí)冊上的配套習(xí)題.改變這兩道題目的條件或圖形，組成一個題組，學(xué)生通過對這組題目的辨別，高效地串起相關(guān)知識點(diǎn)，加深對題目知識點(diǎn)的理解，提高解題能力和歸類能力.

變圖形是一種重要的變式訓(xùn)練手段，也是近年來中考試題中的熱點(diǎn)問題.可以通過點(diǎn)的運(yùn)動,翻折、平移、旋轉(zhuǎn)、剪切、割補(bǔ)等方法來變圖形，將發(fā)散的條件從圖形的某一部分轉(zhuǎn)移到適當(dāng)?shù)男碌奈恢蒙?集中、匯集已知條件和求證結(jié)論，拓寬解題思路，不僅有助于學(xué)生從運(yùn)動變化的角度去認(rèn)識事物，了解圖形間的聯(lián)系，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及綜合運(yùn)用知識的能力.

三、 變內(nèi)容，即一法多用，提高學(xué)生求同存異的能力

數(shù)學(xué)的思想方法有很多，但學(xué)生總是不能很好地運(yùn)用或根本不知道某些方法的用法.很多時候教師在教學(xué)中只是教，學(xué)生呆板地模仿，這樣的教學(xué)缺乏對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，學(xué)生僅僅停留在被動學(xué)習(xí)的層面.有時為了提高數(shù)學(xué)成績，學(xué)生和教師都步入“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū).將一法多用運(yùn)用到課堂教學(xué)中，不僅能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的掌握能力，也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.同時，課標(biāo)要求“教師通過對教學(xué)內(nèi)容的‘問題化’組織，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為符合學(xué)生心理特點(diǎn)的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生的自主探究與合作交流”.在課堂教學(xué)中進(jìn)行一法多用的變式訓(xùn)練時，可以讓學(xué)生合作交流，達(dá)到課標(biāo)的這一要求.

例5(八年級第一學(xué)期教材第97頁例題) 已知：如圖2-1，D是BC上的一點(diǎn)，BD=CD,∠1=∠2.求證：AB=AC.

圖2-1圖2-2

教材例題示范了如何用倍長中線法旋轉(zhuǎn)一個三角形構(gòu)造一對全等三角形(如圖2-2所示)，但僅靠這道題還不足以讓學(xué)生理解和掌握這一方法，所以課堂上筆者又給出了以下變式練習(xí).

變式1如圖2-3，在△ABC中，若AB=8,AC=6，求BC邊上的中線AD長度的取值范圍.(可通過如圖2-4的倍長中線法解決)

圖2-3圖2-4

變式2(2020山東中考) 問題探究：小紅遇到這樣一個問題.如圖2-5，在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中線，求AD的取值范圍.她的做法是延長AD到E，使DE=AD，聯(lián)結(jié)BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決.請回答下列各題.

(1)小紅證明△BED≌△CAD的判斷理由是________.

(2)AD的取值范圍是________.

(3)如圖2-6，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE=EF，求證：BF=AC.

圖2-5圖2-6

要將一種方法學(xué)好、學(xué)透不是易事，好辦法之一就是變式訓(xùn)練.通過變內(nèi)容但不變方法來達(dá)到深化某種數(shù)學(xué)方法的目的，學(xué)生能觸類旁通，舉一反三，以有限的訓(xùn)練去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的機(jī)智.這既能讓學(xué)生減負(fù)，不用通過“題海戰(zhàn)術(shù)”來掌握某種方法，又能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的求知欲.

四、 變方法，即一題多解，提高學(xué)生的發(fā)散性思維能力

目前學(xué)生有一個較為普遍的問題：思維單一，不夠嚴(yán)密、完整.在題目講解中，教師可通過變方法有效地訓(xùn)練學(xué)生從不同角度考慮問題，提高學(xué)生思維的嚴(yán)密性和發(fā)散性.一題多解可以溝通知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解，促進(jìn)思維的靈活性，提高解決問題的能力，使其品嘗到學(xué)習(xí)成功的快樂.

在講解習(xí)題時，教師往往會將自己的解題思路強(qiáng)加給學(xué)生，不給學(xué)生“試錯”的機(jī)會.教師應(yīng)該樹立以學(xué)生為中心的理念，讓學(xué)生去分析問題、解決問題、反思問題，讓他們通過獨(dú)立思考或合作研究等方式充分展示自己的解題思路，把課堂真正交給學(xué)生.在《數(shù)學(xué)學(xué)科基本要求》中有如下例題(例6)，筆者對這道例題采取讓學(xué)生自己講解的方法.課堂上學(xué)生一個接著一個講解自己的方法，最后筆者又讓學(xué)生對自己和同伴的方法進(jìn)行比較，看看誰的方法更好，分別運(yùn)用了哪些知識點(diǎn).一節(jié)課下來，學(xué)生學(xué)得不亦樂乎，意猶未盡，課后還在積極討論.在課堂上進(jìn)行這樣的一題多解的變式訓(xùn)練雖然會花不少時間，可能一節(jié)課只能講解一道題，但這是值得的.因?yàn)檫@樣的變式訓(xùn)練既能使學(xué)生觸類旁通，雖解一題，但實(shí)際解了多題，又有助于總結(jié)方法，發(fā)現(xiàn)方法，使知識升華，還能使學(xué)生印象深、興趣濃，有助于優(yōu)良思維品質(zhì)的形成.

圖3-1

方法1：如圖3-2，過點(diǎn)E作BC的平行線，交AB于點(diǎn)G.

方法2：如圖3-3，過點(diǎn)D作AB的平行線，交BC于點(diǎn)H.

方法3：如圖3-4，聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)I.

圖3-2

圖3-3

圖3-4

一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式反映條件和結(jié)論的本質(zhì)聯(lián)系，這種變式在幾何題中尤其多.這種變式訓(xùn)練要求學(xué)生從不同角度思考問題、解決問題，既能開闊思路，又能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

教材習(xí)題是全面評價學(xué)生在知識技能、數(shù)學(xué)思維、問題解決和情感態(tài)度等方面綜合能力的重要依據(jù)，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，值得深入研究.教材是教師備課、教學(xué)的行動指南，教師對教材的理解透徹與否、對教材的使用科學(xué)與否直接關(guān)系到教學(xué)效果.教師可以通過適當(dāng)改變習(xí)題的條件、結(jié)論、圖形、方法等，引導(dǎo)學(xué)生反思教材習(xí)題的變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識、拓寬思路，舉一反三，逐步提高數(shù)學(xué)思維能力.對教材習(xí)題進(jìn)行變式訓(xùn)練必須先明白習(xí)題本身蘊(yùn)含的知識點(diǎn)以及設(shè)計(jì)意圖，再結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行變式，讓變式訓(xùn)練更具針對性，使教學(xué)內(nèi)容更深入學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).