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    追本溯源 深度思維
    ——對一道中考模擬壓軸題的思考

    2022-11-24 14:54:27朱佳煒江蘇省蘇州大學(xué)實驗學(xué)校215131
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年1期
    關(guān)鍵詞:中考解題數(shù)學(xué)

    朱佳煒 (江蘇省蘇州大學(xué)實驗學(xué)校 215131)

    周正峰 (江蘇省蘇州相城區(qū)教育局教研室 215131)

    壓軸題因為文字量大,需要耐心閱讀、認(rèn)真審題,撥開出題者設(shè)置的思維迷霧,厘清本題涉及的數(shù)學(xué)知識點和基本模型.在教學(xué)過程中我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn),學(xué)會如何思考、解決問題,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展研究,讓學(xué)生知道壓軸題是什么,該怎么想,怎么做,還可以怎么樣.

    1 試題呈現(xiàn)

    圖1

    (1)當(dāng)t=1時,PQ=.

    (2)連結(jié)AC,若點B′正好落在線段AC上,求t的值.

    (3)點B′能否落在AD所在直線上,若能,求出AB′的長度;若不能,請說明理由.

    2 題情分析

    本題滿分12分,區(qū)均分2.85分,得分率為23.75%,其中問題(1)滿分2分,也就是說本題多數(shù)學(xué)生只能解答出問題(1).出現(xiàn)這一情況的根本原因在于學(xué)生不會對“點P與Q分別沿著各自方向運(yùn)動,沿PQ所在直線翻折,點B′正好落在線段AC上”所對應(yīng)的狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確作圖,個別學(xué)生因在問題(2)中對“點Q沿B-A-D方向運(yùn)動”進(jìn)行了分類討論,耗費(fèi)大量時間,影響了問題(3)的作答,導(dǎo)致本題得分率偏低.

    3 解法探究

    3.1 求證相似,追問溯源

    從關(guān)鍵條件出發(fā),證得相似三角形,再根據(jù)相似性質(zhì)列方程求解.

    圖2 圖3

    通過面積法或相似性質(zhì)求得BH:

    追問:當(dāng)點Q在BA上運(yùn)動時,B′可以落在AC上幾次?

    溯源:因為∠B′BC=∠BCA,所以∠B′BC是定角,而且邊BC為定邊,點B′將在以點B為端點的定射線上運(yùn)動,該射線與AC只有一個交點,該交點即為B′,所以問題(2)中的t只有一解.

    3.2 構(gòu)建模型,靈活解答

    抓住∠QB′P=90°,展開充分聯(lián)想,構(gòu)建基本模型“K”形圖.

    圖4

    追問:試探究AE與B′F、EB′與FC的數(shù)量關(guān)系.

    3.3 建系化歸,數(shù)形結(jié)合

    建立直角坐標(biāo)系,將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,將坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求值.

    圖5 圖6

    追問:點B′隨著點P與點Q的運(yùn)動而運(yùn)動,該點的運(yùn)動軌跡是什么?

    3.4 基于經(jīng)驗,思維突破

    在問題(2)順利解答的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步探究問題(3).問題(3)中點B′落在AD所在直線上,所對應(yīng)的點P、點Q所在位置需進(jìn)行分類討論.

    當(dāng)點Q在B-A運(yùn)動時,通過作圖發(fā)現(xiàn)點B′只能在矩形內(nèi)部運(yùn)動(圖7),所以當(dāng)點B′落在AD所在直線上時,點Q在A-D運(yùn)動(圖8).

    圖7 圖8

    那么,點Q在A-D運(yùn)動時,如何求AB′的長度呢?

    圖9

    追問:當(dāng)點Q在A-D運(yùn)動時(圖10),在翻折的過程中,點B′能否落在點Q左側(cè),即QA射線上?

    圖10 圖11

    溯源:因為vP

    時,點Q將在水平方向上逐漸超過點P,沿著PQ翻折所得點B′將落在PQ的右下方(圖11),所以點B′不可能落在QA射線上.

    4 類題再探

    例1解決了讓學(xué)生知道壓軸題“是什么、該怎么想、怎么做”等問題.與“翻折”有關(guān)的壓軸題還能以什么形式呈現(xiàn)?講解完例1后,進(jìn)行了以下拓展研究.

    例2如圖12,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,E是BC邊上一點,連結(jié)AE,將點B沿AE折疊得點B′ .當(dāng)△CEB′ 為直角三角形時,求BE的長.

    圖12

    本題的關(guān)鍵條件是“△CEB′為直角三角形”,而直角三角形的定義是一個內(nèi)角為直角的三角形,本題必然要分三種情況進(jìn)行討論.

    若∠CEB′=90°,那么四邊形ABEB′中有三個角為直角:∠B,∠AB′E,∠BEB′,易證四邊形ABEB′為正方形.若∠CB′E=90°,那么∠CB′E+∠AB′E=180°,則A,B′,C三點共線,運(yùn)用勾股定理求解即可;若∠ECB′=90°,那么B′在CD邊上,不合題意,舍去.

    追問:為什么當(dāng)∠ECB′=90°時,不合題意?若將“AB=3,BC=4”改為“AB=4,BC=3”呢(圖13)?

    圖13 圖14

    溯源:翻折不改變AB長度,由“定點定長型隱形圓”可知,B′點在以A為圓心、AB長為半徑的圓上運(yùn)動,該圓與CD相離,所以B′不可能落到CD邊上(圖14),∠ECB′=90°不合題意.將“AB=3,BC=4”改為“AB=4,BC=3”,則⊙A將與CD相交,所以第三種情況符合題意(圖15).

    圖15

    為進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生思維,可以追問:若“E是BC邊上一點”改為“E沿著射線BC運(yùn)動”,是否還有其他情況符合題意?學(xué)生由圓與直線相交的定義可知⊙A與直線CD的交點有兩個,所以存在第四種情況.

    5 結(jié)語

    中考考試前如何組織高效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)?首先,數(shù)學(xué)題目千千萬,不能依靠刷題提高數(shù)學(xué)解題能力,應(yīng)基于學(xué)生的知識基礎(chǔ),在課前精選好題.什么是好題?好題的解題方法不唯一,題目雖新但似曾相識,它一定源于平時的學(xué)習(xí),可將它與已有的解題經(jīng)驗建立聯(lián)系,進(jìn)行合情推理.其次,壓軸題通常是綜合性較強(qiáng)的題目,已知條件多,特別是部分關(guān)鍵條件隱含在題目中,在教學(xué)過程中應(yīng)幫助學(xué)生分析題目已知,挖掘隱含條件,并由關(guān)鍵條件出發(fā)尋找解題策略.再次,要通過多角度研究,嘗試多種數(shù)學(xué)方法,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想.?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課堂的靈魂,若只講解法不談思想,那數(shù)學(xué)課堂必然是乏味的.數(shù)學(xué)題目的背后一定蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想,如轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想、建模思想等.最后,要適度追問,挖掘思維深度,追本溯源,拓展思維.除了要讓學(xué)生知道中考壓軸題“是什么、該怎么想、怎么做”以外,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的題目“還可以怎么樣”,是否可以換一種形式呈現(xiàn).也就是說,中考考前復(fù)習(xí)課不能滿足于一題的解決,還應(yīng)結(jié)合關(guān)鍵條件進(jìn)行類題探究,以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

    總之,在壓軸題的教學(xué)過程中,應(yīng)基于學(xué)生的知識經(jīng)驗、解題經(jīng)驗,引導(dǎo)學(xué)生整合、化歸,在聯(lián)想中合情推理,在追問中實現(xiàn)溯源,在拓展中獲得延伸,在感悟中走向深刻.讓中考復(fù)習(xí)課成為有靈魂、有創(chuàng)新、有深度的課堂.

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