基于頻響函數(shù)的慣性參數(shù)識別改進方法

杜中剛，孫永厚，劉夫云，葉明松，馬雪峰，周 星

(1.桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院，廣西桂林 541004；2.東風(fēng)柳州汽車有限公司，廣西柳州 544005)

0 引言

慣性參數(shù)(質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和慣性積)識別對航空航天、汽車船艦等領(lǐng)域的參數(shù)設(shè)計及性能控制具有重要意義[1]?；谀B(tài)試驗的慣性參數(shù)識別方法以振動理論和試驗?zāi)B(tài)分析技術(shù)為基礎(chǔ)，測試的數(shù)據(jù)不僅包含系統(tǒng)模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、固有頻率和振型等模態(tài)信息，而且可求解系統(tǒng)的慣性參數(shù)，它包括模態(tài)模型法(modal method，MM)、直接物理參數(shù)識別方法(methods of direct physical parameter identification，MDPPI)和質(zhì)量線法(inertia restraint methods，IRM)[2]。模態(tài)模型法利用剛體模態(tài)振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性質(zhì)[3]，即剛體模態(tài)間不發(fā)生能量交換，進而求解系統(tǒng)的慣性參數(shù)，因此若振型耦合，則識別精度會極大降低，張勇等[4]針對模態(tài)模型法中振型識別精度不高問題，提出利用振型之間約束和耦合關(guān)系進行修正的方法，但測量復(fù)雜構(gòu)件時，識別精度仍不理想[5]。直接慣性參數(shù)識別法利用頻域下的動力學(xué)方程可一次性識別10個慣性參數(shù)，但其對噪聲敏感[6]，且采用最小二乘法時會放大誤差[7]。質(zhì)量線法需已知質(zhì)量，忽略系統(tǒng)剛度和阻尼，分步識別質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和慣性參數(shù)，精度更高，更穩(wěn)定，該方法發(fā)展較成熟且已商用化[8]。

質(zhì)量線法識別慣性參數(shù)時，待測構(gòu)件的質(zhì)量通常由稱重傳感器獲得[9]，但對大型復(fù)雜構(gòu)件測量難度過大且效率低。何宇翔等[10]通過直接物理參數(shù)識別法識別質(zhì)量，再將質(zhì)量代入質(zhì)量線法中識別其余9個慣性參數(shù)，但該方法受直接物理參數(shù)識別法的精度限制；通過扭振、離心力原理、動量守恒方法也可測得質(zhì)量，但該類方法受裝置條件限制，測取物理量的精度必須足夠高，且成本較高[11]。

為解決上述問題，提出基于頻響函數(shù)的慣性參數(shù)識別改進方法。根據(jù)振動微分方程和剛體加速度轉(zhuǎn)換關(guān)系推導(dǎo)系統(tǒng)各測點的頻響函數(shù)與剛體質(zhì)量的關(guān)系，考慮待測對象的多樣性，對簡單、均質(zhì)的規(guī)則構(gòu)件利用對稱性和模態(tài)試驗獲取的頻響函數(shù)以識別質(zhì)量；對大型非均質(zhì)復(fù)雜構(gòu)件利用懸掛法和動力學(xué)原理，確定激振位置識別質(zhì)量，將該方法結(jié)合質(zhì)量線法識別剩余慣性參數(shù)。通過對駕駛室和發(fā)動機總成的仿真試驗，驗證本文方法的精度，分析質(zhì)量誤差對質(zhì)量線法識別剩余慣性參數(shù)的影響。通過簡單規(guī)則構(gòu)件和某型號卡車駕駛室總成的模態(tài)試驗對本文方法進行工程驗證，結(jié)果表明該方法的識別精度完全滿足工程要求。

1 慣性參數(shù)識別的理論分析

1.1 質(zhì)量識別的推導(dǎo)

系統(tǒng)的加速度頻響函數(shù)(frequence response function，F(xiàn)RF)H(ω)由振動微分方程的頻域變化得：

(1)

當(dāng)ω>>ωn時，F(xiàn)RF趨于系統(tǒng)質(zhì)量相關(guān)的定值，如圖1所示。對于非純剛體存在彈性模態(tài)且剛體模態(tài)趨于0，將在剛體模態(tài)和第1階彈性模態(tài)之間相對平滑的頻段，稱為質(zhì)量線，通過計算該段內(nèi)的實數(shù)值即可得到系統(tǒng)的質(zhì)量[12]。

圖1 單自由度和多自由度的FRF曲線

根據(jù)剛體運動中加速度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可得：

(2)

由式(2)可得，質(zhì)心處加速度和測點加速度關(guān)系為

(3)

可知激振確定時，響應(yīng)點在激振方向上的加速度由非激振方向的坐標(biāo)值決定，對式(3)左右兩邊同乘以1/Fj，得：

(4)

1.1.1 密度均勻的大型對稱構(gòu)件

當(dāng)被測對象為密度均勻的大型對稱構(gòu)件時，在構(gòu)件邊角位置布置加速度傳感器，根據(jù)式(2)、式(4)可知加速度頻響函數(shù)、坐標(biāo)、質(zhì)量之間可互相轉(zhuǎn)換，因此在任意邊角點按參考軸方向激振，以任意邊角的加速度為參考值，根據(jù)平面圖形的形心坐標(biāo)與邊角坐標(biāo)關(guān)系，便可確定待測對象的質(zhì)量。以對稱剛體為例，在響應(yīng)點4進行y方向激振，如圖2所示。

圖2 對稱構(gòu)件算例

通過4個頂角的頻響函數(shù)求解立方體質(zhì)量：

式中：H1、H2、H3、H4、Hc分別為響應(yīng)點1、2、3、4及質(zhì)心處的頻響函數(shù)。

為提高識別精度，可布置多個響應(yīng)點(僅激振方向坐標(biāo)值不同)，通過均值計算提高識別精度。

1.1.2 非規(guī)則的大型復(fù)雜構(gòu)件

當(dāng)被測對象為非規(guī)則的大型復(fù)雜構(gòu)件時，利用自由模態(tài)試驗可知，其自由邊界通過彈性懸掛或支撐達到近似自由條件，因此根據(jù)力矩平衡方程[13]，利用懸掛點或支撐點與系統(tǒng)質(zhì)心的關(guān)系，可得：

(5)

式中：p為懸掛或支撐數(shù)量；Fp為拉力或支撐力；lpc為Fp到質(zhì)心的距離。

由式(5)可知，在各點拉力或支撐力相等，且待測系統(tǒng)平衡靜止情況下：當(dāng)p=1時，系統(tǒng)為保持平衡，質(zhì)心與重心重合，且必在懸掛或支撐點所在的重力方向的垂線上[14]；當(dāng)p=2時，質(zhì)心在懸掛或支撐點連線中某點在重力方向的垂線上；當(dāng)p≥3時，質(zhì)心在懸掛或支撐點連接平面圖形形心在重力方向所在的垂線上。如圖3所示，一般p∈[1,4],因此待測系統(tǒng)的質(zhì)心系軸線與待測系統(tǒng)表面交點的位置可通過懸掛或支撐的布局確定。

圖3 懸掛方式與質(zhì)心關(guān)系

(6)

式中：Jc為待測剛體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；ρjc為質(zhì)心到激振力作用線的距離。

當(dāng)ρjc=0時，相對質(zhì)心系的角加速度為0，且對各測點在激振方向的頻響函數(shù)值作最小二乘法求解，即可識別系統(tǒng)的質(zhì)量。

1.2 質(zhì)量線法

建立質(zhì)心坐標(biāo)系C-XYZ和原點參考坐標(biāo)系O-XYZ，當(dāng)式(1)中M為廣義質(zhì)量時，得質(zhì)心處為Mc：

(7)

式中：(JxxJyyJzz)為繞質(zhì)心坐標(biāo)系X/Y/Z軸的轉(zhuǎn)動慣量；(JxyJyzJzz)為相應(yīng)坐標(biāo)平面的慣性積。

(8)

結(jié)合式(8)質(zhì)心處的激振力、質(zhì)心加速度及識別的質(zhì)量，即可確定質(zhì)心坐標(biāo)為

(9)

式(9)有3個未知數(shù)，通過1次激振可粗略計算質(zhì)心坐標(biāo)，根據(jù)剛體動量矩定理得包含轉(zhuǎn)動慣量和慣性積的矩陣Jcc為：

(10)

Jcc中有6個未知數(shù)，因此m≥2，n≥3時，用最小二乘法可提升識別剩余慣性參數(shù)的精度[15]。

2 慣性參數(shù)識別的仿真分析

2.1 密度均勻的大型對稱構(gòu)件

為分析并驗證密度均勻大型對稱構(gòu)件質(zhì)量的識別方法，將近似規(guī)則均質(zhì)的某商用車駕駛室三維模型通過Hypermesh中Opstruct模塊網(wǎng)格劃分和材料屬性設(shè)置等前處理操作，導(dǎo)出MNF文件到Adams/View中建立模型，采用4根線性彈簧阻尼器將其懸掛，使其邊界近似自由，如圖4(a)所示，采用Marker點創(chuàng)建激振點和響應(yīng)點，其中響應(yīng)點選擇駕駛室中相對規(guī)則的地板處進行對稱布置，激振點布置在角加速度大的位置，利用Adams/Vibration振動分析模塊，分別在激振點和響應(yīng)點上建立輸入和輸出通道，通過預(yù)試驗判斷剛體模態(tài)頻率在2 Hz左右，設(shè)置帶寬256 Hz，分辨率為0.5，在Adams的后處理模塊中，確定各響應(yīng)點X/Y/Z方向的頻響函數(shù)，如圖4(b)所示，對頻響函數(shù)60～100 Hz頻段的數(shù)據(jù)，按1.2方式進行質(zhì)量計算，駕駛室質(zhì)量識別為307.3 kg，計算值相比參考值降低了0.3 kg，質(zhì)量識別相對誤差為0.1%，因此本文方法在大型對稱構(gòu)件上的仿真精度滿足工程要求。

(a)駕駛室模型

2.2 非規(guī)則的大型復(fù)雜構(gòu)件

為驗證非規(guī)則大型復(fù)雜構(gòu)件識別的質(zhì)量，將某型號發(fā)動機總成按駕駛室模型處理方法建立振動試驗?zāi)Ｐ?，采?根線性彈簧阻尼器將其懸掛，考慮質(zhì)心位置的確定，需對懸掛位置坐標(biāo)調(diào)整，保證每根彈簧受力相同，如圖5(a)所示，可知各響應(yīng)點在激振方向的頻響函數(shù)基本相同，選擇各平滑頻段內(nèi)數(shù)據(jù)作均值處理，如圖5(b)所示，根據(jù)1.2方法，確定其質(zhì)量為188.05 kg，相比參考值增加0.574 kg，相對誤差為0.31%，因此該方法適用于非規(guī)則大型復(fù)雜構(gòu)件質(zhì)量的識別。

(a)發(fā)動機模型側(cè)視圖

為進一步識別剩余慣性參數(shù)，首先以發(fā)動機總成模型研究質(zhì)量誤差對剩余慣性參數(shù)的影響，如圖6所示，剩余的9個慣性參數(shù)識別誤差受質(zhì)量誤差影響，其中轉(zhuǎn)動慣量和慣性積受其影響較大，質(zhì)心影響較小，當(dāng)質(zhì)量誤差≤10 kg時，剩余慣性參數(shù)絕對誤差均不超過0.05，因此，剩余慣性參數(shù)識別精度對質(zhì)量誤差不是非常敏感。

圖6 質(zhì)量誤差對剩余慣性參數(shù)的影響

綜上所述，將本文方法識別的質(zhì)量結(jié)合質(zhì)量線法識別發(fā)動機總成的剩余慣性參數(shù)并對誤差進行對比分析，如表1所示。

由表1可知，發(fā)動機識別的Y向質(zhì)心坐標(biāo)誤差為5.9%，慣性積中Jxy和Jyz相對誤差較大，主要原因受Y向懸掛的影響，轉(zhuǎn)動慣量最大相對誤差小于0.2%，因此整體慣性參數(shù)識別的精度滿足工程誤差要求。

表1 發(fā)動機仿真實驗識別的慣性參數(shù)

3 實驗驗證

3.1 密度均勻的對稱構(gòu)件

為驗證本文提出的方法，首先對密度均勻的對稱構(gòu)件進行驗證，對未知慣性參數(shù)的均質(zhì)規(guī)則構(gòu)件采用LMS設(shè)備采集輸入輸出的數(shù)據(jù)、型號為PCB 356B18和3263A2的三向振動傳感器測取加速度，型號為INV9313且靈敏度為0.21 mV/N的橡膠頭力錘進行激振，結(jié)合ImpactTesting軟件對數(shù)據(jù)分析篩選，激振和響應(yīng)坐標(biāo)通過六自由度的FARO-Arm關(guān)節(jié)臂和PowerINSPECT軟件相互結(jié)合測量坐標(biāo)，其單點精度≤0.025 mm(2σ)，測量范圍為2.4 m，可完全測量各坐標(biāo)值，如圖7所示。

圖7 簡單件模態(tài)試驗

通過預(yù)實驗確定剛體模態(tài)1 Hz左右，確定采集頻率為512 Hz，譜線數(shù)為1 024，帶寬為256 Hz，按本文方法對其采集數(shù)據(jù)進行分析，確保試驗過程無欠載和過載信號，相干函數(shù)幅值≥0.9，輸入信號和輸出信號的剛體相關(guān)系數(shù)都在95%以上，平均相關(guān)性在99%左右，結(jié)合傳感器的位置坐標(biāo)，選擇相對平滑的頻段識別出質(zhì)量，并結(jié)合質(zhì)量線法計算剩余慣性參數(shù)，如圖8所示。

(a)頻響函數(shù)

已知構(gòu)件的密度和尺寸，以SolidWorks中建立該模型的慣性參數(shù)為參考值，確定參考坐標(biāo)系，將其與模態(tài)試驗識別的結(jié)果對比分析，由于該構(gòu)件中心對稱，慣性積過于微小不做考慮，如表2所示。

表2 密度均勻?qū)ΨQ構(gòu)件的慣性參數(shù)

由表2可知，質(zhì)量識別相對誤差1.88%，轉(zhuǎn)動慣量誤差較大，但其整體最大誤差不超過4%，質(zhì)心最大誤差不超過2%，識別精度滿足工程要求。

3.2 大型復(fù)雜構(gòu)件

對大型復(fù)雜構(gòu)件的驗證以某型號駕駛室進行模態(tài)試驗，考慮其受力狀態(tài)選用相同型號的彈簧進行懸掛點布置。由于其體大且過重，激振選用靈敏度為0.05 mV/N的IEPE型沖擊力棒進行激振，如圖9所示，試驗參數(shù)設(shè)置采樣率為320 Hz，譜線數(shù)為1 024，布置18個三向振動傳感器，其余試驗設(shè)備與簡單構(gòu)建試驗的相同，采用單點激振多點響應(yīng)方式獲取數(shù)據(jù)并對每次激振的數(shù)據(jù)進行5次平均，根據(jù)相干性、輸入/輸出信號的剛體相關(guān)系數(shù)篩選頻響函數(shù)，選取剛體模態(tài)和第一階彈性模態(tài)之間較光滑的頻段進行均值計算，將識別的質(zhì)量結(jié)合質(zhì)量線法計算剩余慣性參數(shù)。

圖9 駕駛室的模態(tài)試驗

為對駕駛室識別的參數(shù)進行比較分析，采用商用化的MPC轉(zhuǎn)動慣量平臺對駕駛室進行測量，其測量的質(zhì)量誤差小于1 kg，質(zhì)心精度小于3 mm，轉(zhuǎn)動慣量小于2%。首先按順時針選擇工作臺面上3個基準(zhǔn)點，測量其與3個特征點距離，將其作為坐標(biāo)系變換的參數(shù)，再分別測量駕駛室6個姿態(tài)在空載和載重時的慣性參數(shù)，匯總后計算出質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和慣性積，如圖10所示。

圖10 MPC轉(zhuǎn)動慣量平臺測試駕駛室

將2種方法測試的慣性參數(shù)進行對比分析，如表3所示。由表3可知，由于駕駛室總裝較大，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，導(dǎo)致整體識別值有偏小，在質(zhì)量識別中誤差達到4.502%，因為駕駛室尺寸很大，則質(zhì)心識別相對誤差較小，最大不超過2%，轉(zhuǎn)動慣量受質(zhì)心坐標(biāo)誤差影響，最大相對誤差為Jzz的8.81%，慣性積整體最大誤差不超過3%，同時受質(zhì)心誤差影響，Jyz誤差最大為2.79%，綜上所述，該方法識別的慣性誤差滿足工程要求。

表3 駕駛室的慣性參數(shù)

4 結(jié)束語

本研究利用剛體振動微分方程和加速度轉(zhuǎn)換的關(guān)系，推導(dǎo)頻響函數(shù)與質(zhì)量的關(guān)系表達式，基于該式細(xì)分2種確定系統(tǒng)頻響函數(shù)與質(zhì)量等效轉(zhuǎn)換的方法。聯(lián)合Hypermesh和Adams分別搭建駕駛室和發(fā)動機總成的振動仿真模型，并比較本文方法的精度。分別對簡單構(gòu)件和某型號駕駛室進行模態(tài)試驗，將本文方法結(jié)合質(zhì)量線法識別慣性參數(shù)，通過對駕駛室識別結(jié)果與MPC轉(zhuǎn)動慣量平臺測試結(jié)果的對比分析，驗證該方法的工程測試精度。研究結(jié)果表明：

(1)本文所提出基于頻響函數(shù)的慣性參數(shù)識別改進方法在識別質(zhì)量時，仿真相對誤差最大不超過0.4%，實驗測量相對誤差最大不超過4.6%；綜合該方法結(jié)合質(zhì)量線法識別的慣性參數(shù)結(jié)果分析可知：質(zhì)心坐標(biāo)相對誤差≤2%，轉(zhuǎn)動慣量相對誤差≤9%，慣性積相對誤差≤3%，因此本方法滿足工程實際應(yīng)用需求。

(2)質(zhì)量線法中剩余慣性參數(shù)誤差對質(zhì)量識別誤差不十分敏感，但質(zhì)心坐標(biāo)對轉(zhuǎn)動慣量和慣性積影響較大，且本文方法對密度均勻且對稱構(gòu)件的質(zhì)量識別精度更高。