與Qα,β算子相關的多葉函數(shù)從屬關系的研究①

夏年紅

(安徽衛(wèi)生健康職業(yè)學院基礎部,安徽 池州 247099)

1 引 言

定義1.設Ap表示在單位圓盤U={z∈:|z|<1}內解析，具有形式

的p葉解析函數(shù)類.

定義2.設f(z)和g(z)在單位圓盤U內解析，如果存在一個解析函數(shù)w(z),w(0)=0且|w(z)|<1(z∈U)，滿足f(z)=g(w(z))，則稱f(z)從屬于g(z)，記為f(z)g(z)(z∈U).

特別地，如果g(z)在U內單葉，那么f(z)g(z)當且僅當f(0)=g(0)且f(U)?g(U).

定義3.設H(p(z),zp′(z))h(z)為一個一階微分從屬，q(z)為單葉函數(shù)，若對所有滿足此微分從屬的解析函數(shù)p(z)，都有p(z)q(z)，則稱q(z)為此微分從屬的一個控制.若是微分從屬的一個控制函數(shù)，且對所有控制q(z)都滿足則稱為最佳控制.

定義4.若函數(shù)f(z)∈Ap滿足條件：

則稱f(z)為p葉星象函數(shù).

定義5.定義積分算子Qα,β如下

Qα,βf(z)=

(α≥0,β>-1)

(1)

其中Γ表示Gamma函數(shù)，

在等式(1)兩邊求關于z的q次微分，得到下面的微分算子：

這里

以上知識是為研究與Qα,β積分算子有關的多葉函數(shù)的高階導數(shù)從屬關系做鋪墊.

2 相關引理

為了更詳細的分析所要研究的問題，需要借助以下引理.

引理1[2]設R(z)是U中單葉函數(shù)，φ(z)是域D中的解析函數(shù)，R(U)?D，如果zR′(z)·φ[R(z)]是星象的，p(z)是U中解析函數(shù)，且p(0)=R(0),p(U)?D，那么

zp′(z)·φ[p(z)]zR′(z)·φ[R(z)]?p(z)R(z)

且R(z)是最佳控制.

引理2[2]設R(z)是U中凸單葉函數(shù)，θ(z)是域D中的解析函數(shù)，R(U)?D.假設

如果p(z)是U中的解析函數(shù)，且p(0)=R(0),p(U)?D，那么

zp′(z)+θ[p(z)]zR′(z)+θ[R(z)]?p(z)R(z)

且R(z)是最佳控制.

3 主要結果與證明

(2)

那么

且R(z)是最佳控制.

證明：設函數(shù)

(3)

則p(z)在U內解析，p(0)=1. 對(3)進行對數(shù)微分，得到：

因此

(4)

從而

(5)

結合(2)式，可得：

或者

zp′(z)·φ[p(z)]zR′(z)·φ[R(z)].

由于R(z)≠0，φ(ω)是包含R(U)域內的解析函數(shù)，并且

是星象的，由引理1可知p(z)R(z)，即

且R(z)是最佳控制，定理得證.

定理2設R(z)是U中凸單葉函數(shù)且R(0)=1，如果f(z)∈Ap滿足

(6)

那么

且R(z)是最佳控制.

證明：設函數(shù)

由(4)式得：

結合(6)式得：

zp′(z)zR′(z),

也可以表示成

zp′(z)·φ[p(z)]zR′(z)·φ[R(z)].

這里φ(ω)=1.由于R(z)是凸函數(shù)，從而zR′(z)·φ[R(z)]=zR′(z)是星象的，由引理1可知p(z)R(z)，即

且R(z)是最佳控制.定理得證.

定理3設R(z)是U中凸單葉函數(shù)且R(0)=1.如果f(z)∈Ap滿足

(7)

那么

且R(z)是最佳控制.

證明：設函數(shù)

由(5)式得：

結合(7)式得：

zp′(z)+(p-q)p(z)zR′(z)+(p-q)R(z)

也可表示成

zp′(z)+θ[p(z)]zR′(z)+θ[R(z)],

這里θ(ω)=(p-q)ω.引理2的條件顯然都滿足，因此p(z)R(z)，即

且R(z)是最佳控制.定理得證.

(8)

那么

且R(z)是最佳控制.

證明：設函數(shù)

由(4)式知：

結合(8)式得：

也可以表示成

zp′(z)·φ[p(z)]zR′(z)·φ[R(z)].

且R(z)是最佳控制.定理得證.