算理為魂，算法為形*
——小學(xué)數(shù)學(xué)高年級(jí)算理與算法教學(xué)策略研討

鄧守宇

（廣東省廣州市花都區(qū)秀全街紅棉小學(xué) 廣東廣州 510800）

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，與人類發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步息息相關(guān)。而數(shù)學(xué)計(jì)算是一切數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其教學(xué)的重要性不言而喻。在廣泛的教學(xué)實(shí)踐中，不少教師對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算的講授往往以算法為主，而忽略了對(duì)算理的講解，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算的學(xué)習(xí)僅僅停留在知其然而不知其所以然的程度，這顯然不利于學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。作為知識(shí)的傳授者，我們教師更應(yīng)該明白，在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，算理是比算法更為重要的內(nèi)容，學(xué)生理解了算理，自然而然地就會(huì)自己總結(jié)出算法。

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）中，將課程內(nèi)容分成四大項(xiàng)：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、綜合與實(shí)踐。而對(duì)于高年級(jí)的數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)，也明確指出其學(xué)習(xí)目標(biāo)有以下幾點(diǎn)：1.理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的意義，了解負(fù)數(shù)的意義；2.掌握必要的運(yùn)算技能；3.理解估算的意義；4.能用方程表示簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，能解簡(jiǎn)單的方程。而本文則是圍繞第二點(diǎn)進(jìn)行探索，即如何在教學(xué)過(guò)程中更好地幫助學(xué)生掌握必要的運(yùn)算技能。

一、高年級(jí)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的主要內(nèi)容整體分析

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011 版）以及《義務(wù)教育教科書(shū)教師教學(xué)用書(shū)》（數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)）中的描述，小學(xué)數(shù)學(xué)高年級(jí)的計(jì)算教學(xué)主要有以下內(nèi)容：小數(shù)乘法、小數(shù)除法、解簡(jiǎn)易方程、分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化、分?jǐn)?shù)加減法、分?jǐn)?shù)乘除法、百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)小數(shù)的互化。

不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)高年級(jí)計(jì)算教學(xué)的部分內(nèi)容實(shí)際上是屬于中低年段學(xué)習(xí)內(nèi)容的拓展，如小數(shù)乘法、小數(shù)除法，實(shí)際上是整數(shù)乘除法拓展到小數(shù)，因此在教學(xué)中需要教師幫助學(xué)生把整數(shù)乘除法的算理重新梳理一次，并拓展到小數(shù)，讓學(xué)校理解小數(shù)乘除法的算理，再提煉出算法；而對(duì)于解簡(jiǎn)易方程這一類屬于沒(méi)有前置的知識(shí)體系的計(jì)算內(nèi)容，則要更多地把精力放在如何讓學(xué)生體驗(yàn)算理形成的過(guò)程，對(duì)算理有更直觀的認(rèn)識(shí)；而像分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)加減法等這一類的計(jì)算教學(xué)，由于其算理更多的是基于分?jǐn)?shù)的基本意義而形成的，因此需要多讓學(xué)生開(kāi)口說(shuō)一說(shuō)，通過(guò)提煉精簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言加深學(xué)生對(duì)其算理的理解與記憶。

二、厘清算理與算法的區(qū)別

有不少教師認(rèn)為數(shù)學(xué)計(jì)算中算理與算法是一致的，并無(wú)區(qū)別，而這樣的觀點(diǎn)顯然是錯(cuò)誤的。如關(guān)于小數(shù)乘法的計(jì)算法則是這樣描述的：先按整數(shù)乘法算出積，然后觀察因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，因數(shù)一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位小數(shù)，并點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。這顯然是小數(shù)乘法的算法，它所描述的是關(guān)于計(jì)算小數(shù)乘法時(shí)的具體步驟以及方法。那小數(shù)乘法的算理是什么呢？是乘法的性質(zhì)：因數(shù)擴(kuò)大幾倍，積就擴(kuò)大幾倍；因數(shù)縮小為原來(lái)的幾分之一，積就縮小為原來(lái)的幾分之一。小數(shù)乘法的算法實(shí)際上是由其算理推導(dǎo)得出。在實(shí)際教學(xué)中，倘若教師沒(méi)有完全講清楚算理，而只是填鴨式地把小數(shù)乘法的計(jì)算法則呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生去記去背，學(xué)生很快就會(huì)遺忘。因?yàn)檫@樣的學(xué)習(xí)屬于機(jī)械學(xué)習(xí)，而不是有意義學(xué)習(xí)，學(xué)生并沒(méi)有把小數(shù)乘法的計(jì)算原理內(nèi)化到自己的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，隨著后面學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加，必然會(huì)和自己知識(shí)體系中的其他知識(shí)發(fā)生混淆，譬如最常見(jiàn)的就是小數(shù)乘法和小數(shù)加法的計(jì)算混淆在一起。

因此，筆者認(rèn)為，算理與算法的關(guān)系，可以比喻為“算理為魂，算法為形”。兩者互為表里，在數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)的過(guò)程中缺一不可。有魂無(wú)形，只講算理而忽略了總結(jié)算法，學(xué)生難以理解當(dāng)堂課的知識(shí)，難以提煉出準(zhǔn)確的知識(shí)點(diǎn)，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化；有形無(wú)魂，把算法直接告訴學(xué)生，不幫助學(xué)生通過(guò)梳理算理來(lái)總結(jié)得出算法，則會(huì)讓學(xué)生慢慢失去對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣，只知道附和老師，不利于學(xué)生日后的學(xué)習(xí)和生活。只有兩者兼具，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)計(jì)算的學(xué)習(xí)中能夠?qū)?shù)學(xué)計(jì)算有更深刻的記憶和理解。

三、小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)策略

（一）以舊“喚”新，建構(gòu)連貫的知識(shí)體系

布魯納在他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)理論中提出，數(shù)學(xué)中的每個(gè)概念、原理和技能都是與其他概念、原理和技能密切聯(lián)系的。數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，可以看作是枝繁葉茂的大樹(shù)，數(shù)學(xué)中的概念、原理和技能就是組成這棵大樹(shù)的元素，樹(shù)上的枝葉或多或少都會(huì)與其他的枝葉相連，即每個(gè)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)技能都能找到跟它相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)技能。因此，在教學(xué)算理時(shí)，作為教師，我們首先要思考清楚，這節(jié)課要講的算理與學(xué)生已經(jīng)具備的知識(shí)體系中的哪些內(nèi)容有聯(lián)系，要重視學(xué)生的已有知識(shí)，從學(xué)生的已有知識(shí)出發(fā)延伸到新知。

譬如，在教學(xué)小數(shù)乘法這一課時(shí)，要先明確“先按整數(shù)乘法算出積，再看因數(shù)中有幾位小數(shù)，因數(shù)有幾位小數(shù)就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，數(shù)位不夠的添0 補(bǔ)足”這只是小數(shù)乘法的算法，并不是其算理。想讓學(xué)生明白小數(shù)乘法為什么要這么算，則必須要講清楚為什么“因數(shù)有幾位小數(shù)就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)”。在實(shí)際教學(xué)中，可以通過(guò)平時(shí)購(gòu)物問(wèn)題進(jìn)行引入，如一個(gè)風(fēng)箏3.5 元，買(mǎi)3 個(gè)要多少元？此時(shí)可以讓學(xué)生先自己思考可以怎么算，有部分學(xué)生會(huì)選擇把3.5 元轉(zhuǎn)化成35 角來(lái)算，先算出來(lái)35 角×3＝105角，再化單位得到10.5 元。而后再立刻拋出5.6×4 這樣的不帶情境的題目，讓學(xué)生思考。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)知道了涉及小數(shù)的乘法計(jì)算實(shí)際上可以像買(mǎi)風(fēng)箏一樣，先把小數(shù)擴(kuò)大成整數(shù)去算，算完之后再縮小回來(lái)。即先算出56×4=224，然后得出5.6×4=22.4。此時(shí)教師不要著急出示算法，而是讓學(xué)生多做幾道題，如2.5×1.4、3.6×0.02 之類包含多種情況的小數(shù)乘法計(jì)算，讓學(xué)生先用自己能想到的方法算出來(lái)答案。事實(shí)上很多學(xué)生都已經(jīng)知道先把小數(shù)擴(kuò)大成整數(shù)，按整數(shù)先算出來(lái)，然后擴(kuò)大了多少倍，最后小數(shù)乘法的積就相應(yīng)地除以幾。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)理解了小數(shù)乘法的算理，而且已經(jīng)初步提煉出了小數(shù)乘法的算法，教師需要做的就是讓學(xué)生分享自己的算法，并幫助他們提取出共同的要點(diǎn)，最后得出最為精簡(jiǎn)的小數(shù)乘法算法：先按整數(shù)乘法算出積，再看因數(shù)中有幾位小數(shù)，因數(shù)有幾位小數(shù)就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，數(shù)位不夠的添0 補(bǔ)足。采用這樣的教法，可以最大限度讓學(xué)生脫離死記硬背算法的困境，同時(shí)也是在培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想。

再譬如，在教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)加減法這一課時(shí)，教師首先要厘清算理。很多教師會(huì)以為“先通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算”是算理，實(shí)際上這只是算法，異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理核心在于要先讓分?jǐn)?shù)單位相同，即“化單位”。因此，在設(shè)計(jì)引入時(shí)，可以設(shè)計(jì)類似于包含有1 噸＋20 千克這樣需要轉(zhuǎn)化數(shù)量單位的題目，喚醒學(xué)生知識(shí)體系中關(guān)于“單位不同要先轉(zhuǎn)化單位”的內(nèi)容，然后再出示例題，這時(shí)候可以向?qū)W生提問(wèn)：它們的分?jǐn)?shù)單位分別是多少？從而讓學(xué)生意識(shí)到異分母分?jǐn)?shù)不能直接相加的原因是因?yàn)閱挝徊灰粯樱褚郧皩W(xué)習(xí)的知識(shí)一樣，先“化單位”，而分?jǐn)?shù)的“化單位”，實(shí)際上就是通分。以這樣的方式教學(xué)，實(shí)際上全程都不需要講授算法，只要讓學(xué)生理解算理，學(xué)生自然而然就能自己總結(jié)出算法。

（二）“境理”相融，創(chuàng)設(shè)沉浸式的學(xué)習(xí)環(huán)境

所謂“境理”相融，即問(wèn)題情境與所包含的算理能深度交融，讓學(xué)生能將日常生活的經(jīng)驗(yàn)與課堂的數(shù)學(xué)知識(shí)融合在一起，從而達(dá)到沉浸式的學(xué)習(xí)效果。米哈里·契克森米哈在他提出的沉浸理論中指出，當(dāng)人們參與一項(xiàng)自己有能力解決但是又相對(duì)具有一定挑戰(zhàn)性的任務(wù)，并且由內(nèi)部動(dòng)機(jī)驅(qū)使的任務(wù)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生沉浸狀態(tài)，即專注度很高的心理狀態(tài)。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，進(jìn)入沉浸狀態(tài)即最好的學(xué)習(xí)狀態(tài)。因此在設(shè)計(jì)問(wèn)題情境時(shí)，必須要全面考慮學(xué)生的已有知識(shí)和課堂學(xué)習(xí)目標(biāo)之間的聯(lián)系，把學(xué)習(xí)目標(biāo)分層次細(xì)化，讓學(xué)生一個(gè)一個(gè)目標(biāo)由易到難地達(dá)到不同目標(biāo)。

譬如，在教學(xué)解簡(jiǎn)易方程第一課時(shí)的時(shí)候，可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)天平的情境：左邊擺放有一個(gè)小木塊和一個(gè)5g 的砝碼，右邊放4 個(gè)5g 的砝碼。然后提問(wèn)學(xué)生：如果我想把小木塊的重量稱出來(lái)，應(yīng)該怎么操作？此時(shí)可以讓學(xué)生上臺(tái)操作天平，學(xué)生會(huì)兩邊同時(shí)拿掉一個(gè)5g 的砝碼，從而得出一個(gè)小木塊的重量是15g。通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生就能很直觀地感受到本節(jié)課的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：①形如x+a=b 的方程的解法；②方程的解的形式總是將未知數(shù)單獨(dú)放在一邊。而后，再讓學(xué)生借助天平完成隨堂的練習(xí)，進(jìn)一步加深對(duì)這一課時(shí)所包含的方程的解法的理解。在遇到如x-15=5 的方程的時(shí)候，可以讓學(xué)生小組討論，怎么樣用天平表示出這一方程，這一情況稍難一點(diǎn)，但是仍處于學(xué)生的能力范圍內(nèi)，更能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)入沉浸狀態(tài)學(xué)習(xí)。在經(jīng)歷過(guò)這個(gè)教學(xué)情境后，學(xué)生對(duì)簡(jiǎn)易方程的解法就有了更深層次的理解和記憶，能通過(guò)回憶這個(gè)操作的過(guò)程自己得出簡(jiǎn)易方程的解法，而不是僅僅死記硬背。

再譬如，在教授分?jǐn)?shù)與除法這一課時(shí)的時(shí)候，可以依據(jù)教材中分月餅的情境進(jìn)行改編和拓展：首先是1 個(gè)月餅平均分給4 個(gè)人，每人分得多少個(gè)？此時(shí)根據(jù)平均分和分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生比較容易就能得出1÷4=（個(gè)）。然后再出示：那3 個(gè)月餅平均分給4 個(gè)人，每人分得多少個(gè)？學(xué)生大部分都能根據(jù)平均分的意義列出式子3÷4，但是不太確定得數(shù)到底怎么表示，因此教師需要準(zhǔn)備好學(xué)具（小圓片）讓學(xué)生自己操作分一分，并互相交流想法。學(xué)生中出現(xiàn)有將每個(gè)小圓片平均分成4 份，然后從各個(gè)小圓片各拿1 份湊成份時(shí)，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)。而后繼續(xù)出示有4÷5、8÷6 的情境，讓學(xué)生繼續(xù)嘗試去分一分。此時(shí)大部分學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作都能正確分對(duì)，而且在操作的過(guò)程中逐漸地明白除數(shù)是幾就相當(dāng)于把單位“1”平均分成幾份，因此除數(shù)會(huì)“變成”分母；被除數(shù)是幾，就要從幾個(gè)小圓片中各拿一份，也就是有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位，因此最后的得數(shù)被除數(shù)總會(huì)“變成”分子。通過(guò)這樣的操作過(guò)程，學(xué)生自己就能總結(jié)得出被除數(shù)÷除數(shù)=，教師只要輔助學(xué)生提起總結(jié)出他們算法的共同點(diǎn)，自然就提煉出本節(jié)課的算理。

（三）數(shù)形結(jié)合，借助幾何直觀搭建橋梁

數(shù)是抽象的，形是具體的。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，7—12 歲的兒童的認(rèn)知發(fā)展處于具體運(yùn)演階段，在這一階段，兒童的思維已具有可逆性和守恒性，但這種思維運(yùn)演還離不開(kāi)具體事物的支持。對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，即我們?cè)谥v授算理的時(shí)候，需要更多地借助幾何直觀來(lái)輔助學(xué)生理解算理。

高年級(jí)的學(xué)生，其認(rèn)知發(fā)展階段開(kāi)始過(guò)渡到形式運(yùn)演階段，因此，在借助幾何直觀時(shí)，可以采用更簡(jiǎn)潔的幾何直觀形式，比如線段圖或一些簡(jiǎn)易圖形。在講授分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)這一課時(shí)的時(shí)候，我們可以采用長(zhǎng)方形這一幾何圖形來(lái)輔助學(xué)生理解算理。譬如計(jì)算相當(dāng)于先把單位“1”平均分成3 份，取其中的2 份；然后是指涂色部分的，實(shí)際分完之后可以發(fā)現(xiàn)，最后相當(dāng)于把單位“1”平均分成了3×5＝15份，取其中的2×3＝6 份，即。之后還可以讓學(xué)生繼續(xù)進(jìn)一步用同樣的方法驗(yàn)證其他的算式，最后小結(jié)得出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法：分母相乘作為積的分母，分子相乘作為積的分子。在學(xué)習(xí)這一課時(shí)后的一段時(shí)間內(nèi)，也應(yīng)繼續(xù)讓學(xué)生先畫(huà)圖再計(jì)算，加深對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理理解。

結(jié)語(yǔ)

小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，在實(shí)際課堂教學(xué)中，學(xué)生也往往會(huì)有很多不同的想法和觀點(diǎn)，以及千奇百怪的疑問(wèn)。作為教師，在面對(duì)學(xué)生的不同想法以及疑問(wèn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)予以適當(dāng)?shù)墓膭?lì)并引導(dǎo)學(xué)生往正確的方向上進(jìn)行思考，而不是一味著急地把結(jié)論告訴學(xué)生。小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算中，算理與算法的教學(xué)很容易就會(huì)陷入到停留在算法層面教學(xué)的局面，因此，作為教師，我們更應(yīng)明確我們要培養(yǎng)的是具有自主思考、自主探究、自主學(xué)習(xí)能力的學(xué)生，而不是讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)只知其然不知其所以然，甚至不愿知其所以然。今后的教學(xué)，我們更應(yīng)主動(dòng)反思，在算理與算法的教學(xué)中，是否做到了“算理為魂，算法為形”，努力使自己的課堂成為有血有肉、有形有魂的，學(xué)生感興趣的課堂。