基于組合近似模型桁架檢測裝置穩(wěn)健性優(yōu)化

朱 浩 趙清海 張 亮 陳建良 徐 沖

(青島大學a.機電工程學院;b.電動汽車智能化動力集成技術國家地方聯(lián)合工程研究中心,山東 青島 266071)

作為支撐載體,桁架結構因材料的穩(wěn)健性,在橋梁、建筑、運輸和航天器結構中均具有廣泛的應用[1-3]。桁架結構性能的優(yōu)化設計在工程領域仍具有重要研究意義,但僅追求輕量化而忽視桁架的穩(wěn)健性,會使桁架產(chǎn)生性能波動和結構失效問題。目前,桁架優(yōu)化主要集中在算法優(yōu)化方面,W.C.DORN[4]引入數(shù)值方法實現(xiàn)了桁架結構的拓撲優(yōu)化,解決了使用解析法求解Michell桁架[5]較難實現(xiàn)的問題;G.I.N.ROZVANY 等人[6]提出的優(yōu)化布局理論,可以實現(xiàn)桁架結構尺寸、形狀及拓撲的綜合優(yōu)化。近年來,隨著計算數(shù)學的大力發(fā)展,以啟發(fā)式算法為代表的現(xiàn)代優(yōu)化算法在桁架優(yōu)化設計中也得到了推廣應用。S.O.DEGERTEKIN 等人[7]提出了Jaya 算法,解決了桁架結構尺寸、布局、規(guī)模等優(yōu)化問題。此后,粒子群算法[8-9]、狼群算法[10--12]、花授粉算法[13-14]等智能算法在結構優(yōu)化中的應用越來越廣泛。B.GEBRAIL等人[15]利用花授粉算法,對二維和三維桁架結構進行尺寸優(yōu)化,將局部搜索和全局搜索有效地結合;龔雨兵[16]利用改進路徑信息素的蟻群算法,對多桿平面桁架及空間桁架進行分析與優(yōu)化,優(yōu)化效果較傳統(tǒng)智能算法有所提高;LI Y C等人[17]采用改進粒子流算法,實現(xiàn)了桁架形狀與尺寸的優(yōu)化。以上研究雖在算法上改進了桁架優(yōu)化率,但沒有考慮外界不確定因素造成的可靠性問題。因此,桁架優(yōu)化開始考慮不確定優(yōu)化設計。于利磊等人[18]考慮約束函數(shù)及目標函數(shù)的魯棒性,將工程結構穩(wěn)健優(yōu)化問題轉化成雙目標穩(wěn)健優(yōu)化問題;李小剛等人[19]構建了Kriging近似模型的穩(wěn)健優(yōu)化設計方法,實現(xiàn)機械結構優(yōu)化設計;M.CARRASCO 等人[20]提出了數(shù)學規(guī)劃解決方差-期望模型,找到穩(wěn)健結構。上述研究考慮了優(yōu)化中的穩(wěn)健性問題,但在數(shù)學模型精確度上存在優(yōu)化空間。雖然桁架結構優(yōu)化設計在算法上已取得了一定進展,但在工程運用中,桁架結構優(yōu)化會因不確定因素產(chǎn)生穩(wěn)健性問題。因此,針對桁架自動檢測裝置,本文采用組合近似模型,對某桁架檢測裝置可靠穩(wěn)健性進行優(yōu)化設計,該設計有效提高了桁架結構的可靠性與穩(wěn)健性,滿足桁架結構輕量化和的設計要求。

1 桁架結構及設計參數(shù)

桁架自動檢測裝置三維模型如圖1所示。桁架自動檢測裝置由4根立柱、2根縱梁、1根橫梁和檢測機械臂組成。該裝置處于工作狀態(tài)時,橫梁在2根縱梁上左右移動,檢測機械臂在橫梁上可前后移動,桁架自動檢測裝置的工作范圍可覆蓋其所處的三維空間。

圖1 桁架自動檢測裝置三維模型

對桁架檢測裝置模型結構材料參數(shù)進行設置,模型結構材料參數(shù)進行設置如表1所示。

表1 模型結構材料參數(shù)設置

檢測機械臂的材質(zhì)為鋁合金,密度較小,本身質(zhì)量較小,其尺寸優(yōu)化對檢測裝置整體質(zhì)量影響較小,因此選擇桁架立柱、橫梁和縱梁截面形狀尺寸作為設計變量進行優(yōu)化設計。桁架自動檢測裝置設計變量如圖2所示,圖2中,L1為橫梁截面單元長度;h1為橫梁截面單元側壁厚;h2為橫梁截面單元主壁厚;L2為縱梁截面單元長度;h3為縱梁截面單元側壁厚;h4為縱梁截面單元主壁厚;L3為立柱截面單元長度;h5為立柱截面單元側壁厚;h6為立柱截面單元主壁厚。

圖2 桁架自動檢測裝置設計變量

通過分析設計變量對目標函數(shù)的影響程度,獲取設計變量的靈敏程度,更好地把握設計變量的取值和優(yōu)化范圍,設計變量對桁架質(zhì)量的影響如圖3所示。由圖3可以看出,在滿足約束條件下,h1～h6對桁架質(zhì)量影響較大,而L1～L3對質(zhì)量的影響程度低很多。

圖3 設計變量對桁架質(zhì)量的影響

考慮設計變量對目標函數(shù)的影響程度和實際要求,對桁架檢測裝置優(yōu)化變量參數(shù)及取值范圍進行設置,優(yōu)化設計參數(shù)初始值如表2所示,優(yōu)化設計參數(shù)取值范圍如表3所示。

表2 優(yōu)化設計參數(shù)初始值

表3 優(yōu)化設計參數(shù)取值范圍

2 桁架結構確定性優(yōu)化設計

2.1 約束條件確定

橫梁的應力為彎曲應力,其應力與應變是由橫梁自重和檢測機械臂重力共同作用產(chǎn)生,橫梁最大應力與應變的發(fā)生位置在橫梁中點處,橫梁應力與應變分別為

式中,σ1為橫梁受到的最大彎曲應力;M1為橫梁最大彎矩;W1為橫梁抗彎截面系數(shù);ρ為橫梁密度;Lh為橫梁長度;ms為檢測機械臂質(zhì)量;ε1為橫梁最大變形;E為桁架材料的彈性模量;I1為橫梁的截面慣性矩。

縱梁應力也為彎曲應力,由自重、橫梁和檢測機械臂重力共同作用產(chǎn)生,縱梁的最大應力與應變發(fā)生位置為縱梁中點處,縱梁應力與應變分別為

式中,σ2為縱梁受到的最大彎曲應力;M2為縱梁最大彎矩;W2為縱梁抗彎截面系數(shù);Lz為縱梁長度;ε2為縱梁的最大變形;I2為橫梁的截面慣性矩。

立柱的應力為壓應力,其應力與應變是由橫梁、縱梁與檢測機械臂重力共同作用產(chǎn)生,立柱應力與應變分別為

式中,σ3為橫梁受到的最大彎曲應力;ε1為橫梁的最大變形。

對上述約束條件進行設置,約束條件及約束值如表4所示。

表4 約束條件及約束值

2.2 確定性優(yōu)化模型

桁架檢測裝置確定性優(yōu)化設計數(shù)學模型為

式中,X為設計變量集;σs為最大拉壓應力;εs為最大應變值。

2.3 優(yōu)化結果與分析

對建立的確定性優(yōu)化模型進行求解,獲取其目標函數(shù)值隨迭代次數(shù)求解變化情況,桁架總質(zhì)量隨迭代次數(shù)變化曲線如圖4所示。圖4中,紅色為不滿足約束的解,黑色為可行解,綠色為最優(yōu)解。由圖4可以看出,當?shù)螖?shù)為185次時,目標函數(shù)取得最優(yōu)解,即在滿足約束條件下,桁架總質(zhì)量取得最小值,為313.06 kg。橫梁截面單元尺寸Pareto圖如圖5所示,縱梁截面單元尺寸Pareto圖如圖6所示,立柱截面單元尺寸Pareto圖如圖7所示。

圖4 桁架總質(zhì)量隨迭代次數(shù)變化

圖5 橫梁截面單元尺寸Pareto圖

圖6 縱梁截面單元尺寸Pareto圖

圖5～圖7中的紅色部分為不滿足約束的解,黑色部分為可行解,綠色部分為最優(yōu)解。由圖5可以看出,橫梁截面單元長度高于0.141 m,且主壁厚不低于0.003 23 m 時,絕大部分滿足約束條件,綠色點為滿足約束的最佳設計尺寸;由圖6可以看出,縱梁截面單元長度低于0.138 5 m 時,采樣點全部不滿足約束條件,縱梁截面單元長度高于0.138 5 m 時,且側壁厚不低于0.003 66 m,主壁厚不低于0.004 735 m 時,采樣點絕大部分滿足約束條件,綠色點為滿足約束的最佳設計尺寸;由圖7可以看出,立柱截面單元長度高于0.138 m時,且側壁厚不低于0.002 94 m,采樣點絕大部分滿足約束條件,綠色點為滿足約束的最佳設計尺寸。

圖7 立柱截面單元尺寸Pareto圖

3 桁架可靠穩(wěn)健性優(yōu)化

3.1 6σ 穩(wěn)健性數(shù)學優(yōu)化模型

穩(wěn)健性優(yōu)化是在確定約束條件與目標函數(shù)的前提下,尋找優(yōu)化中波動較小的區(qū)域。其目的主要防止未曾考慮的因素對優(yōu)化結果的影響,提高優(yōu)化的可靠度。優(yōu)化模型為

式中,X優(yōu)化變量集;F(X)為目標函數(shù);H(X)為約束條件;XL為優(yōu)化變量下限;XU為優(yōu)化變量的上限;n表示σ水平。

3.2 桁架穩(wěn)健性優(yōu)化分析

采用響應面模型與徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡模型的組合近似模型,對其可靠穩(wěn)健性進行優(yōu)化分析。組合近似模型權重系數(shù)及組合近似模型為

式中,MEN為組合近似模型的響應預測值;ωi和Si分別為第i個模型的權系數(shù)和響應預測值,權系數(shù)之和等于1;Ei為第i個單一近似模型的均方根誤差;ˉE為所有單一近似模型的平均均方根誤差;ω*i為近似模型第i個控制權重系數(shù);N為近似模型個數(shù),N＝2;α和β為近似模型控制參數(shù),當α＝0.05,β＝－1時,組合近似模型精度較高。

通過實驗設計采樣,生成響應面模型與RBF模型的置信水平R2,響應面模型R2值如圖8所示,RBF模型R2值如圖9所示。由圖8和圖9可以看出,當響應面模型R2＝1,RBF模型R2＝0.998 25時,一般認為R2＞0.9,則認為近似模型具有高可信度。

圖8 響應面模型R2 值

圖9 RBF模型R2 值

經(jīng)計算可知,組合模型表達式為

采用6σ分析中的均值一階可靠性分析,并定義9個初始設計變量為隨機變量,變異系數(shù)為0.01,對桁架自動檢測裝置的6個輸出響應進行質(zhì)量水平檢查與可靠性分析,輸出響應可靠度分析結果如表5所示。

表5 輸出響應可靠度分析結果

由表5可以看出,桁架自動檢測裝置輸出響應的橫梁應變、縱梁應變、立柱應變和立柱應力的質(zhì)量水平都達到了8σ,可靠度為1,不需要穩(wěn)健性優(yōu)化。而對于桁架自動檢測裝置輸出響應中的橫梁應力和縱梁應力質(zhì)量水平達不到6σ的情況,可靠度不為1。其中,橫梁應力的質(zhì)量水平為0.362σ,可靠度為0.283;縱梁應力的質(zhì)量水平為0,可靠度為0,均不滿足6σ質(zhì)量水平,可靠度沒達到1.000,所以桁架自動檢測裝置在這幾個輸出響應時的穩(wěn)健性較差,需要對其進行6σ穩(wěn)健性優(yōu)化。構建桁架的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學模型,即

式中,X為隨機設計變量集;M(X)為桁架質(zhì)量函數(shù);G(X)為最大應力約束函數(shù);D(X)為最大變形約束函數(shù);GU為最大應力約束值,DU為最大應變約束值;XL和XU分別為設計變量X的上下限;n表示σ水平。

通過穩(wěn)健性優(yōu)化后,輸出響應可靠度,穩(wěn)健性優(yōu)化后輸出響應的可靠度如表6所示。由表6可以看出,橫梁應力的質(zhì)量水平為5.144 3σ,可靠度為0.999,縱梁應力的質(zhì)量水平為4.555σ,可靠度為0.999,滿足可靠性要求。

表6 穩(wěn)健性優(yōu)化后輸出響應的可靠度

穩(wěn)健性優(yōu)化后,桁架總質(zhì)量隨迭代次數(shù)變化曲線如圖10所示。由圖10可以看出,當?shù)螖?shù)為197次時,桁架質(zhì)量為滿足約束條件最小值,此時桁架質(zhì)量為331.9 kg。質(zhì)量分布概率隨整體質(zhì)量變化曲線如圖11所示。由圖11可以看出,桁架質(zhì)量在270～450 kg為穩(wěn)健性優(yōu)化范圍,其總分布概率大于0.99,在可靠性基礎上進行穩(wěn)健性優(yōu)化,使優(yōu)化的目標函數(shù)隨設計變量的波動影響較小。

圖10 穩(wěn)健性優(yōu)化后桁架質(zhì)量變化線

圖11 穩(wěn)健性優(yōu)化后桁架質(zhì)量分布概率

對桁架自動檢測裝置確定性與穩(wěn)健性進行優(yōu)化,優(yōu)化前后橫梁和縱梁截面單元設計參數(shù)對比如表7所示,優(yōu)化前后立柱截面單元和桁架總質(zhì)量設計參數(shù)對比如表8所示。由表7和表8可以看出,在確定性優(yōu)化中,橫梁截面單元長度為0.141 m,側壁厚為0.001 m,主壁厚為0.003 295 m;縱梁截面單元長度為0.138 5 m,側壁厚為0.003 655 m,主壁厚為0.004 735 m;立柱截面單元長度為0.138 m,側壁厚為0.002 935 m,主壁厚為0.001 m。

表7 優(yōu)化前后橫梁和縱梁截面單元設計參數(shù)對比

表8 優(yōu)化前后立柱截面單元和桁架總質(zhì)量設計參數(shù)對比

在穩(wěn)健性優(yōu)化中,橫梁截面單元長度為0.157 m,側壁厚為0.002 72 m,主壁厚為0.003 14 m;縱梁截面單元長度為0.145 m,側壁厚為0.002 m,主壁厚為0.005 6 m;立柱截面單元長度為0.136 25 m,側壁厚為0.002 m,主壁厚為0.002 m。

桁架優(yōu)化結果對比如圖12所示。由圖12可以看出,原方案桁架的總質(zhì)量為353.1 kg,經(jīng)過確定性優(yōu)化后,質(zhì)量變?yōu)?13.06 kg,結構減重達11.3%。采取可靠穩(wěn)健性優(yōu)化后,桁架總質(zhì)量縮減為331.9 kg,結構減重為6%,雖然穩(wěn)健性優(yōu)化方案的效果不如確定性優(yōu)化方案,但有效提高了優(yōu)化的穩(wěn)健性。

圖12 桁架優(yōu)化結果對比

4 結束語

本文主要對某桁架結構的設計變量進行靈敏度分析。選取桁架橫梁、縱梁和立柱截面形狀的9個設計變量,并根據(jù)設計要求確定其取值范圍,推導桁架應力與應變的約束函數(shù),進行確定性優(yōu)化設計研究,優(yōu)化后實現(xiàn)減重11.3%,采用組合近似模型對桁架進行可靠穩(wěn)健性優(yōu)化設計,優(yōu)化后實現(xiàn)減重6%,在實現(xiàn)結構輕量化設計的前提下,有效提高了桁架結構的可靠性與穩(wěn)健性。由于已有的研究主要集中于拓撲優(yōu)化理論,而本文采用Hooke Jeeves算法,對桁架進行可靠穩(wěn)健性分析與優(yōu)化,在實際應用中,可以解決桁架用料過多問題,追求輕量化而忽視桁架的穩(wěn)健性所導致的桁架性能波動和結構失效問題,后期將主要圍繞桁架自動檢測裝置進行可靠穩(wěn)健性優(yōu)化設計及實驗仿真驗證進行研究。