從“二維空間”到“三維空間”
——例談2022年高考試題的創(chuàng)新性變化

江蘇 呂朝陽 張 玲

高考試題的創(chuàng)新性變化,對一線教學(xué)具有鮮明的指導(dǎo)意義。一般而言,高考試題的問題情境都是在“二維空間”內(nèi)展開,即便是“三維空間”情境,其設(shè)問也僅需通過畫出側(cè)視圖,然后在一個二維空間內(nèi)就可以解決。然而2022年高考試題卻有了顯著變化,試題所呈現(xiàn)的是三維空間情境,需要在三維空間內(nèi)進(jìn)行分析和推理才可以解決。例如2022年高考山東卷第11題、廣東卷第10題、河北卷第6題和第7題、全國乙卷第5題等。本文將依據(jù)高考真題,例談其創(chuàng)新性變化和趨勢,并通過變式加以分析和探討。

【真題展示1】(2022·山東省學(xué)業(yè)水平等級考試·11)如圖1所示,某同學(xué)將離地1.25m 的網(wǎng)球以13 m/s的速度斜向上擊出,擊球點到豎直墻壁的距離4.8m。當(dāng)網(wǎng)球豎直分速度為零時,擊中墻壁上離地高度為8.45m 的P點。網(wǎng)球與墻壁碰撞后,垂直墻面速度分量大小變?yōu)榕銮暗?.75 倍,平行墻面的速度分量不變。重力加速度g取10m/s2,網(wǎng)球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為 ( )

圖1

【解題思路】由于碰墻前后網(wǎng)球的運動軌跡不在同一“二維空間”內(nèi),而在三維立體空間內(nèi),故該題采用的解題思路是分別對網(wǎng)球在碰墻前和碰墻后運動進(jìn)行分解與合成。

設(shè)網(wǎng)球飛出時的初速度為v0,在豎直方向上

代入數(shù)據(jù)得

則在水平方向上

網(wǎng)球從拋出點到P點的水平距離

畫出網(wǎng)球在碰墻前后速度關(guān)系的俯視圖,如圖2所示。

圖2

根據(jù)圖2中的幾何關(guān)系可得,網(wǎng)球打在墻面上時垂直墻面的速度分量

故網(wǎng)球著地點到墻壁的距離d＝＝3.9m

故BD 正確,AC錯誤。

【答案】BD

【創(chuàng)新點說明】拋體運動是高考?？嫉闹匾R點之一,但常見考查拋體運動試題的情境設(shè)置及設(shè)問方式與本題有很大差別。本題的創(chuàng)新點有兩個,一是網(wǎng)球雖做斜上拋運動,但因在達(dá)到豎直墻壁的最高點P時,豎直分速度為零,只剩下水平分速度,其逆過程即是平拋,因此仍可轉(zhuǎn)換為平拋運動來處理;二是本題創(chuàng)造性地設(shè)置研究物體在立體空間,即“三維空間”內(nèi)的運動,這也是本題最重要的創(chuàng)新點。本題既考查了學(xué)生的模型轉(zhuǎn)換能力,又考查了學(xué)生的空間想象和分析推理能力,對學(xué)生的能力要求較高,是一道非常出色的創(chuàng)新性試題。

【真題展示2】(2022·浙江6月選考·10)如圖3所示,一輕質(zhì)曬衣架靜置于水平地面上,水平橫桿與四根相同的斜桿垂直,兩斜桿夾角θ＝60°。一重力為G的物體懸掛在橫桿中點,則每根斜桿受到地面的 ( )

圖3

【解題思路】以水平橫桿和重物為系統(tǒng),由于該系統(tǒng)受到的外力不在一個平面內(nèi),故采用將系統(tǒng)受到的外力沿水平和豎直兩個方向進(jìn)行分解的思路來解決問題。

將斜桿頂端的彈力沿豎直和水平兩個方向進(jìn)行分解,根據(jù)對稱性可知,四根斜桿的彈力在水平方向的合力為零,設(shè)斜桿的彈力大小為F,因水平橫桿和重物組成的系統(tǒng)受力平衡,故在豎直方向上可得4Fcos30°＝G,解得

以其中一斜桿為研究對象,其底端受力如圖4所示,每根斜桿受到地面的作用力為地面對斜桿底端的支持力N與摩擦力f的合力,由圖4可得,該作用力應(yīng)與F平衡,即大小為每根斜桿受到地面的摩擦力為f＝Fsin30°＝故B正確,ACD 錯誤。

圖4

【答案】B

【創(chuàng)新點說明】力的平衡是力學(xué)的基礎(chǔ)知識,也是高考?？嫉闹匾R點之一,在考查力的平衡時,一般情況下,物體的受力都在一個平面內(nèi),即都在同一二維空間內(nèi)。本題中,在以水平橫桿和重物組成的系統(tǒng)為研究對象時,該系統(tǒng)受到的外力不在同一個平面內(nèi),無法直接畫出系統(tǒng)所受外力的示意圖,所以采用將系統(tǒng)受力沿著水平和豎直兩個方向進(jìn)行正交分解的解題方法,又由于該系統(tǒng)在水平方向的分力具有對稱性,根據(jù)對稱性可知水平方向的分力的合力為零。故本題的主要創(chuàng)新點有兩個,一是物體的受力不在同一平面內(nèi),二是將力的平衡與對稱性相結(jié)合,以對稱的思想方法來輔助解決問題。

下面,本文將從“二維空間”轉(zhuǎn)變到“三維空間”這個創(chuàng)新點出發(fā)(不是從考查知識點的創(chuàng)新角度),設(shè)計變式習(xí)題,并進(jìn)行分析和探討。

【變式1】如圖5所示,在水平桌面上有一豎直放置的光滑薄板abcd,在薄板上的P點用兩根等長的輕細(xì)繩懸系在均質(zhì)圓柱體的輕質(zhì)中軸上,左右兩邊細(xì)繩在中軸上的懸系點到圓柱體的距離均相等。已知圓柱體的中軸與薄板的ab邊平行,圓柱體垂直中軸的橫截面的半徑不可忽略。現(xiàn)將薄板以ab邊為軸,逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)至水平,則在此過程中 ( )

圖5

A.薄板對圓柱體的支持力一直增大

B.薄板對圓柱體的支持力先增大后減小

C.兩輕細(xì)繩中的拉力均一直增大

D.兩輕細(xì)繩中的拉力均先增大后減小

【解題思路】以圓柱體(含中軸)為研究對象,發(fā)現(xiàn)其受到的外力不在同一平面內(nèi),將兩繩拉力的合力設(shè)為T合,畫出從a向b的方向觀察的受力分析側(cè)視圖,如圖6所示。

圖6

在薄板逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)的過程中,由于T合與薄板對圓柱體支持力N的夾角不變,故采用的解題方法是等效法,即保持T合與N的方向不變,畫出這兩個力的合力F(大小為G,且保持不變)逆時針旋轉(zhuǎn)至水平過程中動態(tài)的力的平行四邊形,據(jù)此可得兩繩中拉力的合力T合逐漸減小,薄板對圓柱體的支持力先增大后減小,A 錯誤,B 正確;設(shè)兩繩夾角為θ,則每根細(xì)繩中的拉力,由于兩繩夾角θ不變,T合逐漸減小,拉力也逐漸減小,CD 均錯誤。故本題答案為B。

【答案】B

【變式說明】由于本題中圓柱體的半徑大小不可忽略,則細(xì)繩與薄板之間夾角不為零,且保持不變,故本題的解題思路分為兩步,第一步是先將兩繩中的拉力合成為一個力,通過對圓柱體進(jìn)行受力分析,推理出每一個力的大小的變化情況;第二步則根據(jù)第一步得到的結(jié)果分析每根繩中的拉力大小的變化情況。同時,本題又區(qū)別于一般的三力動態(tài)平衡問題,在薄板逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)的過程中,由于T合與薄板對圓柱體支持力N的大小和方向均不斷變化,但這兩個力之間的夾角保持不變,故采用等效法——等效于重力大小不變、方向順時針旋轉(zhuǎn)。

【變式2】小明在木藝工廠定制了如圖7所示的大斜劈,當(dāng)他將一個小木塊輕輕放在斜面上時,發(fā)現(xiàn)小木塊將會沿斜劈向下運動;現(xiàn)小明在圖7所示的位置將小木塊釋放的同時,給小木塊一個沿斜面水平向右的初速度v0。已知木塊與斜劈之間的動摩擦因數(shù)處處相同,不計空氣阻力,小木塊始終沒有脫離斜劈。則此后小木塊將 ( )

圖7

A.在某段時間內(nèi)有可能做勻速直線運動

B.有可能一直做曲線運動

C.在某段時間內(nèi)有可能做與初速度保持垂直方向的勻加速直線運動

D.最終的運動方向有可能保持與初速度垂直

【解題思路】設(shè)木塊的質(zhì)量為m、動摩擦因數(shù)為μ、斜劈的傾角為θ、重力加速度為g。因小木塊無法在斜劈上保持靜止,故mgsinθ＞μmgcosθ,即μ＜tanθ。

當(dāng)給小木塊一個水平的初速度后,以小木塊為研究對象,發(fā)現(xiàn)其受到重力、彈力和滑動摩擦力,這三個力不在同一平面內(nèi),而且隨著運動方向的變化,滑動摩擦力的方向也隨之發(fā)生變化。故該題采用的解題思路是將小木塊受到的力在垂直斜面和沿著斜面兩個方向上進(jìn)行正交分解。

在垂直斜面的方向上,斜劈對木塊的支持力FN＝mgcosθ,故木塊受到的滑動摩擦力的大小始終不變,為f＝μFN＝μmgcosθ。

在沿著斜面的方向上,將小木塊的運動沿著初速度方向和垂直初速度方向進(jìn)行正交分解,則在沿著初速度的方向上木塊做減速運動;在垂直初速度的方向上,木塊做加速運動。

當(dāng)木塊運動的水平分速度減為零時,木塊的速度方向變?yōu)檠刂泵嫦蛳?此時滑動摩擦力的方向為沿斜面向上,但由于μ＜tanθ,即mgsinθ＞μmgcosθ,故此后木塊將做勻加速直線運動,加速度的大小為g(sinθ－μcosθ)。

綜上分析,可知小木塊開始時做曲線運動,最后做勻加速直線運動,且最終的運動方向始終保持與初速度方向垂直。最初時,小木塊受到的滑動摩擦力方向與初速度方向相反,在垂直初速度的方向上的加速度大小為gsinθ,但小木塊最終的加速度大小為g(sinθ－μcosθ),故AB 錯誤,CD 正確。

【答案】CD

【變式說明】本題的創(chuàng)新之處在于,木塊的初速度方向為水平向右,且木塊初始時做曲線運動。這一小小的變化,立即使這一常見的問題情境變得靈動起來。此題的解題思路是兩次正交分解,一是將物塊受到的外力沿斜面和垂直斜面進(jìn)行正交分解,二是將木塊在斜面上的運動沿著初速度方向和垂直初速度方向進(jìn)行正交分解,通過這兩次正交分解就可以破解此題。

【變式3】如圖8 所示,一內(nèi)壁光滑、內(nèi)徑r＝1 m、高h(yuǎn)1＝0.35m的豎直圓筒固定在水平地面上方高h(yuǎn)2＝9m 處。一質(zhì)量m＝0.5kg的小球從圓筒內(nèi)壁上端的A點以v0＝5m/s的初速度、保持與水平成θ＝37°的方向沿內(nèi)壁切線斜向下射入圓筒。重力加速度g取10 m/s2,sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,不計空氣阻力,試求:

圖8

(1)小球在圓筒運動的過程中對圓筒的壓力FN的大小;

(2)小球離開圓筒時速度v的大小;

(3)小球的落地點距圓筒底面圓心O的水平距離L。

【解題思路】(1)在圓筒內(nèi)壁運動時,小球的運動可以看作是在水平方向上的勻速圓周運動與豎直方向上的勻加速直線運動的合成?，F(xiàn)將小球的初速度進(jìn)行分解

在水平方向vx＝v0cosθ＝5×0.8m/s＝4m/s

在豎直方向v0y＝v0sinθ＝5×0.6m/s＝3m/s

小球在水平方向上做勻速圓周運動,有

根據(jù)牛頓第三定律可知,小球?qū)A筒的壓力大小也為8N。

解得v＝

(3)設(shè)小球剛離開圓筒時速度的豎直分量為vy,則

設(shè)小球離開圓筒到落地的時間為t,則

帶入數(shù)據(jù)得t＝1s,此段時間內(nèi)小球的水平位移

根據(jù)幾何關(guān)系得,小球的落地點距圓筒底面圓心O的水平距離L＝

【變式說明】本題中,小球在圓筒內(nèi)的運動是較為復(fù)雜的曲線運動,通過對小球進(jìn)行受力和運動分析,可以將此運動分解為水平面內(nèi)的勻速圓周運動和豎直方向的勻加速直線運動(注意不是自由落體);小球離開圓筒后的運動為勻變速曲線運動(注意不是平拋運動,是斜下拋運動)。此題的解題思路是將此運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的勻加速直線運動(注意仍不是自由落體)。本題除了考查學(xué)生的空間思維能力外,還考查了學(xué)生將復(fù)雜運動簡單化的方法——正交分解法,以及重要的建模能力。

【結(jié)語】根據(jù)以上高考真題的呈現(xiàn)和對變式習(xí)題的分析可知,當(dāng)遇到較為復(fù)雜、涉及三維空間情境的問題時,解題的主要思路是,在對物體進(jìn)行正確的受力和運動分析后,將物體所受到的外力或運動分別分解在兩個或多個二維平面內(nèi),結(jié)合物體在立體空間運動的實際,建立一一對應(yīng)、正確的物理模型,再利用整體法、隔離法、對稱法以及等效法等物理學(xué)思想方法進(jìn)行求解。學(xué)生的能力可以在恰當(dāng)?shù)膶崙?zhàn)訓(xùn)練中得到逐步的提高,這就要求一線教師在深入研究和把握高考題型的創(chuàng)新性變化后,精心選擇、改編或原創(chuàng)相應(yīng)的三維情境題型,加強(qiáng)訓(xùn)練、檢測及反饋,以有效提升學(xué)生的應(yīng)試技巧和關(guān)鍵能力。