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    法則引入與注重算理:運算教學的用力點

    2015-04-27 09:28:30江蘇省連云港市贛榆區(qū)歡墩中學彭忠榮
    中學數(shù)學雜志 2015年12期
    關(guān)鍵詞:括號乘法賞析

    ☉江蘇省連云港市贛榆區(qū)歡墩中學 彭忠榮

    法則引入與注重算理:運算教學的用力點

    ☉江蘇省連云港市贛榆區(qū)歡墩中學 彭忠榮

    我們注意到,《中學數(shù)學》(下)2015年以來刊載了多篇研究專家教師李庾南老師課例的文章,筆者十分贊賞這種研究取向,因為通過觀摩、研究專家教師的課例設(shè)計、教學藝術(shù),分析之后得到的就是研習者自身的專業(yè)成長,也即是從默會知識到“悠然神會,妙處與君說”的顯性傳遞.于是,筆者找來李庾南老師前幾年的教學錄像——七年級“去括號”,反復(fù)觀摩研習,現(xiàn)將該課的教學流程梳理出來,并跟進賞析,與同行分享.

    一、“去括號”教學過程

    (一)開課階段:回顧學生已有的去括號經(jīng)驗

    1.根據(jù)相反數(shù)的意義和表示方法去括號

    (1)“相反數(shù)”的有關(guān)知識.

    只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù),其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的相反數(shù),正數(shù)的“+”可省略不寫.在任意一個數(shù)前面添上“-”,新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù).

    (2)練、議.

    根據(jù)相反數(shù)的意義化簡下列各數(shù):

    (3)概括練習中化簡符號、去括號的方法.

    括號前面是“+”時,由“正數(shù)的正號可省略不寫”,將“+”和括號都去掉,括號內(nèi)的數(shù)的符號不改變;

    括號前面是“-”時,由相反數(shù)的意義,把括號和它前面的“-”去掉,括號里面的數(shù)改變符號.

    2.根據(jù)有理數(shù)的乘法法則和乘法分配律去括號

    (1)有理數(shù)乘法法則.

    兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘,任何數(shù)同0相乘,都得0.

    (2)乘法分配律.

    一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘,等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘,再把積相加,即a(b+c)=ab+ac.

    (3)練、議.

    題1:計算5b+(-3b-2a).

    解:5b+(-3b-2a)……看作(+1)(-3b-2a)

    =5b-3b-2a……乘法分配律和乘法法則

    =2b-2a.

    題2:13-(a-5).

    解:13-(a-5)……看作(-1)(a-5)

    =13-a+5……乘法分配律和乘法法則

    =18-a.

    筆者說明:這里的運算并不是重點,多數(shù)學生都能順利完成,重要的是教師在每一步后面都追問學生的變形依據(jù),并注明算理.

    教師解說:括號外的因數(shù)是正數(shù),去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同;括號外面的因數(shù)是負數(shù),去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反.

    進一步反思講評:根據(jù)加法的結(jié)合律和減法的運算性質(zhì)去括號.

    題1:5b+(-3b-2a)=5b-3b-2a……加法結(jié)合律.

    題2:13-(a-5)=13-a+5……減法運算性質(zhì).

    對于題2,也可以這樣理解:一個數(shù)減去幾個數(shù)的和,等于從這個數(shù)連續(xù)減去各個數(shù).

    (二)師生共同概括去括號法則

    1.去括號法則

    符號表示:a+(b-c)=a+b-c.

    文字表示:括號前面是“+”,把括號和它前面的“+”去掉,括號里各項都不變號.

    符號表示:a-(b-c)=a-b+c.

    文字表示:括號前面是“-”,把括號和它前面的“-”去掉,括號里各項都改變符號.

    2.練、議

    合并下列各式的同類項:(教師要求學生注明第一步的依據(jù))

    (1)8a+2b+(5a-b);(2)(5a-3b)-3(a2-2b);

    (3)3x-(4y-2x+1);(4)-(x-y)+(-x-y).

    (三)由等式的對稱性質(zhì)“若a=b,則b=a”,概括添括號法則

    1.去括號法則反過來為添括號法則

    去括號法則添括號法則

    2.添括號法則

    添括號后,括號前面是“+”的,括到括號里的各項都不變號;

    添括號后,括號前面是“-”的,括到括號里的各項都改變符號.

    3.去、添括號符號法則的一致性

    括號前面是“+”,去、添括號都不變號;

    括號前面是“-”,去、添括號都要變號.

    4.練、議,進一步理解添括號法則

    例1在等號右邊的括號內(nèi),填上適當?shù)捻棧?/p>

    (1)a+b+c-d=a+();……添帶有“+”的括號

    (2)a-b+c-d=a-();……添帶有“-”的括號

    (3)a-b-c-d=a-b+();……添帶有“+”的括號

    (4)a+b+c+d=a+b-();……添帶有“-”的括號

    (5)(a+b-c-d)(a-b+c-d)=[(a____)+(b______)]·[(a______)-(b_______)].……添括號,學生們按題的特征自主選擇填的項

    例2(1)在多項式m4-2m2n2-2m2+2n2+n4中添括號.

    要求:把四次項相結(jié)合,放在前面帶有“+”的括號里;把二次項相結(jié)合,放在前面帶有“-”的括號里.

    解:m4-2m2n2-2m2+2n2+n4=(m4-2m2n2+n4)-(2m2-2n2).

    (2)把3x3-2x2-6x+4寫成兩個二項式的和.

    教學記錄:由于這是一個開放式問題,所以學生有不同的解答,如下所示.

    解:3x3-2x2-6x+4=(3x3-2x2)-(6x-4)=(3x3-2x2)+(-6x+4)=(3x3-6x)+(-2x2+4).

    (四)去、添括號法則的應(yīng)用練習

    (1)計算(8xy-3x2)-5xy-2(3xy-2x2).

    (2)化簡2a-3b+[4a-(3a-b)].

    (4)三角形的第一邊是a+2b,第二邊比第一邊?。╞-2),第三邊比第二邊小5,計算三角形的周長.

    教學記錄:這4道習題教師都要求不僅會做,還要能講每一步的運算依據(jù),即算理.其中第二題學生的不同解法如下所示.

    解法1:2a-3b+[4a-(3a-b)]

    =2a-3b+4a-(3a-b)……先把(3a-b)看作一個整體,化去帶有“+”的中括號

    =2a-3b+4a-3a+b……化去帶有“-”的小括號

    =(2+4-3)a-(3-1)b……合并同類項時,添加括號

    =3a-2b.

    解法2:2a-3b+[4a-(3a-b)]

    =2a-3b+(4a-3a+b)……先去小括號

    =2a-3b+(a+b)

    =2a-3b+a+b

    =3a-2b.

    對于第四題,不少學生的解法中沒有文字表達,全是字母運算,教師在訂正時規(guī)范如下所示的解法步驟.

    解:由題意知:—邊為a+2b;

    第二邊為(a+2b)-(b-2)……添括號

    =a+2b-b+2……去括號

    =a+b+2;

    第三邊為(a+b+2)-5……添括號

    =a+b+2-5……去括號

    =a+b-3.

    所以該三角形的周長為(a+2b)+(a+b+2)+(a+b-3)……添括號

    =a+2b+a+b+2+a+b-3……去括號

    =3a+4b-1.

    (五)師生小結(jié),布置作業(yè)

    (1)在化簡、計算等解決問題的過程中,有時需要添括號,有時需要去括號,必須掌握去、添括號法則.

    (2)去、添括號法則中,括號與其前面的符號為一個整體,同時去、同時添,去、添括號的符號法則是一致的.

    (3)去、添括號是兩個互逆過程,可相互檢驗變形過程的正誤.

    二、課例賞析

    以上梳理了李老師關(guān)于去括號教學的教學過程,其中有些來自課堂中的學生生成,有些是教師的點評或示范,并附有筆者的聽課隨感,以下再從整體上給出兩點賞析.

    1.運算法則教學要引導學生感受法則的合理性、和諧性、一致性

    從開課階段看似冗長的課堂引入來看,這節(jié)課是整式加減前的一個去括號法則,為什么不直接引入或介紹去括號法則,而要九曲十八彎地復(fù)習到上一章中有理數(shù)的諸多性質(zhì)呢?這其實就是作為專家教師對數(shù)學知識前后一致、邏輯連貫的深刻理解,因為在學生有理數(shù)學習過程中,對于相反數(shù)、乘除法則等運算的學習,已經(jīng)涉及去括號的思想或方法,這時教者通過復(fù)習這些舊知,目的是啟發(fā)學生類比、歸納、概括出新知——“去括號”法則,而且在此過程中,一個新法則(或新約定),它的合理性、和諧性、一致性就被前面的引入環(huán)節(jié)鋪墊得非常到位.這樣的教學比之“一個法則,三項注意、幾道例習題訓練”(章建躍語)式教學要高明得多,與那種貼標簽式的強調(diào)去括號具有合理、和諧、一致的點評相比,也有著更為高超的“無痕”教學藝術(shù).此外,大家是否注意到,目前教材上在該節(jié)教學時并沒有添括號法則,然而上面的教學中,李老師卻基于“反過來”的思考,引導學生概括小結(jié)了添括號法則,教學過程非常自然,學生接受得也很好,這并不是增加學生的課業(yè)負擔,而是完善了知識體系,讓學生加深了知識之間的和諧共生、邏輯一致的認識,專家教師對教學內(nèi)容的深刻理解值得深思.

    2.運算教學應(yīng)該在重視算理的基礎(chǔ)上追求運算速度

    中科院李文林研究員曾指出,數(shù)學就是兩個字:算和證.就我們所見,當前教學中對運算的要求是高的,學生進行繁雜運算的能力是強的,一方面有應(yīng)試的壓力,另一方面與我們過分拒絕使用計算器也不無關(guān)系.然而,對于算理的重視卻不夠到位.表現(xiàn)在運算教學中,我們過分重視了大量的運算演練,讓學生通過過度的機械訓練來達到“熟能生巧”的運算教學目標.而我們從李老師的教學中能發(fā)現(xiàn),她的這節(jié)課并沒有安排大量的、形形色色的運算訓練,而是注意在有限的幾個練習中開展算理的追問、標注,并倡導學生在獨立運算之后的小組議論、全班交流,注意每一步運算的依據(jù)和算理的訓練.筆者以為,這即是一種高水平的數(shù)學教學.運算教學的新課期間,如果不能充分重視算理,就匆匆追求所謂的運算速度是本末倒置.

    1.朱映紅.情境創(chuàng)設(shè)再認識:值得重視的“超經(jīng)驗”——李庚南老師“二元一次方程組”起始課賞析[J].中學數(shù)學(下),2015(4).

    2.吳燕飛.找準生長點,思辨特殊與一般——李庚南老師“直角三角形全等”課例賞析[J].中學數(shù)學(下),2015(4).

    3.李庾南.自學·議論·引導教學論[M].北京:人民教育出版社,2013.

    4.鐘啟泉.新舊教學的分水嶺[J].基礎(chǔ)教育課程(上),2014(2).

    5.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數(shù)學通報,2013(6).

    6.李庾南,陳育彬.中學數(shù)學新課程教學設(shè)計30例——學力是這樣發(fā)展的[M].北京:人民教育出版社,2007.

    7.劉東升.悠然神會,妙處與君說——李庾南老師“平方根”課例賞析[J].中國數(shù)學教育,2014(5).Z

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