離散數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)案例探究
——以“推理理論”為例

黃梅華 林志強(qiáng)

(1廣東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，廣州 510320；2廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州 510006)

《離散數(shù)學(xué)》作為計算機(jī)類專業(yè)的基礎(chǔ)核心課程，包括數(shù)理邏輯、集合論、圖論、組合數(shù)學(xué)、代數(shù)等，具有知識點(diǎn)分散、內(nèi)容高度抽象性等特點(diǎn)，致使其學(xué)習(xí)重點(diǎn)難以把握，學(xué)習(xí)目標(biāo)難以明確，傳統(tǒng)教學(xué)模式很難引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如何改變《離散數(shù)學(xué)》的教學(xué)方式，提高趣味性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)專注力，就成為了迫切需要解決的問題[1]。

翻轉(zhuǎn)課堂2000年起源于美國，它重新定義了教和學(xué)的模式，對于基本知識，學(xué)生通過教學(xué)視頻、播課、網(wǎng)絡(luò)等多媒體進(jìn)行課前自學(xué)；課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生主動思考和應(yīng)用這些知識，進(jìn)一步掌握和鞏固知識點(diǎn)[2]。好的翻轉(zhuǎn)課堂必須具備如下特點(diǎn)[3][4]：一是制作短而精的教學(xué)視頻，有利于學(xué)生能夠集中注意力快速學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識；二是教學(xué)目標(biāo)明確，使學(xué)生有明確的努力方向，從而能夠進(jìn)行自主學(xué)習(xí)；三是重構(gòu)學(xué)習(xí)過程，翻轉(zhuǎn)傳統(tǒng)的“教和學(xué)”，學(xué)生自主學(xué)習(xí)知識，課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生“內(nèi)化吸收”習(xí)得的知識，學(xué)生完全成教學(xué)過程的主體。

將翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式應(yīng)用到《離散數(shù)學(xué)》的教學(xué)中，讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)和探索課程內(nèi)容，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性[5][8]。本文選取《離散數(shù)學(xué)》課程中推理理論教學(xué)案例，探討其在翻轉(zhuǎn)課堂模式下的設(shè)計與應(yīng)用，從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)最優(yōu)化的效果。

一、教學(xué)背景

數(shù)理邏輯是離散數(shù)學(xué)課程的重要模塊，是用特制符號和數(shù)學(xué)方法來研究、處理演繹方法的邏輯學(xué)。它將思維模式符號化，從而使思維過程變成一個可計算的思維演算過程。推理理論是數(shù)理邏輯中的重要內(nèi)容，主要研究從前提出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)論的形式化邏輯過程。前提就是推理所依據(jù)的已知命題，結(jié)論則是根據(jù)推理規(guī)則，從前提出發(fā)推理出的新的命題。推理是數(shù)學(xué)和其他自然學(xué)科中思考問題的基本模式，研究推理理論對培養(yǎng)人的邏輯思維能力以及指導(dǎo)科學(xué)研究中分析和解決問題的能力，都具有重要的理論意義與實(shí)際應(yīng)用價值。

二、教學(xué)目標(biāo)

本課程教學(xué)主要有知識和能力兩個目標(biāo)。

(一)知識目標(biāo)

理解和掌握推理的形式結(jié)構(gòu)和推理定律，熟練應(yīng)用推理理論解決實(shí)際問題，學(xué)會將已知問題符號化，利用推理定律進(jìn)行推理演算的方法。

(二)能力目標(biāo)

通過討論和分析問題，培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)符號的意識，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力。在研究討論問題的過程中，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力。

三、教學(xué)策略

第一，將推理理論知識內(nèi)容拆分，分別做成3-5分鐘的教學(xué)小視頻，包括：①推理的形式結(jié)構(gòu)，闡述為什么命題公式A1∧A2∧…An→B為重言式時推理就是正確的；② 推理定律，分別介紹8條常見的推理定律及其使用規(guī)則；③ 構(gòu)造證明法，分別介紹直接證明法、附加前提證明法和歸謬法三種證明方法。

第二，教學(xué)模式采用翻轉(zhuǎn)課堂，課前先讓學(xué)生通過線上學(xué)習(xí)和小組討論等方式，初步掌握推理理論的基本結(jié)構(gòu)、推理定律和基本推理演算等內(nèi)容。課堂上，教師進(jìn)行進(jìn)一步講解、提問，師生互動討論，對知識和方法作進(jìn)一步深入的理解。

第三，課堂教學(xué)選取一個具有代表性的例題，采用例題教學(xué)法，通過對該例題的解決，將推理理論的知識點(diǎn)和方法的應(yīng)用展現(xiàn)給學(xué)生，使理論知識落到實(shí)處，學(xué)生更容易理解和掌握。

第四，以問題驅(qū)動推動課堂教學(xué)進(jìn)程。引入例題，根據(jù)如下問題逐漸展開引導(dǎo)學(xué)生：① 如何將題設(shè)符號化為命題，結(jié)論如何轉(zhuǎn)化為命題符號。② 觀察命題之間的聯(lián)系，有什么共同的簡單命題。③ 要選取什么樣的定律來完成推理。

四、教學(xué)過程

(一)例題導(dǎo)入

例 一個偵探在調(diào)查了某珠寶店的鉆石項(xiàng)鏈?zhǔn)Ц`案后，了解到以下事實(shí)：

1.營業(yè)員A或B盜竊了鉆石項(xiàng)鏈；

2.若A作案，則作案不在營業(yè)時間；

3.若B提供的證詞正確，則貨柜未上鎖；

4.若B提供的證詞不正確，則作案發(fā)生在營業(yè)時間；

5.貨柜上了鎖。

請判斷是誰盜竊了項(xiàng)鏈？

請同學(xué)們思考第一步要做什么？經(jīng)過討論，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)必須將已知事實(shí)符號化為命題公式，也即得到推理前提。進(jìn)一步，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，相比課前學(xué)習(xí)的推理理論演算模式，本題并沒有確定的結(jié)論。

板書完成該題目必須解決的問題：① 符號化推理前提；給出可能的結(jié)論，符號化結(jié)論；② 確定可能用到的推理定律；③ 構(gòu)造整個推理過程，得出結(jié)論。

(二)符號化前提和結(jié)論

請同學(xué)們先回顧命題公式的相關(guān)知識。

教師提問：在寫出前提和結(jié)論的命題公式之前，應(yīng)該先做什么？

同學(xué)們共同討論：應(yīng)該先寫出題設(shè)中出現(xiàn)的簡單命題。然后再請一位主動請纓的同學(xué)在黑板上寫出這些簡單命題，其他同學(xué)也紛紛在下面進(jìn)行嘗試。

設(shè)p：營業(yè)員A盜竊了鉆石項(xiàng)鏈；q：營業(yè)員B盜竊了鉆石項(xiàng)鏈；r：作案發(fā)生在營業(yè)時間；s：B提供的證詞正確；t：貨柜上了鎖。

教師提問：進(jìn)一步如何寫出前提和結(jié)論？

學(xué)生討論后回答：前提只需根據(jù)上面的簡單命題和題設(shè)直接寫出。結(jié)論則要分兩種情況，A或B盜竊了鉆石項(xiàng)鏈。因此問題轉(zhuǎn)化為判斷

p∨q,p→r,s→t,s→r,t?porq

(三)問題轉(zhuǎn)化為判斷推理

p∨q,p→r,s→t,s→r,t?p和p∨q,p→r,s→t,s→r,t?q的正確性。請同學(xué)根據(jù)課前學(xué)習(xí)匯報，應(yīng)該如何判斷上述推理的正確性？有幾種方法？有同學(xué)發(fā)言：有兩種方法，第一是證明A1∧A2∧…An→B為重言式，其中A1∧A2∧…An是前提的合取，B是結(jié)論，可以用真值表法或者等值演算法；第二是用構(gòu)造證明法。

請同學(xué)們思考為何要引入構(gòu)造證明法？直接用真值表法或者等值演算法可以嗎？

學(xué)生討論后沒有得出明確結(jié)論。教師進(jìn)行解答：對比課前視頻和書本學(xué)習(xí)中二者的計算過程可以看出，證明A1∧A2∧…An→B計算量較大，特別是當(dāng)題設(shè)涉及到的簡單命題較多的時候；而采用構(gòu)造證明法，則可以較快得到結(jié)論，當(dāng)然需要更多得觀察和技巧。

請同學(xué)們先觀察所有條件和結(jié)論p∨q,p→r,s→t,s→r,t?porq.回顧課前網(wǎng)上和書本學(xué)習(xí)的推理定律，列出有可能用到的定律。

(四)構(gòu)造推理過程

先考慮p∨q,p→r,s→t,s→r,t?q，構(gòu)造其推理過程。同學(xué)們經(jīng)過討論，一致認(rèn)為采用直接構(gòu)造法。利用之前列出的定律，師生共同完成整個構(gòu)造過程：1.s→t前提引入；2.t前提引入；3.s①②拒取式；4.s→r前提引入；5.r③④假言推理；6.p→r前提引入；7.p⑤⑥拒取式；8.p∨q前提引入；9.q⑦⑧析取三段論。

得出結(jié)論，推理正確，因此營業(yè)員B盜竊了鉆石項(xiàng)鏈。同學(xué)們很快發(fā)現(xiàn)，證明過程得第7步已經(jīng)得出結(jié)論，營業(yè)員A沒有盜竊鉆石項(xiàng)鏈，因此完成整個推理過程，得出確定性結(jié)論，同學(xué)們很有成就感。

五、教學(xué)反思

這個案例教學(xué)選取了一個有趣得實(shí)際推理問題，采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，線上學(xué)生先學(xué)習(xí)課程中的基本知識，課堂上師生共同嘗試采用所學(xué)知識解決這一問題，體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，發(fā)揮學(xué)生主觀能動性的教學(xué)思想。教學(xué)過程采用問題驅(qū)動的教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生一步步解決問題，激發(fā)學(xué)生的成就感，對所學(xué)知識進(jìn)行運(yùn)用，學(xué)生不再是機(jī)械地學(xué)習(xí)知識，而是學(xué)有所用，使得學(xué)生理論知識和方法的理解和運(yùn)用能力大幅地提升。在教學(xué)過程中也觀察到個別學(xué)生參與度不高，原因是沒有自覺地提前進(jìn)行線上學(xué)習(xí)，如何提高學(xué)生線上學(xué)習(xí)的積極性，是下一步必須考慮的問題。